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Unidad 3 - E.A. 1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Autor
Leidi Tatiana Velasco Flórez
Competencias y Resultados de Aprendizaje
Ruta Metodológica
Introducción a la Temática
Enseñanzas
Resumen de la Temática
Glosario
Referencias
Funciones trigonométricas
Competencias y Resultados de Aprendizaje
Maneja adecuadamente las razones y funciones trigonométricas en la resolución de triángulos 
rectángulos.
Reconoce los criterios y propiedades, para la solución de triángulos oblicuángulos aplicando 
correctamente la ley del seno y la ley del coseno.
Recomendaciones Generales
Antes de iniciar el estudio del espacio de aprendizaje, lea con atención las pautas a seguir, para 
comprender y apropiar mejor los temas. 
Ruta Metodológica
Requisitos
Segunda unidad de este espacio académico. 
Introducción a la Temática
El estudio de las funciones trigonométricas se asocia con los ángulos y lados de un 
triángulo, relacionándolos con las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), 
los cuales, son utilizados para la solución de aplicaciones en las que se involucren estos 
conceptos. 
En virtud de lo anterior, en el trascurso de este espacio de aprendizaje, se trabajará en el 
desarrollo de los conocimientos para realizar las actividades, en las que aprenderá cómo 
utilizar las funciones trigonométricas en la vida cotidiana. 
Estimado estudiante, para introducir los temas propios de este espacio de aprendizaje, lo 
invito a observar el siguiente video:
Video 1. Qué es la trigonometría 
UnProfesor. (2015, 03, 03). Qué es la trigonometría. [Archivo de video] Recuperado el 2019, 10, 08 en:  
https://youtu.be/aL-HF9KJaGs
VER VIDEO
https://youtu.be/aL-HF9KJaGs
Enseñanzas
Razones trigonométricas
Las razones trigonométricas se utilizan para la resolución de triángulos rectángulos 
(triángulo con un ángulo de 90°).
Las razones trigonométricas son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente, 
las cuales, se definirán a partir de un triángulo rectángulo y uno de sus ángulos agudos.
Los ángulos se denotan con letras griegas tales como: α(Alfa), β(Beta), θ(Teta) entre otras.
Nota: recuerde que las letras mayúsculas representan los vértices del triángulo y que el 
lado opuesto a cada vértice se presenta con la misma letra, pero minúscula. Por 
último, las letras griegas representan los ángulos.
Teniendo en cuenta la figura 1, vamos a definir las razones trigonométricas utilizando el 
ángulo , para esto, se dice que:
• Los lados b y c son catetos de triángulo
• El lado a es la hipotenusa
Ahora de acuerdo con (Fleming y Varberg 1991, p.312) se tiene que:
Observe que las razones trigonométricas cosecante, secante y cotangente, son las 
inversas de seno, coseno y tangente.
Cateto opuesto es igual a decir lado opuesto al ángulo de referencia, de la misma forma, 
el cateto adyacente es igual a decir lado adyacente al ángulo de referencia.
Ejemplo:
Encontrar los valores de las razones trigonométricas para el siguiente triángulo:
Observe, que se da como referencia el ángulo θ y, además, dos lados que corresponden a 
los catetos de triángulo, ya que ellos son los que forman el ángulo de 90°. 
Para hallar los valores de las razones trigonométricas, se necesitan las medidas de todos los 
lados, como en el ejemplo falta la hipotenusa, entonces se halla utilizando el teorema de 
Pitágoras, así: 
Como ya se tiene la medida de la hipotenusa, entonces se procede a hallar las razones 
trigonométricas, teniendo en cuenta el ángulo de referencia θ
Ejemplo
Un topógrafo mide el ancho de un río, por medio de una estaca que coloca en un punto C a 
un lado del río y, toma como referencia, el punto A del otro lado. Después de girar un ángulo 
de 90° en C, camina 180 metros hacia un punto B y determina que el ángulo con referencia al 
punto A mide 30°. Si tan30°=√3/3, ¿Cuál es el ancho del río? (Vega, Sabogal, Sánchez, 
García, Ortiz y Rincón, 2016, p.61).
Primero, se realiza un bosquejo del problema, teniendo en cuenta todas las condiciones, así:
Observe que se tiene un lado del triángulo y un ángulo de referencia, por lo tanto, no se 
puede utilizar el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre el punto A y el punto C, 
así, se llega a la conclusión que se deben utilizar las razones trigonométricas.
Ubicándose en el ángulo de referencia, es posible darse cuenta que la distancia que se 
necesita está en el lado opuesto de él.
Respuesta: el ancho del río es 103,9 metros
Valores de las razones trigonométricas para ángulos de 30° y 60° (ángulos especiales)
Estos ángulos, cuyos valores de las razones trigonométricas se pueden calcular mediante 
construcciones geométricas.
Realizando una construcción de un triángulo equilátero, como se muestra en la figura:
Se pueden encontrar las razones trigonométricas de los ángulos 30° y 60°:
De la misma forma, se pueden encontrar las razones trigonométricas de un ángulo 
de 60°, utilizando el triángulo de la figura 4.
Valores de las razones trigonométricas para el ángulo de 45° (ángulo especial)
Este ángulo, cuyos valores de las razones trigonométricas se pueden calcular mediante 
construcciones geométricas.
Realizando una construcción de un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura:
Se pueden encontrar las razones trigonométricas del ángulo 45º:
Figura 6. Ejemplo 
Se desea medir una antena de comunicaciones. Si un observador que se encuentra en el punto 
A mide el ángulo de elevación a la parte superior de la antena y es de 45º desde la horizontal y, 
otro observador que está en el punto B a 100 metros del primer observador mide el ángulo de 
elevación y obtiene un valor de 60º . ¿Cuál es la altura de la antena? 
A 
• 
100 • X 
Figura 6. Ilustración del ejemplo 
e 
B 
100m • ••-----•• 
X 
X: la distancia de la antena 
punto B 
X -100: distancia del punto 
'A a la antena 
h: altura de la antena 
Fuente: Velasco (2019) 
Estimado estudiante, lo invito a observar el siguiente video en el que se amplia la explicación 
sobre el tema:
Video: Problemas de Aplicación de las Razones Trigonometría.  
José David Arias. (2018, 03, 01). Problemas de Aplicación de las Razones Trigonometría. [Archivo 
de video] Recuperado el 2019, 09, 10 en: https://youtu.be/K4cGGRlguhU
VER VIDEO
https://youtu.be/K4cGGRlguhU
https://youtu.be/K4cGGRlguhU
Longitud de arco –
“La longitud de arco (s) subtendido por un ángulo central θ medido en radianes, en una 
circunferencia de radio r, como se muestra en la figura 7, se calcula mediante la expresión” (Vega, 
Sabogal, Sánchez, Buitrago, Ortiz y Rincón, 2016, p.54).
s=rθ
Área de sector circular –
“El área de un sector circular subtendido por un ángulo central θ, en radianes, en una 
circunferencia de radio r, está dada por la expresión” (Vega, Sabogal, Sánchez, Buitrago, Ortiz y 
Rincón, 2016, p.54).
https://youtu.be/K4cGGRlguhU
Ejemplo:
Determinar la longitud de arco y el área del sector circular subtendido por un ángulo central 
de 134°, en una circunferencia de radio 8 cm.
Funciones trigonométricas
Según Vega, Sabogal, Sánchez, Buitrago, Ortiz y Rincón (2016) “las funciones 
trigonométricas se pueden definir a partir de la circunferencia unitaria (circunferencia de 
radio 1), para esto, se construye un ángulo en posición normal, cuyo lado final interseque a 
la circunferencia unitaria en el punto” (p.68).
Identidades trigonométricas
De acuerdo con Vega, Sabogal, Sánchez, Buitrago, Ortiz y Rincón (2016) “Las identidades 
trigonométricas son igualdades que se establecen al relacionar las razones trigonométricas 
unas con otras. Son útiles siempre que se necesite simplificar expresiones que incluyen 
razones trigonométricas” (144).
Ejemplo:
 Encontrar el valor de la función trigonométrica del ángulo β en cada caso.
a. –
–b. –
Ángulos de elevación y depresión
De acuerdo con Vega, Sabogal, Sánchez, Buitrago, Ortiz y Rincón (2016) “las definiciones 
de ángulos de elevación y depresión son:
Ángulos de 
elevación
Ángulos de 
depresiónEs aquel que se forma 
entre la línea visual y la 
horizontal cuando el 
objeto está por encima 
de la horizontal.
Es aquel que se forma 
entre la línea visual y la 
horizontal cuando el 
objeto está por 
debajo de la horizontal 
(p.115).
Ejemplo:
Desde la punta de un faro situado sobre un acantilado, se observa un barco. La punta del 
faro se encuentra a 87 metros sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión es de 5°. ¿A 
qué distancia se encuentra el barco de la base del acantilado?(Vega, Sabogal, Sánchez, 
García, Ortiz y Rincón, 2016, p.115).
Primero, se realiza un bosquejo de la situación:
Ley de senos
Según Amador (1995) “la ley de seno o teorema del seno se define como, los lados de un 
triángulo son proporcionados a los senos de sus ángulos opuestos. Es decir, dado un 
triángulo ABC” (p.186), se verifica que:
Triángulo oblicuángulo
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto y, por lo tanto, no se 
puede resolver por teorema de Pitágoras, ni con las razones trigonométricas.
Estos triángulos se resuelven utilizando la ley de seno y la ley del coseno.
Casos en que se puede utilizar la ley de senos: (Vega, Sabogal, Sánchez, Buitrago, Ortiz y 
Rincón (2016):
Caso 1: se conoce un lado y dos ángulos (LAA O ALA)
Caso 2: se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA) (p.118).
Ejemplo
Determinar la distancia entre los puntos A y B en las orillas opuestas de un lago, como se 
indica (Vega, Sabogal, Sánchez, García, Ortiz y Rincón, 2016, p.119).
Figura 18. Ejemplo 
• Primero debo calcular el ángulo opuesto a la medida del lado dado AB:
<e= 1 so0-(62º+46º)
4: e =180º-108º
<C = 72
º
• Ahora, se hallará la medida del cable CB, así:
CB C 
--=--
senA sene 
Se reemplazan los valores 
CB 80 -- = -- Se despeja CB 
sen62
º 
sen72
º 
80 x sen62º 
CB =---­
sen72
º 
CB"' 74,3 
Fuente: Ve lasco (20í 9) 
Ley de cosenos
De acuerdo con Amador (1995) “la ley de coseno o teorema del coseno se define así, en 
un triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los dos lados por el coseno del 
ángulo que forman” (p.187), es decir:
Casos en que se puede utilizar la ley de cosenos: (Vega, Sabogal, Sánchez, Buitrago, Ortiz 
y Rincón, 2016, p.118).
Caso 1: se conocen los tres lados del triángulo (LLL)
Caso 2: se conocen dos lados del triángulo y el ángulo comprendido entre ellos (LAL)
Ejemplo
Una embarcación sale del puerto Sol hacia Platino, que está a 300 millas de distancia. Lleva 
una velocidad constante de 20 millas por hora, pero debido a una corriente después de 3 
horas, la embarcación está fuera de curso 20°. ¿A qué distancia se encuentra la 
embarcación del puerto Platino?
Ejemplo
Un camión tiene las medidas AB=2,5 m y AC=1,5 m, tal como se muestra en la figura 21. 
Se sabe que, para conseguir volcar su carga, necesita inclinar su caja hasta 55°. Hallar el 
valor que se necesita para que alcance la distancia de C a B (Amador, 1995, p.187).
Estimado estudiante, a continuación, lo invito a observar un video sobre el tema:
Video. Ley de senos y cosenos – Explicación y ejercicios
Civil Engineering Tutotiales. (2018, 04. 06). Ley de senos y cosenos – Explicación y ejercicios. [Archivo 
de video] Recuperado el 2019, 09, 10 en: https://youtu.be/r7xlmA4ELKY
VER VIDEO
Vectores
Según Vega, Sabogal, Sánchez, Buitrago, Ortiz y Rincón (2016) “un vector es un 
segmento dirigido desde un punto hasta otro. Al primer punto se le llama origen y el 
segundo, extremo” (p.129).
La dirección está asociada al ángulo que el vector forma con el eje horizontal, en un 
sistema de coordenadas.
Un vector se puede representar:
https://youtu.be/r7xlmA4ELKY
https://youtu.be/r7xlmA4ELKY
https://youtu.be/r7xlmA4ELKY
Ángulo de dirección
Suma y resta de vectores
Ejemplo: 
Determinar la suma de -í1 = ( -2, -5) y w = ( 4, -2), luego, graficarla. Calcular su norma y especificar su 
ángulo de dirección. 
• Primero, se halla la suma de los vectores:
it + w = (-2, -5) + (4, -2) 
it+w=C-2+4,-s- 2) 
Ü+w=(Z,-7) 
• Ahora, se halla la norma del vector resultante:
1111 + wll = ✓22 + (-7)2 
llit + wll = ✓4 + 49 
llit + wll = -is3 
11ü+w11 �1,za ... 
• Finalmente, se halla el ángulo de dirección del vector resultante:
0 = tan- 1 (�) 
fJ = -74,05° ... 
Para este caso, se toma el ángulo coterminal que es 285,95° 
Resumen de la Temática
https://aulasvirtuales.uniquindio.edu.co/RecDigital/Geometria/recursos/unidad3/U3_EA1_descargable.pdf
• Cuadrante: nombre de cada una de las cuatro regiones del plano cartesiano.
• Identidad: una igualdad entre dos funciones
• Oblicuángulo: una figura que no posee ángulos rectos
• Teorema: es un enunciado que representa la verdad y se puede demostrar
Glosario
• Vega, Sabogal, Sánchez, García, Ortiz y Ramírez. (2016). Proyectos Saberes Ser Hacer
Matemáticas 10. Bogotá: Santillana S.A.S
• Uribe. (1990). Matemática una Propuesta Curricular. Medellín: Bedout Editores. S.A
• Fleming y Varberg. (1991). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Mexico: Miembro
de la Cámara Nacional de la Industria Editorial.
• Amador. (1995). Geometría Analítica y Trigonometría. Bogotá: Santillana.
Referencias
UNIVERSIDAD 
DEL QUINDÍO 
UNIDAD DE VIRTUALIZACIÓN 
unidaddevirtualizacion@uniquindio.edu.co 
Tel: (57) 6 7 35 9300 Ext 400 
Universidad del Quindío 
Carrera 15 Calle 12 Norte 
Bloque de Ciencias Básicas - Primer Piso 
Armenia, Quindío - Colombia 
ESTRATEGIA VIRTUAL