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29UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 8
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL
ARCO COMPUESTO II: PARA TRES ARCOS
TRIGONOMETRÍA
I. SENO DE LA SUMA DE TRES ARCOS
Sen( ) Sen Cos Cos Sen Cos Cos
Sen Cos Cos Sen Sen Sen
             
      
Demostración:
Sen( ) Sen[ ( )]          
Sen( ) Sen Cos( ) Cos Sen( )              
Sen( ) Sen (Cos Cos Sen Sen )
Cos (Sen Cos Cos Sen )
           
      
Sen( ) Sen Cos Cos Sen Sen Sen
Sen Cos Cos Sen Cos Cos
            
       
Sen( ) Sen Cos Cos Sen Cos Cos
Sen Cos Cos Sen Sen Sen
            
       
Ejemplo 1:
Sen6x = Sen(x + 2x + 3x)
Sen6x = SenxCos2xCos3x + Sen2xCosxCos3x +
Sen3xCosxCos2x – SenxSen2xSen3x
Ejemplo 2:
Sen20° = Sen(2° + 8° + 10°)
Sen20° = Sen2°Cos8°Cos10° + Sen8°Cos2°Cos10° +
Sen10°Cos2°Cos8° – Sen2°Sen8°Sen10°
III. COSENO DE LA SUMA DE TRES ARCOS
cos( ) cos cos cos cos sen sen
cos sen sen cos sen sen
            
       
Demostración:
Cos( ) Cos[ ( )]          
Cos( ) Cos Cos( ) Sen Sen( )              
Cos( ) Cos (Cos Cos Sen Sen )
Sen (Sen Cos Cos Sen )
           
      
Cos( ) Cos Cos Cos Cos Sen Sen
Cos Sen Sen Cos Sen Sen
            
       
Cos( ) Cos Cos Cos Cos Sen Sen
Cos Sen Sen Cos Sen Sen
            
       
Ejemplo 1:
Cos12x = Cos(2x + 4x + 6x)
Cos12x = Cos2xCos4xCos6x – Cos2xSen4xSen6x –
Cos4xSen2xSen6x – Cos6xSen2xSen4x
Ejemplo 2:
Cos15° = Cos(3° + 5° + 7°)
Cos15 = Cos3°Cos5°Cos7° – Cos3°Sen5°Sen7° –
Cos5°Sen3°Sen7° – Cos7°Sen3°Sen5°
IV. TANGENTE DE LA SUMA DE TRES ARCOS
 
Tan Tan Tan Tan Tan TanTan( )
1 Tan Tan Tan Tan Tan Tan
             
        
Demostración:
Tan( ) Tan[ ( )]          
Tan Tan( )Tan( )
1 Tan Tan( )
         
    
Tan TanTan
1 Tan TanTan( )
Tan Tan1 Tan
1 Tan Tan
  
 
  
     
  
 
  



Tan Tan Tan Tan Tan Tan
1 Tan Tan
Tan( )
        
  
     
1 Tan Tan Tan Tan Tan Tan
1 Tan Tan
        
  
Tan Tan Tan Tan Tan TanTan( )
1 Tan Tan Tan Tan Tan Tan
             
        
Ejemplo 1:
Tan10x = Tan(2x + 3x + 5x)
Tan2x Tan3x Tan5x Tan2xTan3xTan5xTan10x
1 Tan2xTan3x Tan3xTan5x Tan2xTan5x
  
  
DESARROLLO DEL TEMA
30UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA EL ARCO COMPUESTO II: PARA TRES ARCOS
TEMA 8
Exigimos más!
Problema 1
Simplificar:
1tan
cot( )p
tan1
cot( )
 
  

  
UNI 1981
Nivel fácil
A) tan tan  
B) tan tan  
C) cot 
D) tan 
E) cot 
Resolución:
1tan
cot( ) tan tan( )p
tan 1 tan tan( )1
cot( )
 
     
    
 

p tan( ( )) tan        
Respuesta: D) tan 
Problema 2
Dadas las ecuaciones:
Sen(x – 45°) Sen(x + 45°) = p
Cos(x – 60°) Cos(x + 60°) = q
Calcule el valor de (p + q).
UNI 2006 - II
Nivel intermedio
A) –1/4
B) 0
C) 1/4
D) 1/3
E) 1/2
Resolución:
Se sabe que:
2 2Sen ( ) Sen( ) Sen Sen         
2 2Cos ( ) Cos ( ) Cos Sen         
En el problema:
Sen(x 45 ) Sen (x 45 ) p    
2
2 1Sen x p .... (I)
2
    
 
Cos (x 60 ) Cos(x 60 ) q    
2
2 3Cos x q .... (II)
2
 
   
 
(I) + (II):
2 2 1 3Sen x Cos x p q
2 4
    
5 1p q 1 p q
4 4
       
Respuesta: A) –
1
4
Problema 3
Sean ; ;   los ángulos internos de un
triángulo, tal que:
(tan )(tan )(tan ) 2006   
Entonces podemos afirmar que el valor
de 1 tan tan tan      es:
UNI 2008 - I
Nivel difícil
A) 2006
B) 2007
C) 2008
D) 2009
E) 2010
Resolución:
Condición: 180      
tan tan tan tan tan tan         
Por dato:
tan tan tan 2006    
Entonces:
tan tan tan 2006     
1 tan tan tan 2007       
Respuesta: B) 2007
Ejemplo 2:
Tan12° = Tan(2° + 4° + 6°)
Tan2 Tan4 Tan6 Tan2 Tan4 Tan6Tan12
1 Tan2 Tan4 Tan4 Tan6 Tan2 Tan6
         
        
IV. PROPIEDADES PARA TRES ÁNGULOS
Estas propiedades se cumplen siempre que los tres
ángulos estén relacionados bajo una condición:
Siendo:
x y z ó K , K Z     
Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz
CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1
  
  
Siendo:
x y z ó (2K 1) ; K Z
2 2
     
Cotx Coty Cotz CotxCotyCotz
TanxTany TanxTanz TanyTanz 1
  
  
problemas resueltos