Tema_23_Ecuaciones_trigonométricas_elementales_y_no_elementales

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77UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 23 - 24
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS:
ELEMENTALES Y NO ELEMENTALES
TRIGONOMETRÍA
I. DEFINICIÓN
Son igualdades establecidas entre expresiones que
involucran razones trigonométricas de una o más varia-
bles (expresiones trigonométricas), las cuales se verifi-
can para cierto número de valores de dichas variables.
Para que una igualdad sea considerada una ecuación
trigonométrica, la variable o incógnita, deberá estar
afectada de algún operador trigonométrico.
1Sen2x Son ejemplos de2
ecuacionesSenx Cosx 1
trigonométricasSenx Tanx Cos 2x
   
   
   
Sonejemplos dex Senx 1
ecuaciones que nox Tanx Cosx
son trigonométricasx Cosx Sen2x
  
 
  
   
II. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN TRI-
GONOMÉTRICA
A todo valor de la variable o incógnita que verifique la
igualdad planteada se le llamará solución de la ecuación y
al conjunto formado por todas las soluciones de la ecua-
ción se le llamará conjunto solución de dicha ecuación.
• Dada la ecuación: senx 0
Sus soluciones serán  x ...;0; ;2 ;...  
• Dada la ecuación: cos x 1
Sus soluciones serán  x ...; 0;2 ; 4 ;...  
III. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGO-
NOMÉTRICAS
Resolver una ecuación trigonométrica consiste en de-
terminar todas sus soluciones; es decir, determinar su
conjunto solución, para lo cual se empleará la circunfe-
rencia trigonométrica como herramienta de análisis, así
como también la gráfica de las funciones presentes en
la igualdad.
Aplicación
Resuelva la ecuación: 3sen2x
2

Resolución:
Ubicamos en la C.T. todos los arcos que verifican la igual-
dad; es decir todos los arcos cuyo seno es 3
2
, igualan-
do 2x a estos valores de donde se despejará los valores
de x que son las soluciones de la ecuación planteada.
 2 72x ...; ; ; ; ...3 3 3   
 7x ...; ; ; ;...6 3 6   
Aplicación
Resuelva la ecuación:
 Cos 2x 03 
DESARROLLO DEL TEMA
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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS: ELEMENTALES Y NO ELEMENTALES
TEMA 23 - 24
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Resolución:
Se grafica cada uno de los miembros de la ecuación
como una función independiente; es decir graficamos:
y Cos 2x y 0
3
     
 
Para luego buscar las intersecciones que es donde se
cumple la igualdad:
cos 2x 0
3
   
 
siendo las abscisas de estos puntos las soluciones de
dicha ecuación.
1
–1 T =  T = 
y = cos(2x – )
 3


6
7
6
 13
6

x1 x2 x3 x4
y = 0
x
Algunos valores de x que cumplen la igualdad:
Cos 2x 0
3
   
 
son: x1, x2, x3, x4, ..., los cuales se calculan del modo
siguiente:
1 2
5 7 11x ; x
6 4 12 6 4 12
          
3 4
7 17 13 23x ; x
6 4 12 6 4 12
          
 5 11 17 23x ...; ; ; ; ;...12 12 12 12    
IV. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
ELEMENTALES
Se llamará asi a aquellas igualdades en las cuales se
conoce el valor de alguna razón trigonométrica y son
de la forma:
R.T.(wx ) n  
Donde:
x : variable o incógnita
w : coeficiente angular
n : valor de la R.T. (n ) 
Sen2x 1 Son ejemplos de
1Cosx ecuaciones trigonométricas
2
elementales
Tan x 2
3
 
 
 
 
     
  
Senx Cosx 1 Son ejemplos de
Senx 1 Tanx ecuaciones trigonométricas
Senx Tanx Cos2x no elementales
  
 
  
   
1. Senx = 2/3
Ecuación trigonométrica elemental
2. Cos2x = 3/4
Ecuación trigonométrica elemental
3. Tan 3x 2
4
 
 
 
+ = –
Ecuación trigonométrica elemental
4. Senx + Cos2x = 1
Ecuación trigonométrica no elemental
5. Sen2x = 1 + Tanx
Ecuación trigonométrica no elemental
6. SenxCosx = Tanx
Ecuación trigonométrica no elemental
Nota:
Para soluciones debemos tener presente:
V. EXPRESIONES GENERALES PARA LOS
ARCOS
Cuando se conoce el valor de una razón trigonométrica
(ecuación elemental), el arco o ángulo que cumple
con la igualdad se puede generalizar buscando la regla
de formación existente entre las soluciones de la ecua-
ción, siendo estas formas generales las siguientes:
 
kSen a k ( 1) arcsen(a); k z
Cos a 2k arccos(a); k z
Tan a k arctan(a); k z
         
        
        
Aplicación 1:
Resuelva e indique la solución general de la ecuación:
2Sen4x
2

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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS: ELEMENTALES Y NO ELEMENTALES
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Problema 1
Al resolver el sistema:
2senx 3tgy 4 3
6 senx tgy 2 3
  

  
se obtiene que la solución en el primer
cuadrante es:
UNI 1986
Nivel fácil
A) x 45 , y 45   
B) x 60 , y 30   
C) x 30 , y 60   
D) x 60 , y 45   
E) x 60 , y 60   
Resolución:
De los datos:
3senx
2
  x = 60°
tg y 3   y = 60°
Respuesta: E) x = 60°, y = 60°
Problema 2
Al resolver la ecuación 23tg 1,  donde
0 2 ,    la suma de todas sus solu-
ciones es:
UNI 1992
Nivel intermedio
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Resolución:
2 1tg
3
   3tg
3
 
6
  , 
7
6

Pero: 0 2   
3tg
3
   
Resolución:
Igualamos la variable angular (4x) a la forma general
correspondiente, de donde se despejará el valor de x
que será la solución general de la igualdad:
k
/4
2 2Sen4x 4x K ( 1) arc Sen
2 2

 
       
 


De donde:
K4x K ( 1)
4
    
Kx K ( 1) K
4 16
       
 Solución general
Aplicación 2:
Resuelva e indique la solución general de la ecuación:
  2Cos 2x 4 2  
Resolución:
Igualamos la variable angular  2x 4 a la forma general
correspondiente, de donde se despejará el valor de x
que será la solución general de la igualdad:
 
2arc Cos
2
2 2Cos 2x 2x 2K arcCos
4 2 4 2
 
  
 
           
 
De donde:
 2x 2K4 4      
32x 2K
4 4
    
32x 2K
4 4
    
3x K K
8 8
       
 solución general
Aplicación 3:
Resuelva e indique la solución general:
Tan3x 3
Resolución:
Tan3x 3
3x K arc tan 3  
3x K
3
  
Kx ;K Z
3 9
   
problemas resueltos
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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS: ELEMENTALES Y NO ELEMENTALES
TEMA 23 - 24
Exigimos más!
5 11,
6 6
  
La suma de todas las soluciones es 4 .
Respuesta: C) 4
Problema 3
Dada la ecuación:
cosx + cos2x + cos3x = 0
Hallar la suma de todas las soluciones de
dicha ecuación, si estas soluciones están
comprendidas entre 0 y 2 radianes.
UNI 1989
Nivel difícil
A) 
B) 2
C) 4
D) 3
E) 6
Resolución:
Ordenando:
    cos 3x cos x cos 2x 0  
Transformando a producto:
     3x x 3x x2cos cos cos 2x 02 2   
   2 cos 2x cos x cos 2x 0 
    cos 2x 2cos x 1 0 
• Si: cos 2x 0 x k / 4     
• Si: 12 cos x 1 0 cos x
2
    
 
2x 2k
3
   
La suma de las soluciones comprendidas
entre 0 y 2 radianes se:
2 3 5 4 7S 6
4 3 4 4 3 4
            
Respuesta: E) 6 