ARITMETÍCA SEM 09 - 2023 I

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Centro Preuniversitario de la UNS S-5 Ingreso Directo 
 CICLO 2023–I 
 ARITMÉTICA 
“NUMEROS PRIMOS II” 
 
 
Regla para determinar los divisores de un número 
a) Se descompone el número en factores primos. 
b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) 
y a continuación se pone las diversas potencias 
del primer factor primo. 
c) Se multiplica los divisores hallados por las 
diferentes potencias del segundo factor primo. 
d) Se multiplica todos los factores hallados 
anteriormente por las diferentes potencias del 
tercer factor y así sucesivamente. El último 
divisor hallado al formar éstos productos es el 
número dado. 
Tabla de divisores de 240 
1 2 4 8 16 
3 6 12 24 48 x3 
5 10 20 40 80 x5 
15 30 60 120 240 3x5 
 
240 posee 20 divisores de los cuales 3 son divisores 
primos ( 2 ; 3 ; 5 ). 
 
Sea “N” un número compuesto. 
1 D D D CP(N)  
 
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO 
I. Cantidad de divisores [D(N)] 
El número total de divisores de un número es 
igual al producto de los exponentes de los 
factores primos aumentados en 1. 
D(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) 
 
Ejemplo 01: Determinar la cantidad de divisores 
de 720 
Observación 
Número Divisores 
Total de 
divisores 
A 1; A ; A2 ; A3 ; . . . ; 
A 
(+1) 
B 1; B ; B2 ; B3 ; . . . ; B (+1) 
C 1; C ; C2 ; C3 ; . . . ; C (+1) 
Por el principio de combinaciones 
D(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) 
 
II. Suma de divisores [SD(N)] 
 
1C
1C
x
1B
1B
x
1A
1A
 SD
111
(N)








 
 
Ejemplo 02: Determinar la suma de divisores de 
240 
 
Importante: 
1-a
1-a
 a a . . . a a a 1
1n
n1-n32

 
 
Según cocientes notables en álgebra. 
Importante: 
Todo número que tenga un número impar de 
divisores es un número cuadrado perfecto. 
 
III. Suma de las inversas de los divisores 
[SID(N)] 
N
SD
SID
)N(
)N(  
 
Ejemplo 03: Determinar la suma de las inversas de 
los divisores de 600 
 
IV. Producto de divisores de un número [PD(N)] 
2
D
D
(N)
(N)
(N) N N PD  
 
Ejemplo 04: Determinar el producto de los 720 
 
Cantidad de formas de descomponer “N” como el 
producto de 2 factores : F (N) 
Ejemplo 
ParD
2
D
)N(
)N(
 
F(N) = 
parImD
2
1D
)N(
)N(


 
 Sea : 18 = a x b 
18 x 1
18 = 9 x 2
 6 x 3 
 Semana Nº 9 
 
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3 formas de descomponer 18 como el producto de 
2 factores. 
Forma práctica: 
18 = 21 x 32 
D(18) = (1+1) (2+1) = 6 
3
2
6
2
D
 F
(18)
)18(  
Ejemplo 05: 
¿De cuántas maneras se puede descomponer 8100 
como el producto de 2 factores? 
 
INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER 
Notación: (N) ; (N) ; (N) 
(PSI) 
Es la cantidad de números enteros positivos 
menores que un número dado y primos con él. 
Sea “N” un número compuesto. 
N = A x B x C (D.C.) 
Se calcula: 
(N) = 1)-(C Cx 1)-(B Bx 1)-(Ax A 1-1-1-  
(N) = N x 


















C
1
1
B
1
1
A
1
1 
 
Ejemplo 06: ¿Calcular cuántos números menores y 
PESI con 12 existen? 
 
Ejemplo 07: Calcular el indicador de 960. 
 
Observación: 
Sea: “P” un número primo absoluto. 
)P( = P - 1 
Ejemplo 08: * )13( = 13 - 1 = 12 
 * )97( = 97 - 1 = 96 
DESCOMPOSICION CANONICA DEL FACTORIAL DE 
UN NÚMERO 
Consideraciones: 
0! = 1! = 1 
2! = 1 x 2 = 2 
3! = 1 x 2 x 3 = 6 
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040 
8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320 
  
n! = 1 x 2 x 3 x . . . x (n-2)(n-1) x n 
 
Ejemplo 09: Hacer la descomposición canónica de 
20!. 
Observación: 
Si N! está expresado en base “n” para calcular en 
cuántos ceros termina solo se necesita calcular el 
exponente del mayor número primo contenido en 
la base “n”. 
Ejemplo 10: 
Hallar “x” en: 13! = )12(0...00b...a 
 “x” ceros 
COMPLEMENTOS TEORICOS 
NÚMERO PERFECTO 
Número perfecto es aquel número que es igual a la 
suma de sus divisores propios. 
Ejemplos: 
* 6  1 , 2 , 3 , 6 
propiosD de 6 : 1 ; 2 ; 3 
6 = 1 + 2 + 3 
* 28  1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28 
28 = 1 + 2 + 4 +7 + 14 
 
NÚMERO PERFECTO PAR 
N = ]12[2 1nn  
 # primo 
Algunos ejemplos: 
* Para n = 4 
 N = 24 x (25 - 1) = 496 
* Para n = 6 
 N = 26 x (27 - 1) = 8128 
* Para n = 13 
 N = 33550336 
 
NÚMERO DEFECTUOSO 
Número defectuoso es aquel número cuya suma de 
sus divisores propios es menor que dicho número. 
Ejemplo: 
Divisores propios: 1; 2 
1 + 2 < 4 
 4 es un número defectuoso 
 
NÚMERO ABUNDANTE 
Número abundante, es aquel número cuya suma de 
sus divisores propios es mayor que dicho número. 
Ejemplo: 
12  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 
 
 Divisores propios 
1 + 2 + 3 + 4 + 6 > 12 
 12 es un número abundante 
NÚMEROS AMIGOS 
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Dos números naturales son amigos cuando cada 
uno es igual a la suma de los divisores del otro, 
excepto él. 
Ejemplo: 
Número Divisores 
284 1,2,4,71,142,284 
220 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,11
0 
* Suma de divisores propios de 284: 
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 
* Suma de divisores propios de 220: 
1+ 2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 
 
 220 y 284 son números amigos 
 
NÚMEROS SATURADOS 
Son aquellos números con la mayor cantidad 
posible de divisores que cualquier otro número 
menor que él. 
Ejemplo: 24 es un número saturado. 
24 = 23 x 3 D(24) = 8 
de la serie natural (1 , 2 , . . . , 24) 
 24 es el número que posee más divisores 
 
NÚMERO MIRP 
Son aquellos números primos que al ser invertidos 
el orden de sus cifras, siguen siendo números 
primos. 
Ejemplo: 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , . . . 
 
NÚMEROS MIRP-NONREP 
Son aquellos números MIRP, que tienen cifras 
diferentes entre si: 
Ejemplo: 13 , 17 , 73 , 79 , . . . 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
01. La suma de tres números primos menores que 
15 resulta un número primo que es divisor de 
1955. Calcule la mayor diferencia entre dos de 
estos primos. 
 
 a) 6 b) 4 c) 8 d) 10 e) 9 
 
02. Si un número tiene 2m divisores simples, 
además la suma de ellos es 29, halle la 
cantidad de divisores PESI con 5 que tiene 
dicho número. Concidere que dicho número es 
lo menor posible y tiene en total 48 divisores 
(m Z+); además, m es máximo. 
 
a) 50 b) 80 c) 40 d) 24 e) 42 
03. Sea ).(3 3 CDabN ba  ; además, N admite 
68 divisores compuestos y no es divisible por 
27. halle la suma de cifras de N. 
 
a) 9 b) 5 c) 4 d) 3 e) 6 
 
04. Si 

cifras
abcdabcd
3632
)4(... es divisible entre 7, 
entonces. 
a) 
0
722  dacb 
b) dcab  2273
0
 
c) dcab 2273
0
 
d) dcba 
0
73 
e) dbca 273
0
 
 
05. ¿Cuántos triángulos isósceles de área 40 
metros cuadrados existen, si las longitudes de 
la base y de la altura respecto al lado desigual 
son siempre números enteros de metros? 
 
a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 8 
 
06. Los divisores primos de un entero positivo A 
son 2 y 3, el número de divisores de su raíz 
cuadrada es 12 y el número de divisores de su 
cuadrado es 117, ¿Cuántos de tales A existen? 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 
 
07. Calcule el residuo de dividir 360239 entre 19. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 
 
08. Halle las tres últimas cifras al expresar 7231087 
en el sistema senario. 
 
a) 231(6) b) 131(6) c) 331(6) d) 321(6) e) 0 
 
09. Calcule el residuo de dividir !37!57 entre 59. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 
 
10.Hallar la suma de las cifras de un número 
entero N , sabiendo que admite sólo 2 
divisores primos, que el número de sus 
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divisores simples y compuestos es 6 y la suma 
de ellos es 28. 
 
a) 9 b) 5 c) 7 d) 3 e) 6 
 
11. Si 2 . 3 tiene ab divisores y 22 . 3 tiene ba 
divisores. Hallar +, sabiendo que “a” y ”b” 
son consecutivos. 
 
 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
 
12. ¿Cuántos números de 3 cifras del sistema 
cuaternario son primos absolutos? 
 
 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
 
13. ¿Cuántos divisores tendrá la expresión: 
 E= 15n – 15a, sabiendo que 224n tiene 4a 
divisores? 
 
 a) 184 b)196 c)172 d) 81 e) 182 
 
14. ¿Cuántos de los divisores de 105840 son 
divisibles entre 18 pero no entre 12? 
 
 a) 12 b) 18 c) 16 d) 15 e) n.a. 
 
15. Calcular la suma de los divisores de 189000 
que son divisibles entre 21 pero no entre 14. 
 
 a) 2028 b) 42588 c) 85176 
 d) 21294 e) 44988 
 
16. ¿Cuántos números existen que contengan 
como únicos factores primos a 2 y 3, de modo 
que la cantidad de divisores de su cuadrado 
sea el triple de la cantidad de divisores del 
respectivo número? 
 
 a) 0 b)1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
17. La expresión p=4a+b+16c representa un 
número primo absoluto. Cuántos valores 
puede tomar “p” sabiendo que a; b y c pueden 
ser enteros no negativos pero menores que 4? 
 
 a) 10 b) 12 c) 15 d) 14 e) 19 
 
18. Hallar el número de la forma 12aabb que 
tenga 14 divisores. Hallar: a+b. 
 
 a) 12 b) 13 c) 14 d) 11 e) n.a. 
19. Hallar un número senario de 4 cifras tal que 
sus 2 primeras cifras sean iguales y sus 2 
últimas también, de manera que tenga 15 
divisores. Dar la suma de cifras de dicha 
representación. 
 
 a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 13 
 
20. ¿Cuántos rectángulos de 3024cm2 de área, son 
tales que tengan sus lados números enteros de 
centímetros? 
 
 a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 
 
21. De los 400 alumnos de una escuela se supo que 
al finalizar el año los 2/5 de las mujeres 
aprobaron todos los cursos, los 3/7 de ellas 
desaprobaron al menos un curso y los 5/8 de las 
mismas seguirán estudiando en la escuela. 
¿Cuántas mujeres ya no seguirán estudiando en 
la escuela? 
 
 a) 120 b) 175 c) 112 d) 102 e) 105 
 
22. Marcial trabaja 5 días seguidos y descansa el 6to 
día. Si empieza su trabajo un lunes. ¿Cuántos 
días deben transcurrir para que le toque 
descansar un domingo? 
 
 a) 30 b) 43 c) 41 d) 42 e) 40 
 
23. Si los números 7216 y 9193 se dividen entre un 
mismo número de 2 cifras, se obtiene como 
residuos 16 y 13 respectivamente. ¿Cuántos 
valores puede tomar el número de 2 cifras que 
hace las veces de divisor? 
 
 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 
 
24. Se tiene cierto número N, del cual se sabe que al 
dividirlo entre 3, 4, 5, 6 y 9 deja residuo 1. Pero 
al dividirlo entre 7 deja residuo 0. Hallar la suma 
de cifras del menor entero positivo N que 
cumple con tal condición. 
 
 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
 
25. Un estudiante de CEPUNS efectúo, sin hacer uso 
de calculadora la siguiente operación: 
4755934723533 xxH  y del resultado 
obtenido borró dos cifras iguales quedando así: 
146961520 xx . Hallar “x” 
 
 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8