ALGEBRA SEM 05 - 2022 III

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Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
 
 
 
 (ÁLGEBRA) 
CICLO 2022 - III 
“División algebraica” 
 
 
 
Semana N°05 
 DIVISIÓN ALGEBRAICA: 
METODO DE HORNER 
METODO DE RUFFINI 
1. IDEAS PREVIAS: 
Es muy frecuente realizar 
divisiones con expresiones numéricas en 
un campo numérico limitado. El hombre 
en su afán de tener un concepto 
abstracto de número ha establecido las 
expresiones algebraicas que constituyen 
las piezas fundamentales del álgebra. 
Siendo una de sus aplicaciones las 
operaciones con las expresiones 
algebraicas, en las cuales manejamos 
con soltura y precisión las reglas 
adecuadas a cada operación. 
Ahora corresponde su turno a la división 
de polinomios, operación que requiere 
de procedimientos adecuados para 
obtener lo deseado. 
 
2. DIVISIÓN ALGEBRÁICA: 
Operación que se realiza entre 
polinomios y que consiste en hallar dos 
polinomios llamados COCIENTE Y 
RESIDUO, conociéndose otros dos 
polinomios denominados DIVIDENDO Y 
DIVISOR que se encuentran ligados por 
la relación: 
D(x) = d(x). Q(x) + R(x) 
 
donde: 
 D(x): Dividendo Q(x): Cociente 
 d(x): Divisor R(x): Resto 
 
 
 
 
 
 
 
3. PROPIEDADES DE LA 
DIVISIÓN: 
 
3.1. El grado del dividendo es mayor o igual que 
el grado del divisor. 
Grado (D(x))  Grado (d(x) ) 
 
3.2. El grado del cociente es igual al grado del 
dividendo menos el grado del divisor, o sea: 
 
 Grado (Q(x)) = Grado (D(x)) – Grado (d(x)) 
 
3.3. El grado del Resto es menor o igual que, el 
grado del divisor disminuido en la unidad, 
es decir: 
 
Grado (R(x))  Grado (d(x)) - 1 
 
Lo anterior nos indica que el grado máximo 
que puede adoptar el resto es uno menos 
que el grado del divisor. 
 
3.4. La relación o propiedad fundamental de la 
división en el álgebra forma una identidad. 
 
D(x) = d(x). Q(x) + R(x) ;  x  R 
 
3.5. Si la división es exacta, el resto es un 
polinomio idénticamente nulo. 
 
D(x)  d(x) . Q(x)  R(x)  0 
 
4. PRINCIPALES MÉTODOS DE LA 
DIVISIÓN: 
 
4.1. METODO DE WILLIAM G. HORNER: 
 
a. Coeficientes del dividendo ordenado 
decrecientemente en una variable, 
completo o completado. 
 
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b. Coeficientes del divisor ordenado 
decrecientemente en una variable, 
completo o completado, con signo 
contrario, salvo el primero. 
 
c. Coeficientes del cociente que se 
obtienen de dividir la suma de los 
elementos de cada columna entre el 
primer coeficiente del divisor. Cada 
coeficiente del cociente se multiplica 
por los demás coeficientes del 
divisor para colocar dichos 
resultados a partir de la siguiente 
columna en forma horizontal. 
 
d. Coeficientes del residuo que se 
obtienen de sumar las columnas 
finales una vez obtenidos todos los 
coeficientes del cociente. 
 
ESQUEMA GENERAL 
 
1
2
3 4
LINEA DIVISORIA 
 
La línea divisoria se colocará separando tantos 
términos de la parte final del dividendo como lo 
indique el grado del divisor. 
 
OBSERVACIÓN: Si la división origina un cociente 
exacto, entonces el residuo es un polinomio nulo 
(todos sus coeficientes son cero). 
 
Ejemplo: Dividir 
6𝑥7 − 𝑥6𝑦 + 2𝑥5𝑦2 + 6𝑥4𝑦3 − 𝑥2𝑦5 + 4𝑥𝑦6 + 2𝑦7
3𝑥4 + 𝑥3𝑦 − 2𝑥𝑦3 + 𝑦4
 
3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2
2 -1 +1 +3 -7 +2 +9 -1
-1
 0
+2
-1
-2 0 +4 -2
1 0 -2 +1
-1 0 +2 -1
-3 0 +6 -3
x
Coeficientes del Coeficiente del
ResiduoCociente 
 
 
 
La variable se agrega de acuerdo al grado del 
cociente y del resto, se tiene: 
Q (x; y) = 2x3 - x2y + xy2 + 3y3 
R (x; y) =-7x3y4 + 2x2y5 + 9xy6 - y7 
 
4.2. MÉTODO DE PAOLO RUFFINI 
Se utiliza para dividir polinomios y cuyo 
divisor es un binomio de primer grado de la 
forma: (ax+b). 
 
También podría ser cualquier otro divisor 
que puede ser llevado o transformado a la 
forma antes mencionada. 
 
Pasos a seguir: 
 
1) Coeficientes del dividendo ordenado 
decrecientemente, completo o 
completado con respecto a una 
variable. 
2) Valor que se obtiene para la variable 
cuando el divisor se iguala a cero. 
3) Coeficientes del cociente que se 
obtienen de sumar cada columna, 
luego que el coeficiente anterior se ha 
multiplicado por (2) y colocado en la 
siguiente columna. 
Resto de la división que se obtiene de 
sumar la última columna 
 
 ESQUEMA GENERAL 
 
1
3 4
2
 
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Ejemplo 1: Dividir: 
 
3𝑥5 − 2𝑥4 + 7𝑥3 − 11𝑥2 + 5𝑥 + 1
𝑥 − 2
 
3 -2 7 -11 +5 +1
3 4 15 19 43 87
+2 +6 8 30 38 86
x-2=0
x=2
Residuo
 
 
 
 Como: Grado (Q) =5 - 1=4, confeccionamos el 
cociente: 
 
Q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43 
R(x) = 87 
 
PROBLEMAS PROPUESTAS 
 
1. Si el resto de dividir: 
3𝑥5 − 8𝑥4 − 5𝑥3 + 26𝑥2 +𝑚𝑥 + 𝑛
𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 8
 
es: -5x +2. Hallar m+n 
 a)-2 b) 2 c) 3 d)-7 e) 7 
 
2. Divida: 
4𝑥3−7𝑥+3
𝑥+2𝑥2
. Hallar el 
cociente. 
a) q(x) = 2x-1 b) q(x) = x+1 c) q(x) = 
x+9 d) q(x) = 2x+1 e) N.A 
 
3. Divida: 3𝑥4 -5x + 2 entre x+2.Hallar el 
residuo. 
a)50 b)40 c)20 d)60 e)100 
 
4. Efectúe la división: 
6𝑥3+𝑥2+3𝑥
𝑥−2
. 
Hallar el residuo. 
a)21 b) 41 c) 61 d) 57 e)58 
 
5. En la división exacta 
4𝑥4+2𝑥3+𝑎𝑥+𝑏
2𝑥2−3𝑥+1
.¿Cuál es el valor de 
b-a? 
a)10 b) 12 c) 14 d) 16 d)18 
 
 
 
6. Calcule el valor de n si al dividir: 
2𝑥3+𝑛𝑥2+𝑛𝑥+1
𝑛𝑥+2𝑛
 , se obtiene como resto 5. 
a)2 b) 4 c) 10 d) 4 e) 8 
 
7. Luego de dividir: 
4𝑥5+8𝑥4+6𝑥2+3𝑥3+1
2𝑥3−𝑥2+2𝑥−1
 , indique la suma 
de coeficientes del cociente. 
a)0 b)1 c) 4 d) 9 e) 10 
 
8. En la siguiente división 
3𝑎𝑥3 + (2𝑎 − 3)𝑥2 + 6𝑥 + 4
𝑎𝑥 − 1
 
La suma de coeficientes del cociente es 10. 
Calcule su residuo. 
a)2 b)9 c)3 d)10 e) 5 
 
9. Sean los polinomios 
q(x) = a𝑥2 +bx +c , R(x) = mx+n 
el cociente y residuo, respectivamente, de 
la división. 
2𝑥4 + 3𝑥3 − 8𝑥2 + 1 − 4𝑥
𝑥2 − (𝑥 + 1)
 
Calcule (𝑎 − 𝑏 − 𝑐)2 
a)0 b) 2 c) 3 d) 4 e)10 
 
10. Si en la siguiente división: 
5𝑥3 + 6𝑥4 − 1
𝑥 + 3𝑥2 − 2
 
Se obtiene un resto de la forma mx+n-3, 
Calcule m-n 
a)-3 b) -4 c)-1 d)0 e)-9 
 
11. Calcule el valor de n si la división 
𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 + 𝑛
𝑥 − 2
 
Admite un residuo igual a 10. 
a)2 b) 1 c) 4 d)5 e)7 
 
12. En la siguiente división: 
(2𝑥40 + 𝑛)𝑥 + 5
𝑥 − 1
 
Se sabe que la suma de coeficientes del 
cociente sea 93. Calcule el residuo. 
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a)5 b) 8 c) 9 d)10 e) 12 
 
13. Halle el valor de 
𝑎−𝑏
𝑐−1
 si la división 
algebraica 
−𝑎5 + 𝑏𝑥4 + (𝑐 − 1)𝑥3 − 𝑥2 + 4
−4𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2
 
Es una división exacta. 
a)0 b) 1 c) -1 d) -2 e)5 
 
14. En la división no inexacta: 
cbxax
babcxabx9x)c2a6(bx2ax2
2
223245
−+
−++−++
 
Determinar el valor numérico de: 
)
a9
a
(
c
1
E
−
= 
 a)1 b)1/2 c) 1/3 d) 1/6 e)1/4 
 
15. Hallar (a + b + m), si la división: 
5x7x
b12axx19x4x2x
3
2345
+−
++++−−
 
de por residuo: mx2 + 2x – 6 
a)0 b)23 c)-22 d)-19 e)11 
 
16. Obtenga el residuo de efectuar la 
división indicada. 
(3𝑥2)2 + 2(2𝑥)2 +𝑚𝑥 + 3𝑚
2 − 3𝑥
 
Si el cociente evaluado en cero 
resulta ser -3. 
a)9 b)8 c) 7 d)10 e)-3 
 
17. Sea el polinomio 
F(x) = (√3 + √2)𝑥4 –(1+√2-√3)𝑥3 
+2√6 –(4-2√6)𝑥2 
Halle su valor numérico en x = √3 - 
√2. 
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 
 
18. Calcule el valor de a+b en la división 
de 55𝑥3 +(166+p)x -8 -b𝑥2 entre a𝑥2-
39x+2, si deja como residuoa R(x) 
=px. 
a)180 b) 175 c)200 d)250 e)300 
 
 
19. Determine la suma de coeficientes del 
cociente que se obtiene al dividir 
4𝑥80 -2𝑥79+x+b entre x-1. 
a)143 b) 163 c)153 d)130 e) N.a 
 
20. En la división algebraica 
𝑥𝑛−1 − (𝑛 + 2)𝑥 + 𝑛 + 1
𝑥 − 1
 
El término independiente del cociente 
es -10. ¿De qué grado es el 
dividendo? 
a)2 b) 5 c) 8 d) 9 e)10 
 
21. Calcule el valor numérico del polinomio: 
P(x) = √2𝑥5 + (1- √10)𝑥4 + 2√5𝑥3 - 3√5x 
+3√10. 
Cuando x = √5 - √2 
a)6 b)7 c)8 d)10 e)12 
 
22. Determine el valor de m y n para que el 
polinomio P(x) = n𝑥20 - m𝑥19 +mx-1 sea 
divisible por (𝑥 − 1)2.Dé como respuesta 
9mn. 
a)1 b)10 c)11 d)3 e)5 
 
23. En la siguiente división indicada 
𝑛𝑥𝑛+3 + (𝑛 + 1)𝑥𝑛+2 + 3𝑛𝑥2 − (5𝑛 − 2)𝑥 +
−𝑛 − 3
3
3𝑥 − 3
 
La suma de coeficientes del cociente con 
el resto es 6470.Halle n. 
a)95 b)96 c)97 d)100 e)120 
 
24. Al dividir P(x) = 𝑥4+A𝑥3+B𝑥2+2x-1 entre un 
polinomio de segundo grado se obtiene 
como cociente 𝑥2-1 y como residuo 
2x+1.Indique el valor de B. 
a)0 b)2 c)3 d)1 e) 10 
 
25. Si la siguiente división algebraica 
(𝑥 + 1)2
2011
+ 𝑥2
2010
− 3𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥
 
Deja resto R(x) = Ax+B, calcule el valor de 
R(2). 
 a)-4 b) -3 c)0 d)1 e)N.a