Tema_07_Identidades_trigonométricas_para_el_arco_compuesto_I_Dos

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25UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL
ARCO COMPUESTO I: PARA DOS ARCOS
TRIGONOMETRÍA
I. ÁNGULO COMPUESTO
Es aquel que se puede expresar mediante una combi-
nación lineal de otros ángulos; así por ejemplo:
• x y : es un ángulo compuesto por dos ángulos.
• 2x 3y : es un ángulo compuesto por dos ángulos.
• x y z  : es un ángulo compuesto por tres ángulos.
• 2x 3y 4z  : es un ángulo compuesto por tres ángulos.
II. RAZONES TRIGONÓMETRICAS DE
ÁNGULOS COMPUESTOS
Cuando los operadores trigonométricos afectan a án-
gulos compuestos, se definen operaciones matemáticas
que no se efectúan como multiplicaciones algebraicas,
así por ejemplo:
• Sen(x y) Senx Seny  
• Cos(x y) Cosx Cosy  
• Tan(x y) Tanx Tany  
• Cot(x y) Cotx Coty  
III. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PARA LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Estas igualdades se verifican para todos los valores admi-
sibles de sus variables y son las siguientes:
Ejemplo:
Calcule el valor de Sen75°.
Resolución:
Expresamos nuestro ángulo que es "75°" en función
de ángulos conocidos por ejemplo "45° + 30°", para
luego aplicar las identidades de la suma de ángulos.
Sen75° = Sen(45° + 30°) = Sen45°Cos30° + Cos45° . Sen30°
2 3 2 1Sen75 . .
2 2 2 2
  
6 2Sen75
4
 
IV. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PARA LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Estas igualdades se verifican para todos los valores ad-
misibles de sus variables y son las siguientes:
DESARROLLO DEL TEMA
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO COMPUESTO I: PARA DOS ARCOS
TEMA 7
Exigimos más!
Ejemplo:
Calcule el valor de Tan8°
Resolución:
Expresaremos nuestros ángulos 8° en función de
ángulos conocidos, por ejemplo "45° – 37°".
• Tan45 Tan37Tan8 Tan(45 37 )
1 Tan45 .Tan37
       
  
3 11 14 4Tan8 Tan8
3 7 71
4 4

    


V. DEMOSTRACIÓN DEL SENO Y COSE-
NO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Con la ayuda de la C.T. demostraremos las siguientes
identidades:
Sen(x y) SenxCosy Cosx Seny
Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
  
  
 
• En la figura se observa que (x y)   son su-
plementarios:
Sen Sen(x y) Cos Cos(x y)       
• En el rectángulo PQRS se tiene que: PQ = SR,
pero SR = SM + MR  PQ = SM + MR; luego
reemplazamos los datos del gráfico y tenemos:
Sen SenxCosy SenyCosx
CosxSeny
   ; pero:
Sen Sen(x y)  
Sen(x y) SenxCosy CosxSeny  
• En el rectángulo PQRS se tiene que: QR = PS,
pero PS = PO + OS  QR = PO + OS; luego
reemplazamos los datos del gráfico y tenemos:
SenxSeny Cos CosxCosy   ;
pero: Cos Cos(x y)   
SenxSeny = –Cos(x + y) + CosxCosy
Cos(x y) CosxCosy SenxSeny  
VI. DEMOSTRACIÓN DEL SENO Y COSENO
DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Con la ayuda de la C.T. demostraremos las siguientes
identidades:
Sen(x y) SenxCosy CosxSeny  
Cos(x y) CosxCosy SenxSeny  
 
• En la figura se observa que x son suplementarios
 Sen Senx Cos Cosx    
• En el rectángulo PQRS se tiene que: RS = PQ,
pero PQ = PM + MQ  RS = PM + MQ;
luego reemplazamos los datos del gráfico y tenemos:
Sen(x y) Sen Cosy SenyCos    ; pero:
Sen Senx
Cos Cosx
 

  
Sen(x – y) = (Senx)Cosy + Seny(–Cosx)
Sen(x y) SenxCosy CosxSeny  
VII.IDENTIDADES AUXILIARES
Sen(x y) Tanx Tany
CosxCosy
  
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO COMPUESTO I: PARA DOS ARCOS
Exigimos más!
2 2
2 2
Sen(x y)Sen(x y) Sen x Sen y
Sen(x y)Sen(x y) Cos y Cos x
   
    
2 2Cos(x y)Cos(x y) Cos x Sen y   
Tan(x y) Tanx Tany Tanx Tany Tan(x y)     
Importante:
a,b, x   2 2 2 2
f(x) aSenx bCosx
a b f(x) a b
 
    
a,b x     2 2aSenx bCosx a b Sen(x ) / Tan b / a      
Problema 1
Si:
   4x 3xtan a y tan b7 7 
entonces al simplificar:
 2 2 xE (1 a b ) tan(x) tan 7   
se obtiene:
UNI 2011-II
A) a – b
B) a2 – b2
C) a + b
D) ab
E) a/b
Resolución:
Ubicación de incógnita
Simplificar:
 2 2 xE (1 a b ) Tanx Tan 7   
Análisis de los datos o gráficos
   4x 3xTan a ; Tan b7 7 
Operación del problema
* Aplicación de la fórmula, teorema
o propiedad
 
   
   
4x 3xTan(x) Tan
7 7
4x 3xTan Tan
7 7
4x 3x1 Tan Tan
7 7
 


 
   
   
   
x 4x 3xTan Tan
7 7 7
4x 3xTan Tan
7 7
4x 3x1 Tan Tan
7 7
 


 
* Solución del problema
 
2 2
2 2
(a b) (a b)E (1 a b )
(1 ab) (1 ab)
(1 a b )
 
 
 


 
2 2
2 2
(a b )
(1 a b )


2 2(a b ) 
Conclusiones y respuesta:
2 2E a b  
Respuesta: B) a2 – b2
Problema 2
En un triángulo acutángulo ABC. Cal-
cule el valor de:
cos(A – B) cos(B – C) cos(A – C)E
senA senB senB senC senA senC
  
  
UNI 2011-I
A) 3 B) 4
C) 5 D) 6
E) 8
Resolución:
Ubicación de incógnita
Nos piden simplificar la expresión E:
cos(A – B) cos(B – C) cos(A – C)E
senA senB senB senC senA senC
  
  
Análisis de los datos o gráficos
Si A + B + C = 180°
cot A cotB cotB cotC cot A cot C 1     
Operación del problema
Aplicamos la propiedad:
cos( – ) cot cot 1
sen sen
     
 


E cotA cotB 1cotB cotC 1 cotAcotC 1     
1
E 3 cotA cotB+cotB cotC+cotA cotC    
E = 4
Respuesta: B) 4
Problema 3
De la figura, calcular Tan .

45°
10
4 2
UNI
Nivel intermedio
A)
3
7 B)
4
7
C)
7
4 D)
9
4
E)
8
4
problemas resueltos
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO COMPUESTO I: PARA DOS ARCOS
TEMA 7
Exigimos más!
Resolución:

10




2
2
46
4
2 1Tan
6 3
  
2 1Tan
10 5
  
    
Tan TanTan Tan( )
1 Tan Tan
       
  
1 1
8 43 5Tan
1 1 17 71
3 5

   
 
Respuesta: B) 4
7