Tema_12_Relaciones_métricas_en_los_triángulos_oblicuángulos_

Vista previa del material en texto

45UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 13
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
GEOMETRÍA
I. TEOREMA DE EUCLIDES
A. Primer caso del ángulo agudo
El cuadrado del lado que se opone a un ángulo
agudo es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble producto de uno
de ellos con la proyección del otro sobre este.
Tesis:
2 2 2BC AB AC 2AC AH   
Demostración: Por Pitágoras
BH2 = BC2 – HC2 .................. (1)
BH2 = BA2 – HA2 ................ (2)
De (1) y (2):
BC2 – (AC – AH)2 = BA2 – HA2
BC2 – AC2 + 2AC . AH – AH2 = AB2 – AH2
 BC2 = AB2 + AC2 – 2AC . AH
B. Segundo caso del ángulo obtuso
El cuadrado del lado que se opone a un ángulo
obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos más el doble producto de uno de ellos
por la proyección del otro sobre él.
Tesis:
2 2 2BC AB AC 2AC AH   
Demostración: Por Pitágoras
BH2 = BC2 – HC2 ......... (1)
BH2 = BA2 – HA2 ......... (2)
De (1) y (2):
BC2 – (AC +AH)2 = BA2 – HA2
 BC2 = AB2 + AC2 + 2AC . AH
II. TEOREMA DE LA MEDIANA
En todo triángulo la suma de los cuadrados de dos
lados es igual al doble del cuadrado de la mediana
relativa al tercer lado más la mitad del cuadrado de
este lado.
DESARROLLO DEL TEMA
46UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
TEMA 13
Exigimos más!
Tesis:
2
2 2 2 ACAB BC 2BM
2
  
Demostración:
Por teo. Euclides en:
ABM: AB2 = BM2 + AM2 – 2AM . MH ......(1)
BMC: BC2 = BM2 + MC2 + 2 MC . MH ......(2)
(1) más (2):
2 2 2 2 2AB BC 2BM AM MC 2MH(MC AM)     
como AM = MC = 
AC
2
2
2 2 2 ACAB BC 2BM
2
   
III. TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA
MEDIANA
En todo triángulo la diferencia de los cuadrados de
dos lados es igual al doble del tercer lado multiplicado
por la proyección de la mediana relativa a éste.
Tesis:
2 2BC AB 2AC HM  
Demostración:
De la demostración anterior (2) menos (1).
BC2 – AB2 = MC2 – AM2 + 2MH (AM + MC)
2 2BC AB 2AC MH   
IV. TEOREMA DE HERÓN O DE LA ALTURA
En cualquier triángulo una altura es igual al doble de la
inversa del lado al cual es relativa por la raíz cuadrada
del producto del semiperímetro por las diferencias de
éste con cada uno de los lados.
Tesis:
1BH 2 p(p AB)(p BC)(p AC)
AC
   
Siendo:
AB BC ACP
2
 
Demostración:
En el triángulo BHC: BH2 = BC2 – HC2 ............ (1)
En el triángulo ABC:
2 2 2AB BC AC 2AC HC .........(2)    
De (2):
2 2 2BC AC ABHC ....(3)
2 AC
 
(3) en (1):
 
22 2 2 2
2
2
2BC AC BC AC AB
BH
4AC
    

Por diferencia de cuadrados:
2 2 2 2 2 2
2
2BC.AC BC AC AB 2BC.AC. AC AB BCBH
4AC
           
Por binomio cuadrado:
   2 22 22
2
AC BC AB AB AC BC
BH
4AC
         
Por diferencia de cuadrados:
       2
2
AC BC AB AC BC AB AB AC BC AB BC ACBH
4AC
       
como AC BC ABP
2
 
47UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 13
Exigimos más!
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Reemplazando y extrayéndole la raíz cuadrada:
2
2p 2(p AB) 2(p BC) 2(p AC)BH
4AC
     
1BH 2 p(p AC)(p BC) (p AC)
AC
    
V. TEOREMA DE STEWART O DE LA CEVIANA
El cuadrado de una ceviana multiplicada por el lado al
cual es relativa es igual a la suma del cuadrado de uno
de los otros lados por el segmento opuesto que de-
termina la ceviana sobre el primer lado más el cuadra-
do del tercer lado por el otro segmento menos el pro-
ducto del lado al cual es relativa la ceviana con los
segmentos que determina sobre él.
Tesis: 2 2 2AD BC AB DC AC BD BC BD DC      
Demostración:
Si AE altura y por Euclides:
AB2 = AD2 + BD2 + 2BD . DE ......... (1)
AC2 = AD2 + DC2 – 2DC . DE .......... (2)
Multiplicando (1) por DC y (2) por BD y sumándolos.
AB2 . DC + AC2 . BD = AD2(DC + BD) + BD . DC (BD + DC)
2 2 2AD .BC AB . DC AC . BD BC.BD.DC   
Problema 1
Si "2a" es el lado de un polígono regular
de "n" lados, R y r los radios de las
cincunferencias circunscrita e inscrita
respectivamente. Determine r + r.
UNI 2012-I
A) 2acos
2n
 B) 2a cot
2n

C) 2a tan
2n
 D) a cot
2n

E) a csc
2n

Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden (R + r)
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
Del gráfico se observa que:
R acsc
n

r a cot
n

Sumamos:
 R r a csc cotn n   
Aplicamos la identidad auxiliar del án-
gulo mitad.
 R r acot 2n 
Resumen
Se ha utilizado la identidad auxiliar del
arco mitad xcot csc x cot x
2
  en la
resolución de triángulos rectángulos.
Respuesta: D) a cot
2n

Problema 2
En un triángulo ABC se tiene AB = a,
BC = b y m ABC 120  . Calcule la
longitud de bisectriz interna BF, F AC .
UNI 2009-II
A)
ab
a b B)
2ab
a b
C) ab D)
ab 3
a b
E) 2ab 3
a b
Resolución:
Ubicación de incógnita
Sea: BF = x
Operación del problema
Se observa que:
ABF AFC ABCS S S
ax 3 bx 3 ab 3. . .
2 2 2 2 2 2
   
 
  
3 3x (a b) ab.
4 4
 
x(a + b) = ab
abx
a b
 

Respuesta: A) 
ab
a b
Problema 3
En la figura, los planos son perpendi-
culares. El segmento BH mide 2,5 cm
y es la proyección ortogonal del seg-
mento AB sobre el segmento BC .
problemas resueltos
48UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
TEMA 13
Exigimos más!
Determine el coseno del ángulo ABC .
UNI 2009-II
A) 0,41
B) 0,47
C) 0,50
D) 0,67
E) 0,71
Resolución:
Ubicación de incógnita
Sea: m ABC cos ?    
Operación del problema
Trazamos (dato)
BE CD 2 FB AE 21 BH 5 / 2      
En el BEA aplicamos el teorema de
pitágoras para calcular AB; resulta AB = 5.
BHA = 
5Cos  / 2
5
1 0,50
2
 
Observación:
El dato BD = 2 no debe aparecer en la
figura ya que habría contradicción: H
sería punto medio de BC.
Respuesta: C) 0,50