ARITMÉTICA SEM 10 - 2023 I

Vista previa del material en texto

1 
Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
 ARITMÉTICA 
 CICLO 2023 - I 
 
 “MCD - MCM” 
 
 
 
M.C.D – M.C.M 
 
MOTIVACIÓN: 
 
1. Dos ciclistas recorren un circuito circular con 
velocidades de 30 km/h y 50 km/h, si ambos 
ciclistas parten del punto “A” la misma hora. 
¿Después de cuántas horas ambos ciclistas 
volverán a pasar juntos por el punto A? 
 
2. Si las medidas de un ladrillo son 15 cm, 20 
cm y 25 cm. C? Cuántos de estos ladrillos se 
necesitarán para construir un cubo cuyo lado 
sea el menor posible? 
 
3. En una empresa se tiene tres cilindros de 
aceite de 210, 300 y 420 litros de capacidad 
respectivamente. El número de recipientes 
que tengan máxima capacidad y que 
contengan a los tres cilindros sería: 
 
1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD): 
 
Dado un conjunto de cantidades se define al 
MCD de estas como aquel número que cumple 
las siguientes condiciones: 
I. Es un divisor común de las cantidades. 
II. Es el mayor de los divisores comunes. 
 
Ejemplo: 
Sean los números 24; 60 y 84 
 
Observación: 
Los divisores comunes de un conjunto de 
cantidades son los divisores de su MCD. 
El MCD está contenido en los números. 
 
 Aplicación 01: 
 
1. ¿Cuántos divisores comunes tienen los 
números 90 y 120. 
 
 
2. Si el MCD ( A , B , C ) = 720. ¿Cuántos 
divisores comunes tienen A, B y C? 
3. ¿Cuántos divisores comunes múltiplos de 
35 tienen los números A y B si su MCD es 
840? 
 
El MCD de cantidades PESI es la unidad. 
 
Aplicación 02: 
 
Calcule el MCD de abc y )1( −cab 
 
El MCD de cantidades que son múltiplos de un 
módulo, es también múltiplo de dicho módulo. 
 
Aplicación 03: 
 
Halle el MCD de !abc y 8! 
 
 
2. MINIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM): 
 
Dado un conjunto de cantidades se define el 
MCD de estas como aquel que cumple lo 
siguiente: 
I. Es un múltiplo común de las cantidades. 
II. Es el menor de estos múltiplos comunes. 
 
Ejemplo: 
Sean los números 10, 15 y 30 
 
Observación: Los múltiplos comunes de un 
conjunto de cantidades son múltiplos de su 
MCM. 
El MCM es un número que contiene a los 
números. 
 
Aplicación 04: 
 
1. ¿Cuántos múltiplos comunes de 3 cifras 
tienen los números 3, 4 y 5? 
 
 Semana Nº 10 
Equipo docente Aritmética 
 
 
2 
Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
2. Calcule la suma de los 10 primeros múltiplos 
de 24 y 36. 
 
Aplicación 05: 
 
1. Si N  2000 además MCD ( N , 1500 ) = 50. 
¿Cuántos valores asume N? 
 
2. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de 
capacidad: 72, 24, 56 y 120 galones. ¿Cuál es 
la máxima cantidad del balde que puede 
usarse para llenarlos exactamente? 
 
3. Halle ( a + b ) si el MCM de los números 
)6( −ba y )3( −ba es 90. 
 
3. RELACIÓN ENTRE EL MCD Y EL MCM: 
 
En general : Sean los números A , B y C. 
MCD (A , B , C ) = k 
 
A = p.k B = q.k C = r.k 
 
Donde: p, q y r son PESI. 
 
En general : Sean los números A , B y C. 
MCM (A , B , C ) = m 
 
m = A.p m = B.q m = C.r 
 
En general para dos números A y B se cumple: 
 
Entonces: m = k.p.q 
 
 A.B = k.m 
 
Aplicación 06: 
¿Cuántos pares de números cumplen la 
condición de que su MCD sea 36 y el MCM de 
ellos es 4284? 
 
4. PROPIEDADES: 
 
a) Si MCD ( A , B , C ) = k 
 
MCD ( n.A , n.B , n.C) = n.k 
 
b) Si MCM ( A , B , C ) = m 
 
MCM ( n.A , n.B , n.C) = n.m 
 
Aplicación 07: 
 
1. Si: MCD ( 36A , 4B ) = 64 
 MCD ( 12B , 4C ) = 36 
 
Calcule el MCD ( 27A , 3B , C ) 
 
2. Sea N un número entero positivo tal que: 
21
7
4
,
5
3
,
2
=




 NNN
MCD 
 
Calcule la suma de cifras de N. 
 
3. Halle A.B si el MCM ( 42A , 6B ) = 1218 y 
MCD ( 77A , 11B ) = 132 
 
4. SI: A = 20 x 30n y B = 30 x 20 n. 
Calcule el valor de “N para que se cumpla que 
su MCM sea igual a 18 veces su MCD. 
 
5. DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO 
DE EUCLUDES: 
Teorema: En toda división entera inexacta el 
MCD del dividendo y el divisor es el MCD del 
divisor y el residuo. 
 
Aplicación 08: 
1. Calcule el MCD de 156 y 120. 
 
2. Al calcular el MCD se A y B por divisiones 
sucesivas los cocientes fueron: 2, 1, 3, y 2 
respectivamente. Halle los números si su MCD 
es 10. 
 
3. Dos números suman 312 y al calcular su 
MCD por divisiones sucesivas los cocientes 
fueron: 3, 1, ,3 y 3. Calcule los números, si la 
penúltima división se realizó por exceso. 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
EXAMEN SUMATIVO 2017 – I 
 
1. El MCM de dos números es 147 y su 
diferencia es 28. Hallar la suma de los 
números 
. 
 A) 26 B) 31 C) 28 D) 56 E) 70 
 
Equipo docente Aritmética 
 
 
3 
Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
2. Si MCM 520
7
8
,
14
5
,
7
13
=




 kkk
, entonces 
el valor de ( k + 1 ) es igual a: 
 
A) 6 B) 4 C) 8 D) 7 E) 9 
 
EXAMEN SUMATIVO 2017 – II 
 
3. La diferencia de dos números es 44 y la 
diferencia del MCM y su MCD es 500 ¿Cuál es 
uno de los números? 
 
A) 54 B) 63 C) 65 D) 72 E) 76 
 
EXAMEN SUMATIVO 2017 – III 
 
4. Si MCM ( A; B; C ) – MCD ( A ; B ; C ) = 897 
y se cumple que: A – B = 65 y A – C = 26. 
Calcular ( A + B + C ) 
 
A) 160 B) 168 C) 172 D) 180 E) 182 
 
 
EXAMEN SUMATIVO 2018 – I 
 
5. Hallar el valor de “n” en los números: A = 12 
(45n) y B = (12n)45 para que el MCM ( A; B) 
tenga 90 divisores. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
EXAMEN SUMATIVO 2018 – II 
 
6. En la platea de un teatro, por concepto de 
entradas se ha recaudado en 3 días 5068, 
3388 y 4032 dólares respectivamente. 
Determinar cuántas personas han asistido en 
los 3 días sabiendo que el precio de la entrada 
es el mismo en los 3 días y está comprendido 
entre 10 y 20 dólares. 
 
A) 792 B) 892 C) 972 D) 872 E) 782 
 
EXAMEN SUMATIVO 2018 – III 
 
7. Tres corredores A, B y C parten juntos de un 
mismo punto de una pista circular que tiene 
90m de circunferencia. La velocidad de A es 
9m/s; la velocidad de B es 5m/s; la velocidad 
de C es 3m/s. ¿Después, de cuánto tiempo 
tendrá lugar el segundo encuentro de los tres? 
 
A) 90s B) 75s C) 60s D) 45s E) 180s 
 
EXAMEN SUMATIVO 2019 – I 
 
8. Se trata de depositar el aceite de 3 barriles 
que tienen 210, 300 y 420 litros de capacidad 
en envases que sean iguales entre sí. ¿Cuál 
es la menor cantidad de envases que se 
emplearán para que todos estén llenos y no 
desperdiciar aceite? 
 
A) 30 B) 51 C) 31 D) 41 E) 27 
 
EXAMEN SUMATIVO 2019 – II 
 
9. Hallar la diferencia de dos números 
sabiendo que su suma es 325 y su MCM es 
1000. 
 
A) 75 B) 125 C) 175 D) 225 E) 275 
 
 
 
EXAMEN SUMATIVO 2019 – III 
 
10. La suma de dos números de tres cifras es 
432. Si el MCM es 323 veces su MCD, 
entonces la diferencia de dichos números, es 
igual a: 
 
A) 12 B) 18 C) 42 D) 36 E) 24 
 
EXAMEN SUMATIVO 2020 – I 
 
11. Un tanque puede ser llenado en un número 
exacto de minutos por cualquiera de tres grifos 
que vierten 45, 50 y 40 litros, respectivamente. 
¿Cuál es la menor capacidad en litros que 
debe tener el tanque? 
 
A) 1200 B) 1500 C) 1750 D) 1800 E) 1400 
 
EXAMEN SUMATIVO 2020 – II 
 
12. Determinar el MCD de a” y “b”; 
considerando lo siguiente: 
a: menor número con 7 divisores 
b: menor número con 12 divisores 
 
A) 1 B) 4 C) 8 D) 10 E) 24 
 
Equipo docente Aritmética 
 
 
4 
Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
EXAMEN ORDINARIO 2018 – I 
 
13. Los valores del MCM y MCD de los 
números 2100; 3500y 2800, son: 
 
A. 43000 y 600 B. 41000 y 500 
C. 42000 y 700 D. 45000 y 900 
E. 48000 y 300 
 
EXAMEN ORDINARIO 2018 – II 
 
14. Se desea diseñar una caja cúbica de 
volumen mínimo para almacenar jabones, 
cuyas dimensiones por lados son 10cm, 12cm 
y 15cm. Calcula cuántas de estas cajas se 
necesitarán para empaquetar un lote de 7200 
jabones, si se desea que la caja contenga la 
menor cantidad de jabones y no sobre espacio 
vacío. 
 
A) 10 B) 20 C) 50 D) 100 E) 60 
 
 
EXAMEN ORDINARIO 2019 – I 
 
15. La suma de 2 números es 1200, 
determinar el mayor de ellos, sabiendo que los 
cocientes obtenidos al calcular el MCD por el 
algoritmo de Euclides son: 3, 1, 3 y 5. 
 
A) 918 B) 984 C) 948 D) 848 E) 988 
 
EXAMEN ORDINARIO 2019 – II 
 
16. La diferencia entre el MCM de los números 
400, 840 y 900 y la suma de ellos, es igual a: 
 
A. 26300 B. 23600 C. 23060 
D. 20360 E. 20063 
 
EJERCICIOS DIVERSOS 
 
17. El producto de 2 números es 160. El 
cociente de dividir la media aritmética por la 
media armónica del MCD y MCM de dichos 
números es el número mixto
40
1
3 . 
Calcule la suma de los números. 
 
A. 40 B. 60 C. 36 D. 28 E. 32 
 
18. Al dividir 300 y 400 entre “k” los residuos 
respectivos fueron 20 y 8. Halle el mayor valor 
de “k”. 
 
A. 56 B. 58 C. 60 D. 62 E. 64 
 
19. Si el número ( )7abcabc es el menor 
múltiplo de 83; entonces ( a + b + c ) es: 
 
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 13 
 
20. Si MCD ( 540 ; ab ) = 9 . Halle a – b. 
 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 
 
21. Halle el MCD de A y B. 
 
 A = 66 … 6(7) ( 10 cifras) 
 
 B = 66 … 6(7) ( 12 cifras) 
 
A. 40 B. 45 C. 48 D. 342 E. 343 
 
22. Halle en qué cifra termina el MCM de: 
 
 A = 7862 – 1 ; B = 71293 - 1. 
 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 
 
23. Un ciclista da 12 vueltas en 7 minutos en 
una pista circular, mientras que otro ciclista 
da 13 vueltas en 9 minutos. ¿En cuántos 
minutos el ciclista más veloz sacará una 
ventaja de 68 vueltas? 
 
A. 231 B. 245 C. 250 D. 252 E. 258 
 
24. Calcular la suma de las cifras de a y b, que son 
diferentes, si se sabe que el MCM de los números 
ab ; bb y aa es 1287? 
 
A. 4 B. 10 C. 12 D. 13 E. 16 
 
25. Al calcular el MCD de los números ba2 y 
6cd por el método del algoritmo de Euclides, se 
obtuvo por cocientes a: 2, 3; 1 y 5. Calcular el 
valor de ( a + b + c + d ) 
 
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 E. 21