Tema 30 - Traslación y rotación de ejes coordenados

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100UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 31
traslación y rotación de ejes
coordenados
TRIGONOMETRÍA
I. TRASLACIÓN DE COORDENADAS
A. Objetivo
Localizar un punto en un sistema de coordenadas
rectangulares e identificar sus coordenadas al rotar
o trasladar los ejes del sistema.
Transformar una ecuación respecto al sistema XY
en otra más simple, utilizando las ecuaciones de
traslación y rotación de ejes.
B. Traslación de ejes coordenados
Sea: XY sistema original
X'Y' sistema de traslación origen O' (h, k)
Y
X
O
y P(x, y)
P(x’, y’)
y’
(h, k)O
h’
Y’
X’x’
k
x
Sea:
P(x; y)  coordenadas del punto "P" en XY
(Sistema original)
P(x', y')  coordenadas del puntp "P" en X'Y'
(Sistema Trasladado) de la figura se observa que:
x = x' + h; y = y' + k
Las ecuaciones de transformación por traslación son:
x x ' h
y y ' k
 
 
C. Rotación de ejes coordenados
Sea: XY sistema original
X'Y' sistema rotado de ángulo positivo .
Y
Y’
X’
x
y’
P(x’; y’)
P(x, y)
x’
O
X
y
r
Sea:
P(x; y) coordenado del punto "P" en XY
P(x'; y') coordenados del punto "P" en X'Y'.
además:
OP r; m X 'OP  
de la figura tenemos:
 
x ' rCos ..........(1)
y ' rSen ..........(2)
x rCos( )....(3)
y rSen ...(4)
 
 
   
   
de (3)
x ' y '
x rCos Cos – rSen Sen
x x 'Cos – y 'Sen
    
  
 
de (4)
y ' x '
y rSen Cos rCos Sen
y x' Sen y' Cos
     
   
 
Las ecuaciones de transformación por rotación son:
x x 'Cos – y 'Sen
y x 'Sen y ' Cos
  
   
DESARROLLO DEL TEMA
101UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 31
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS
Problema 1
Mediante una rotación de 45° se
obtiene la ecuación: y'2 – 3x'2 = 3,
hallar la ecuación en el sistema original.
UNI
A) x2 + 4xy + y2 + 3 = 0
B) x3 + 4xy + y2 + 3 = 0
C) x4 + 4xy + y2 + 3 = 0
D) x2 + 4xy + y3 + 3 = 0
E) x2 + 4xy + y4 + 3 = 0
Resolución:
y'2 –3x'2 = 3 ................(1)
y x y – xx ' y ' ....(2)
2 2
  
(2) en (1):
2 2
2 2
1 3(y – x) – (y x) 3
2 2
x 4xy y 3 0
 
    
Respuesta: A) x2 + 4xy + y2 + 3 = 0
Problema 2
Para una rotación de ejes simplificar:
2 22x 3 xy y 4  
UNI
A) 5x'2 + y'2 = 3
B) 5x'2 + y'2 = 4
C) 5x'2 + y'2 = 8
D) 5x'2 + y'2 = 6
E) 5x'2 + y'2 = 7
Resolución:
2 22x 3xy y 4.....(1)  
A– C 2–1 1Ctg(2 )
B 3 3
Tg(2 ) 3 2 60 30
1x x 'Cos –y 'Sen x ( 3x '– y ')( ).....(2)
2
1y x 'Sen y 'Cos y (x ' 3y ')( ).....(3)
2
(2) y (3) en (1)
   
     
   
    
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 '2
1 3 12(3x '– y ') ( ) (3x '– y ')(x ' 3y ') (x ' 3y ') ( ) 4
2 4 2
1 3 1(3x ' –2 3x'y' y' ) (3x' 3x'y'–x'y'–3y' ) (x' 23x'y' 3y' ) 4
2 4 4
3 1 3 3 3 1 3 3x' – 3x'y' y' x' x'y'– y' x' x' y' y' 4
2 2 4 2 4 4 2 4
5 1x' y' 4
2 2
5x' y 8
    
      
      
 
 
Respuesta: C) 5x'2 + y'2 = 8
Problema 3
Por medio de una traslación de los ejes
coordenados, simplificar la ecuación:
y2 – 4x – 6y + 17 = 0. Graficar la
ecuación resultante.
UNI
A) (y')2 = 3x'
B) (y')2 = 2x'
C) (y')2 = 4x'
D) (y')2 = 5x'
E) (y')2 = 6x'
Resolución:
Completando cuadrados para la variable
"y".
y2 – 6y + 9 = 4x – 17 + 9
(y – 3)2 = 4(x – 2)
Sea:
x’ = x – 2
y’ = y – 3 
 x = x’ + 2
y = y’ + 3
Ecuaciones de traslación de ejes
Nuevo origen = O’ = (h.k) = (2.3)
 2y' 4x' 
Ecuación de una parábola en el sistema
x'y'.
y’
y
x
2
3
O
O’
Respuesta: C) (y')2 = 4x'
problemas resueltos