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REPUBLICA DE COLOMBIA 
CENTRO EDUCATIVO RURAL LA ANGELITA 
CREADO POR LA SECRETARIA DE EDUCACIÓN DEPARTAMENTAL MEDIANTE 
RESOLUCION 517 DEL 28 DE MAYO DE 2012 RESOLUCION 09673 DE 12 DE DICIEMBRE DE 2014 PARA 
OFRECER EDUCACION MEDIA ACADEMICA – REGISTRO DE FIRMA EN LIBRO 6 FOLIO 197 
 DANE 254264000506 
MUNICIPIO DEL ZULIA – NORTE DE SANTANDER 
 
 
COMPETENCIAS 
 Identifico características de 
localización de objetos geométricos en 
sistemas de representación cartesiana 
(polares, cilíndricos y esféricos) y en 
particular de las curvas y figuras cónicas. 
 Modelo situaciones de variación 
periódica con funciones trigonométricas 
 
DESEMPEÑOS 
 Identifica los diferentes sistemas de 
coordenadas y realiza conversiones 
entre ellos. 
 
 Reconoce y aplica las razones 
trigonométricas para resolver 
triángulos rectángulos y situaciones 
relacionadas con este tipo de 
triángulos. 
 
 PRESABERES 
 
 Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano se describen como razones o 
relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo (triángulo en el cual uno de sus ángulos 
es recto). 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Cómo identificar los catetos en un triángulo rectángulo? 
Cómo diferenciar entre el cateto opuesto y el cateto contiguo en función del ángulo de 
referencia. 
¿Cómo saber cuál es el cateto opuesto? 
Se le llama cateto opuesto al lado que esté enfrente del ángulo de referencia 
¿Cómo saber cuál es el cateto contiguo o cateto adyacente? 
Se le llama cateto contiguo al lado que esté tocando a ese ángulo. 
Si tomamos de referencia el ángulo B: 
 
 
b es el lado que está enfrente de B y c es el lado que está tocando al ángulo B. 
Pero si tomamos como referencia al ángulo C: 
AREA Matemáticas ASIGNATURA Matemáticas 
UNIDAD: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 
TEMA: Razones Trigonométricas en el Plano Cartesiano 
GRADO: 10° TIEMPO: 6 Horas 
DOCENTE: Yarixa Liliana Soto Amado AÑO: 2020 
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
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Entonces b es el cateto contiguo y c es el cateto opuesto. 
 
Por tanto, para saber cuál de todas las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, 
tienes que utilizar para resolver un problema, lo primero que tienes que hacer es 
identificar tus catetos con respecto al ángulo con el que estés calculándolas. 
 
Los lados y ángulos del triángulo rectángulo, tienen una serie de relaciones entre ellos, las 
cuales nos van a ayudar a calcular las medidas de los elementos que no conozcamos. 
 
 Los tres lados están relacionados por el teorema de Pitágoras: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
 Los tres ángulos suman entre ellos 180º: 
 
 Los lados y los ángulos se relacionan mediante las razones trigonométricas. 
 
Funciones trigonométricas en el plano cartesiano de ángulos agudos 
Si el triángulo tiene un ángulo agudo θ se pueden encontrar seis razones entre las 
longitudes de los lados a, b y c del triángulo. 
b/c, a/c, b/a, a/b, c/a, c/b 
 
Las relaciones son funciones de θ y se les llama funciones trigonométricas. Las funciones 
trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, sus 
símbolos respectivamente son: sen, cos, tan, cot, sec y csc. 
Por ejemplo sen θ indica la relación b/c respecto a θ. 
Si θ es el ángulo agudo del triángulo rectángulo entonces: 
Sen θ = b/c 
Cos θ = a/c 
Tan θ = b/a 
Cot θ = a/b 
Sec θ = c/a 
Csc θ = c/b 
https://ekuatio.com/teorema-de-pitagoras-aplicacion-ejercicios-resueltos-paso-a-paso/
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Si el ángulo θ es agudo a los lados del triángulo se les llama cateto adyacente, cateto 
opuesto e hipotenusa. Es decir: 
 
Los valores de las seis funciones trigonométricas son positivos para todo ángulo agudo θ. 
Seno y cosecante son recíprocas entre sí. 
Coseno y secante son recíprocas entre sí. 
Tangente y cotangente son recíprocas entre sí. 
 
EJEMPLO: 
Si el ángulo θ es agudo y cos θ = 3/5, calcula el valor de las seis funciones trigonométricas 
de θ. 
Solución: como;| 
 
 
 
Tenemos que 
Cateto adyacente = 3 
Hipotenusa = 5 
Aplicando el teorema de Pitágoras, calculamos el lado faltante que es el cateto opuesto. 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = √(ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎) 2 − (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 )2 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = √(5) 2 − (3 )2 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = √25 − 9 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = √16 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 4 
Las funciones trigonométricas de este triángulo son las siguientes: 
Sen θ = 4/5 
Cos θ = 3/5 
Tan θ = 4/3 
Cot θ = 3/4 
Sec θ = 5/3 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
 
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
 
𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
 
 
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
= 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝟑
𝟓
 
 
 
 
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Csc θ = 5/4 
 
SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 
Sen α = cateto opuesto/hipotenusa 
Cos α = cateto adyacente/hipotenusa 
Tan α = cateto opuesto/ cateto adyacente 
 
 
 
 Primer cuadrante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este cuadrante el cateto adyacente está sobre el eje “x” y el cateto opuesto sobre el eje 
“y”, la hipotenusa es el radio de la circunferencia. 
Como el c, opuesto, c. adyacente y la hipotenusa son positivos, todas las funciones 
trigonométricas son positivas en el primer cuadrante. 
 
 Segundo cuadrante 
 
 
 
 
 
En este cuadrante, el cateto adyacente es negativo y el cateto opuesto es positivo también 
es positiva la hipotenusa. Por lo que el coseno, la tangente, la secante y la cotangente son 
negativas. 
 Tercer cuadrante 
En este cuadrante el cateto adyacente y el cateto opuesto son negativos y la hipotenusa 
es positiva. Por lo tanto la tangente y la cotangente resultan positivas y las demás 
negativas. 
 
NOTA: Las calculadoras científicas tienen teclas como SIN, COS y TAN que se pueden 
usar para calcular los valores de esas funciones, antes de utilizar la calculadora para 
determinar los valores de funciones hay que seleccionar el modo grados o radián 
según nuestro ángulo 
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 Cuarto cuadrante 
En este cuadrante el cateto adyacente es positivo y el 
cateto opuesto es negativo y la hipotenusa es positiva. Por 
lo tanto solo el coseno y la secante serán positivas. 
 
 
 
 
En conclusión: 
 
 
ANGULO DE REFERENCIA 
Digamos que θ es un ángulo deningún cuadrante en posición estándar. Su ángulo de 
referencia es el ángulo agudo a formado por el lado terminal de θ y el eje horizontal. 
 Cuadrante I: El ángulo dado y el ángulo de referencia son el mismo ángulo. 
 α = θ 
 
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/angles.html
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 Cuadrante II: α = π – θ (radianes) 
 α = 180°– θ (grados) 
 
 
 
 
 
 
 
 Cuadrante III: α = θ – π (radianes) 
 α = θ – 180° (grados) 
 
 
 
 
 Cuadrante IV: α = 2 π – θ (radianes) 
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 α = 360° – θ (grados) 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAZONES TRIGONOMERTICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS 
Las razones de los lados de un triángulo 
rectángulo se llaman razones trigonométricas. 
Tres razones trigonométricas comunes 
son: seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). 
Estas se definen para el ángulo agudo AAA 
(ángulo, ángulo, ángulo) como sigue: 
Los términos opuesto, adyacente e hipotenusa 
se refieren a las longitudes de esos lados. 
 
Ejemplo 1: 
 Determinar la función seno(A) en el triángulo ABC dado a continuación: 
 Determinar el Valor del ángulo ≮ 𝐴 y el ángulo ≮ 𝐵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
La función seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Por lo tanto: 
Los lados son 𝑎 = 3 , 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = 5 
El segmento 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ es el cateto opuesto 
El segmento 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ es el cateto adyacente 
El segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ es la hipotenusa 
El ángulo ≮ 𝑪 es el ángulo recto por lo tanto su medida es de 90° 
 
Nota: Recordar que se trabaja respecto al ángulo de referencia, 
para el triángulo ABC el ángulo ≮ 𝐴 
 
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𝑆𝑒𝑛 ( 𝐴 ) = 
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
𝑆𝑒𝑛 ( 𝐴 ) = 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐵
 
𝑆𝑒𝑛 ( 𝐴 ) = 
3
5
 
𝑆𝑒𝑛 ( 𝐴 ) = 0.6 
Para saber cuál es el valor del ≮ 𝐴 se debe aplicar 𝑆𝑒𝑛−1 (0.6 ) 
𝑆𝑒𝑛−1 (0.6 ) = 36.86 
≮ 𝐴 = 36.86° 
Para consultar el valor del ≮ 𝐵, debemos tener en cuenta que la suma de los tres ángulos 
internos de un triángulo suman 180°, es decir: 
≮ 𝐴+≮ 𝐵+≮ 𝐶 = 180° 
Realizamos el remplazo de los ángulos conocidos que son el ángulo ≮ 𝐴 y el ≮ 𝐶 
≮ 𝐴+≮ 𝐵+≮ 𝐶 = 180° 
36.86°+≮ 𝐵 + 90° = 180° 
Ahora sumamos el valor del ≮ 𝐴 y el valor del ≮ 𝐶 
126.86°+≮ 𝐵 = 180° 
Luego despejamos el valor del ángulo ≮ 𝐵 = pasando 126.86° que está sumando, al otro lado 
de la ecuación a restar, así: 
≮ 𝐵 = 180° − 126.86 
≮ 𝐵 = 180° − 126.86 
≮ 𝐵 = 53.14° 
Por lo tanto el valor del ángulo ≮ 𝐵 es igual a 53.14° 
Ejemplo 2: Del triangulo ∆ 𝐴𝐵𝐶 tal que el ≮ 𝐴 = 90°, conocemos que a= 5 cm y b= 4 cm; así: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Determine el lado faltante y los ángulos internos del triángulo. 
 
Solución: Aplicando el teorema de Pitágoras determinamos el lado c, así 
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 
Reemplazando los valores de a y b, tenemos: 
𝑐 = √(5)2 − (4)2 
𝑐 = √25 − 16 
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𝑐 = √9 
𝑐 = 3 𝑐𝑚 
Por lo tanto el lado c tiene el valor de 3 cm. 
Ahora determinamos el valor de cada uno de los ángulos, aplicando cualquier razón 
trigonométrica podemos hallar el ángulo ≮ 𝐶 
𝐶𝑜𝑠 ≮ 𝐶 =
𝑏
𝑎
 
𝐶𝑜𝑠 ≮ 𝐶 =
4
5
 
𝐶𝑜𝑠 ≮ 𝐶 = 0.8 
𝐶𝑜𝑠−1(0.8) = 36.86° 
Para consultar el valor del ≮ 𝐵, debemos tener en cuenta que la suma de los tres ángulos 
internos de un triángulo suman 180°, es decir: 
≮ 𝐴+≮ 𝐵+≮ 𝐶 = 180° 
Realizamos el remplazo de los ángulos conocidos que son el ángulo ≮ 𝐴 y el ≮ 𝐶 
≮ 𝐴+≮ 𝐵+≮ 𝐶 = 180° 
90° + 𝐵 + 36.86°° = 180° 
Ahora sumamos el valor del ≮ 𝐴 y el valor del ≮ 𝐶 
126.86°+≮ 𝐵 = 180° 
Luego despejamos el valor del ángulo ≮ 𝐵 = pasando 126.86° que está sumando, al otro lado 
de la ecuación a restar, así: 
≮ 𝐵 = 180° − 126.86 
≮ 𝐵 = 180° − 126.86 
≮ 𝐵 = 53.14° 
Por lo tanto el valor del ángulo ≮ 𝐵 es igual a 53.14° 
Por ser el triángulo rectángulo, el área es 𝐴 = 
𝑏×𝑐
2
 
𝐴 = 
4 × 3
2
=
12
2
= 6𝑐𝑚2 
 
 Orientación Didáctica 
 
1. Ambientación: el docente realiza junto con los estudiantes reflexión de motivación antes 
de iniciar el momento pedagógico. 
2. Se entrega a cada estudiante la guía a desarrollar en el cuaderno de matemáticas, la 
cual tiene una duración de 5 horas. 
3. los estudiantes transcriben en su cuaderno la guía de trabajo, a medida que avanzan 
en cada una de las actividades propuestas. 
4. Se realiza la explicación del docente sobre el tema, una vez explicada cada estudiante 
puede desarrollar la actividad propuesta en la misma. 
5. Preparar la sustentación de las actividades propuestas en la respectiva guía, la cual 
será por equipos de trabajo. 
6. Él docente aclara las respectivas dudas encontradas y solicitadas por los estudiantes. 
7. Presentar en el cuaderno la totalidad de las actividades sugeridas para la comprensión 
del tema. 
8. Preparar evaluación escrita. 
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 Formación Intelectual 
Resolver en el cuaderno de matemáticas: 
1. Dado el siguiente triangulo, calcular: 
a. Las razones trigonométricas del ángulo ∝ 
b. Determinar el valor de los ángulos internos del triangulo 
 
 
 
5 cm 
 
 
 
 
2. Calcula las razones trigonométricas para el ángulo ≮ 𝐶 Dado el siguiente triangulo y 
determina los ángulos del mismo. 
 
 
 
 
 
 
3. De un triángulo rectángulo se sabe que uno de su ángulo agudo es 40º y que 
el cateto opuesto a éste mide 10m. Calcula el ángulo y los lados que faltan. 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determinar la longitud del lado c y el valor de los ángulos. 
 
 
 
 
 
 
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5. Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7 m de la base de la torre, el 
ángulo con el que está observando la cúspide es de 60º y sostiene el artilugio a una 
altura de 1,5 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, 
desde la punta del primero hasta el piso, y que tieneun largo de 13.75 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Autoevaluación: 
 
Una vez socializada la guía debes presentar el cuaderno, muy importante que desarrolles 
la totalidad de las actividades propuestas. Igualmente estudiar para la evaluación escrita. 
 
 Bibliografía: 
 
Matemáticas 10° Editorial Santillana. 
www.superprof.es 
www.vadenumeros.es 
 
http://www.superprof.es/
http://www.vadenumeros.es/