Tema_12_Transformación_de_una_suma_o_diferencia_a_producto

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41UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 12
TRANSFORMACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
TRIGONOMETRÍA
I. DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
Se le suele llamar también factorización trigonométrica
y consiste en expresar mediante un producto una de-
terminada suma o diferencia. Para transformar a pro-
ducto una expresión, esta deberá estar compuesta
por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con
ángulos ordenados de mayor a menor. Los ángulos re-
sultantes en los factores del producto serán la semi-
suma y la semidiferencia de los ángulos iniciales.
A. Suma o diferencia de senos a producto
Considerando:
A B
A B A BSenA SenB 2Sen Cos
2 2
A B A BSenA SenB 2Cos Sen
2 2
         
   
         
   
B. Suma o diferencia de cosenos a producto
Considerando: A B
A B A BCosA CosB 2Cos Cos
2 2
A B A BCosA CosB 2Sen Sen
2 2
         
   
          
   
II. DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES
FUNDAMENTALES
A. Demostración de la transformación de senos
Para efectuar estas demostraciones partiremos del
seno de la suma y diferencia de dos arcos (iden-
tidades de ángulos compuestos).
Sabemos que: 
Sen(x y) SenxCosy Cosx Seny
Sen(x y) SenxCosy Cosx Seny
  

  


Sumando tendremos:
 Sen(x y) Sen(x y) 2SenxCosy   
A B
Haciendo: 
x y A
x y B
 

 
Se obtiene: A B A Bx y
2 2
  
A B A BSen(A) Sen(B) 2Sen Cos
2 2
            

Restando tendremos:
 
A B
Sen(x y) Sen(x y) 2Cosx Seny    
Haciendo: 
x y A
x y B
 

 
Se obtiene: A B A Bx y
2 2
 
 
A B A BSen(A) Sen(B) 2Cos Sen
2 2
            
 
B. Demostración de la transformación de cosenos
Para efectuar estas demostraciones partiremos del
coseno de la suma y diferencia de dos arcos (iden-
tidades de ángulos compuestos).
Sabemos que:
Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
  

  
Sumando tendremos:
 Cos(x y) Cos(x y) 2CosxCosy   
A B
Haciendo: 
x y A
x y B
 

 
Se obtiene: A B A Bx y
2 2
 
 
A B A BCosCos(A) (B) 2Cos Cos
2 2
            

Restando tendremos:
 Cos(x y) Cos(x y) 2SenxSeny    
A B
DESARROLLO DEL TEMA
42UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA 12
Exigimos más!
Problema 1
Calcular:
Sen11x SenxA
Cos11x Cosx


A) Tan5x B) Tan6x
C) Cot6x D) Cot5x
E) Tan7x
Resolución:
Sabemos:
A B A – BSenA SenB 2Sen Cos
2 2
 
A B A – BCosA CosB 2Cos Cos
2 2
 
Reemplazando:
2Sen6x Cos5xA
2Cos6x Cos5x
 

 A = Tan6x
Respuesta: B) Tan6x
Problema 2
Simplificar:
K = Cos5° + Cos115° + Cos235°
A) 1 B) –1
C) 0 D) 2
E) –2
Haciendo: x y A
x y B
 

 
Se obtiene: A B A Bx y
2 2
 
 
A B A BSenCosCos(A) (B) 2Sen
2 2
             

Ejemplos de aplicación y casos que se pre-
sentan
3x x 3x xSen3x Senx 2Sen Cos 2Sen2x.Cosx
2 2
            
5x x 5x xSen5x Senx 2Cos .Sen 2Cos3x.Sen2x
2 2
            
6x 2x 6x 2xCos6x Cos2x 2Cos Cos 2Cos4x.Cos2x
2 2
            
7x x 7x xCos7x Cosx 2Sen Sen 2Sen4x.Sen3x
2 2
          
   
Resolución:
Es conveniente agrupar los 2 primeros
términos y luego reducimos al primer
cuadrante el tercer término.
K=(Cos115°+cos5°)+Cos(180°+55°)
K 2Cos60 Cos55 ( Cos55 )     
Reemplazando los valores notables:
1K 2 Cos55 – Cos55
2
     
 K = 0
Respuesta: C) 0
Problema 3
Calcular la suma de 3 cosenos cuyos
arcos están en progresión aritmética
de razón 2
3
 .
A) 2 B) 1
C) 0 D) –1
E) –2
Resolución:
En base a los datos del enunciado se
puede expresar la suma de la siguiente
manera:
2 4S Cosx Cos x Cos x
3 3
              
2 2S Cos x – Cosx Cos x
3 3
             
En la segunda expresión y agrupamos
los extremos.
Sabemos:
A B A – BCosA CosB 2Cos Cos
2 2
           
(–1/2)
2S 2Cosx Cos Cosx
3
 

2 2S Cos x Cos x – Cosx
3 3
                
Reemplazando los valores notables.
1S 2Cos – Cosx
2
    
 S = 0
Respuesta: C) 0
problemas resueltos