Tema 31 - Ecuación general de segundo grado

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102UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 32
ECUACIÓN GENERAL DE
SEGUNDO GRADO
TRIGONOMETRÍA
ELIMINACIÓN DEL TÉRMINO XY
Sea la ecuación:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0......(*)
Si: B  0  (*) puede transformarse en:
A'x'2 + C'y'2 + D'x' + E'y' + F' = 0.....(**)
(**) se consigue reemplazando en (*) las ecuaciones por rotación de un ángulo " ": de ahí es claro que:
A – CCot(2 )
B
 
Observación:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0..........(*)
La ecuación de segundo grado (*) es la ecuación de una:
2
2
2
i) Parábola si : B – 4AC 0
ii) Elipse si: B – 4AC 0 o un caso especial
iii)Hipérbola si: B – 4AC 0
  
   

   
Caso especial:
a) La parábola se convierta en dos rectas paralelas ó en dos rectas coincidentes.
b) La elipse se convierta en un punto.
c) La hipérbola se convierta en dos rectas que se cortan.
Se recomienda en general, usar las ecuaciones de transformación por rotación para (*).
Problema 1
Por una rotación de ejes, simplificar la
ecuación: x2 – 2xy + y2 = 25. Grafique
la ecuación resultante.
A) 5y '
3
 B)
5y '
2

C) 5y '
2
  D) y' = 5
E) y' = 1
Resolución:
Cot(2 ) = 
1 – 1 0
–2 4
   
(x – y)2 = 25 además:
x ' – y 'x
2
 
x ' y 'y
2

2
x ' – y ' x ' y '– 25
2 2
    
 
2
2y '– 25
2
 
   
 
2
24y' 2525 y'
2 2
  
5y'
2
  
DESARROLLO DEL TEMA
problemas resueltos
103UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 32
ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

4
Y
X
X’Y’
5/
 2
–5
/ 
2
Respuesta: C) 
y' =
5
2
Problema 2
Mediante una rotación de ejes, la
ecuación: 8x2 – 4xy + 5y2 = 36 se
transforma en:
A)
22 y 'x ' 1
2 3
          
B)
22 y 'x ' – 1
2 3
         
C)
22 y 'x ' 1
3 2
          
D)
22 y 'x ' – 1
3 2
         
E)
2 2y ' x '– 1
3 2
         
Resolución:
La ecuación propuesta:
8x2 – 4xy + 5y2 = 36
mediante una rotación " " de ejes:
A – C 8 – 5 3Cot(2 ) –
B –4 4
    
2
2 4 2
          
3
511 – Cos(2 ) 2Sen
2 2 5
   
3
51 –1 Cos(2 ) 1Cos
2 2 5
    
1 2x x ' – y '
5 5
   
        
   
 
2 1y x ' y '
5 5
   
       
   
Reemplazando:
2 2
2y ' 2y ' y ' y 'x ' x ' 2x ' 2x '8 – –4 – 5 36
5 5 5 5 5 5 5 5
      
               
      
2222 y' y 'x' x '1 1
9 4 3 2
            
Respuesta: C) 
  
      
22 y'x' + = 13 2
Problema 3
Por medio de una rotación de ejes
coordenados, transformar la ecuación
4x + 3y = 12 en otra que no tenga
término en y'.
A) 4/3 B) 3/4 C) 5/12
D) 12/5 E) 1
Resolución:
x = x'Cos  – y'Sen 
y = x'Sen  + y'Cos 
4(x'Cos –y'Sen )+3(x'Sen +y'Cos )=12
(4Cos +3Sen )x'+(3Cos –4Sen )=12
3Cos  – 4Sen  = 0  Tanan  = 3/4
4 34. 3. x ' 12
5 5
     
x ' 12 / 5
Respuesta: D) 12/5