Tarea_1_Concepto_de_integral_Diego_Jimenez_Letra_A

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Tarea 1. El Concepto de Integral 
 
 
 
Diego Armando Jiménez Buelvas 
Grupo. 100411_20 
 
 
 
Tutor 
Luis Ramón Fuentes 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) 
Escuela De Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniera 
Calculo Integral 
Montelibano – Córdoba 
Octubre 2022 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introducción 
En el presente documento se se dará solución a 4 ejercicios propuestos en 
la actividad 1 del curso de cálculo integral con esta tarea se pretende afianzar el 
concepto de la integral y las clases de integrales que existen como por ejemplo se 
trabajará con integrales inmediatas, definidas e indefinidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS TAREA 1 
Temática 1 - Antiderivadas. (LETRA A) 
a. 
∫
3(𝑥2 + 𝑥)2
√𝑥
 𝑑𝑥 
 
Simplificar expresión 
3(𝑥2+𝑥)
2
√𝑥
 Binomio cuadrado (𝑎2 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎. 𝑏 + 𝑏2 
 
3(𝑥4+2𝑥3+ 𝑥2 )
√𝑥
 = 
3
1 
 = 
𝑥4+2𝑥3+ 𝑥2
𝑥1/2
 
 SEPARANDO EL NUMERADOR 
3
1 
 = 
𝑥4
𝑥1/2
+ 
2𝑥3
𝑥1/2
 + 
𝑥2
𝑥1/2
 
 = 
3
1 
 (𝑥4−1/2 + 2𝑥3−1/2+ 𝑥2−1/2) 
 = 3(𝑥7/2+ 2𝑥5/2+ 𝑥3/2) 
Integral ∫ 3(𝑥7/2+ 2𝑥5/2+ 𝑥3/2) 𝑑𝑥, Sacando el 3 de la integral 
 3 ∫ 𝑥7/2+ 2𝑥5/2+ 𝑥3/2 𝑑𝑥 
 
Finalmente sabiendo que ∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + 𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
 = F(x)+ G(x)+N(X)+C 
 
 3 [∫ 𝑥7/2dx +2 ∫ 𝑥5/2𝑑𝑥 + ∫ 𝑥3/2 𝑑𝑥 ] + C 
∫ 𝑥𝑛 dx = 
𝑥𝑛+1
n+1
 
 
 
 
 = 3 
𝑥7/2+1
7/2+1
 + 2 (
𝑥5/2+1
5/2+1
 ) + 
𝑥3/2+1
(3/2+1)
 + C 
 
 
 
 = 3 
𝑥9/2
(9/2)
 + 2 (
𝑥7/2
7/2
 ) + 
𝑥5/2
(5/2)
 + C 
 
 = 3 
2
9
 𝑥4/2+ 
4
7
 𝑥7/2+ 
2
5
 𝑥5/2 + C 
 
COMPROBACION: 
 f(X) = 3 
2
9
 𝑥4/2+ 
4
7
 𝑥7/2+ 
2
5
 𝑥5/2 + C 
 
f’(x) = 3 
2
9
.
9
2
𝑥(9/2−1)+ 
4
7
 .
7
4
 𝑥(7/2−1)+ 
2
5
 .
5
2
𝑥(5/2−1) 
 
f’(x) = 3 𝑥7/2 + 2 𝑥5/2 + 𝑥3/2 
 
f’(x) = 3 𝑥8/2−1/2 + 2 𝑥6/2−1/2 + 𝑥4/2−1/2 
 
f’(x) = 3 
𝑥4
𝑥1/2
 + (
2𝑥3
𝑥1/2
 ) + 
𝑥2
𝑥1/2
 
 
f’(x) = 3 
𝑥4+2𝑥3+𝑥2 
𝑥1/2
 = f(X) = 
3(𝑥2+𝑥)
2
√𝑥
 
 
 
TEMÁTICA 2 – SUMAS DE RIEMANN – (LETRA A) 
 
a. Teniendo en cuenta la integral, 
∫
𝑥2 + 7𝑥 
2
𝑑𝑥
8
2
 
 
 
 Calcule una aproximación del área bajo la curva utilizando las Suma de Riemann 
Izquierdas con n=5 particiones y compruebe la respuesta en GeoGebra. 
 Calcule la Suma de Riemann utilizando GeoGebra para n= 18 y n=34, añada imágenes 
de las gráficas y realice un análisis de comparativo de las tres aproximaciones 
realizadas (n=5, n=18 y n=34) 
∫
𝑥2 + 7𝑥 
2
𝑑𝑥
8
2
 
 
HALLAR DELTA DE X 
 
PARA n= 5 ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
=
8−2
5
= 1.2 
 
∫
𝑥2 + 7𝑥 
2
𝑑𝑥
8
2
 
 
 lim
𝑛→6
∑ (𝑥2 + 7𝑥 )(1,2)
5
𝑖=4
 
 
 
 xi F(XI)= (𝑥𝑖2 + 7𝑥 𝑖)/2 
 ∆𝑥 = 1.2 2 22 + 7(2) /2=9 
 3.2 16.32 
 4.4 25.08 
 5.6 35.28 
 6.8 46.92 
 8 60 
 Se suman todos menos el 60 
 ya que estamos tomando limites 
 izquierdos. 
I = ∑ f(𝑥𝑖)
5
𝑖=4
∆𝑥 = (1,2) ∑ f(𝑥𝑖)
5
𝑖=4
= 1,2 (132.6) 
 
 
 
I = 159.12 𝑢2 Resultado Integral para n=5 
Observando el geómetra para n=5 vemos que el resultado concuerda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calcule la Suma de Riemann utilizando GeoGebra para n= 18 y n=34, añada imágenes 
de las gráficas y realice un análisis de comparativo de las tres aproximaciones 
realizadas (n=5, n=18 y n=34) 
n=18 
 
 
 
n= 34 
 
 
 
 
Al observar la graficas se puede ver que, con aumento en las particiones, se generan menos 
perdida de área. Como ejemplo tenemos que la suma de Riemann con n=5 y n= 34, hay una 
diferencia en área de más de 33 unidades de diferencia, es decir, que para n=5 se pierden un 
poco más de 33 unidades de área. 
 
 
Se recomienda emplear más particiones en pro de mejorar los resultados. 
TEMÁTICA 3 – INTEGRAL DEFINIDA. (LETRA A) 
Calcular la siguiente integral definida: 
Después de calcular la integral realizar los siguientes pasos: 
 Graficar la integral definida en GeoGebra y adjuntar dicha gráfica 
a. 
∫ (
cos 𝑥
2
+ 
sen 𝑥
3
) 𝑑𝑥 
𝜋/2
0
 = (
sen 𝑥
2
− 
cos 𝑥 
3
)ʃ 
 
= 
sen(𝜋/2)
2
 - 
cos(𝜋/2)
3
 - 
sen(0)
2
 - 
cos(0)
3
 = 
1
2
+ 
1
3
 = 
5
6
 = 0,833 
 
 
 
El GeoGebra comprueba la respuesta. 
 
 
TEMÁTICA 4 – TEOREMAS DE INTEGRACIÓN. 8 (LETRA A) 
Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(𝑥) de las siguientes funciones. Aplicar 
el Teorema Fundamental del Cálculo: 
Sea f integrable y u y v diferenciables, sea 
 
 
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
 
Entonces 𝐹′(𝑥) se define de la siguiente manera: 
 
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥)) ∗ 𝑢′(𝑥) − 𝑓(𝑣(𝑥)) ∗ 𝑣′(𝑥) 
a. 
 Sea f integrable y u, v diferenciable 
𝐹(𝑥) = ∫ 2𝑡 + 𝑡2𝑑𝑡
𝑥3
3𝑥2
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥)) ∗ 𝑢′(𝑥) − 𝑓(𝑣(𝑥)) ∗ 𝑣′(𝑥) 
𝐹(𝑥) = ∫ (2𝑡 + 𝑡2)𝑑𝑡
𝑥3
3𝑥2
 = 2 (𝑥3) + (𝑥3)2 = (3𝑥2) – 2 (3𝑥3) + (3𝑥3)2 
 
𝑢(𝑥) = 3𝑥2 𝑣(𝑥)= 9𝑥2 
 
𝑓(𝑥) = (2𝑥3 + 𝑥6) 3𝑥2- (6𝑥3+ 9𝑥6)( 9𝑥2) 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 2𝑥3 + 𝑥6 − (6𝑥3 + 9𝑥6)3 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 2𝑥3 + 𝑥6 − 18𝑥3 − 27𝑥6 
 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 (−26𝑥6 − 16𝑥3) 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 (−2𝑥3) 13𝑥3 − 8) 
 
𝑓(𝑥) = -6𝑥5 (13𝑥3 − 8) 
 
 
 
Referencias Bibliográficas: 
Ortiz, F., & Ortiz, F. (2015). Cálculo Integral. Grupo editorial patria. (pp. 36-42). 
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39469?page=36 
Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – 
Grupo Editorial Patria. (pp. 27 – 38). https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39431?page=27 
Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial 
Patria. (pp. 14 - 16). https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39432?page=14 
Segura, A. (2014). Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Económico-Administrativas: 
Simplicidad Matemática. Grupo Editorial Patria. (pp. 201 – 203). https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39389?page=201 
 
 
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https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39432?page=14
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39432?page=14
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39432?page=14
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39389?page=201
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39389?page=201
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https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39389?page=201