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Y RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS PRÁCTICOS COMENTADOS
Manual de
Cálculo Financiero
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El presente manual tiene como objetivo fundamental 
brindar las herramientas suficientes como para resolver 
cualquier situación que pueda llegar a presentarse 
dentro del campo financiero. Los conocimientos, que a 
través de la lectura pueden adquirir, serán los suficientes 
como para resolver cualquier problema que en la vida 
profesional pueda presentarse y servirá además, porque 
así siempre lo he pregonado, para defender fundamen-
talmente los intereses de la comunidad por encima de los 
intereses personales o sectoriales.
Los conocimientos que se tratan de adquirir, para que 
ellos sean permanentes, deben internalizarse y que esos 
son los que permiten luego resolver situaciones nuevas. 
"Aprender" significa sencillamente la capacidad de poder 
resolver nuevas situaciones que se planteen. La 
matemática financiera es una de las disciplinas que 
mayor aplicación práctica tiene y es por ello que siempre 
se les van a presentar problemas nuevos que deben estar 
capacitados para resolver y ello sólo será posible si han 
internalizado los conocimientos.
Carlos Domínguez
Y RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS PRÁCTICOS COMENTADOS
MANUAL DE CÁLCULO FINANCIERO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MARÍA
Rector
Vicerrectora
Director Editorial
Abog. Martín Rodrigo Gill
Cra. María Cecilia Ana Conci
Mgter. Carlos Alberto Gazzera
Carlos Pellegrini 211 P. A. – (5900) Villa María - (54) (353) 453-9145 
http:///www.eduvim.com.ar
e-mail eduvim@unvm.edu.ar
Editorial Universidad Nacional de Río Cuarto
Ruta Nacional 36 Km. 601 - (X5804) Río Cuarto - Argentina
Tel.: 54 (0358) 467 6332 - Fax.: 54 (0358) 468 0280
Universidad nacional de río cUarto
Rector
Vicerrector
Secretario General
Director Editorial
Ing. Oscar Federico Spada
Med. Vet. Anibal Bessone
Prof. Armando Becerra
Prof. Miguel Tréspidi
Carlos Domínguez
 Manual de cálculo financiero : resolución de ejercicios prácticos comentados . - 1a 
ed. - Villa María : Eduvim: Universidad Nacional de Río Cuarto, 2009.
 270 p. ; 30x21 cm. - (Manuales de Cátedra; 1)
 ISBN 978-987-1518-79-1 
 1. Matemática Financiera. 2. Enseñanza Superior. I. Título
 CDD 657
Fecha de catalogación: 11/11/2009
La responsabilidad por las opiniones expresadas en los libros, artículos, estudios y otras colaboraciones 
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ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio electrónico, mecánico, fotocopia u otros 
métodos, sin el permiso previo y expreso del Editor.
Queda hecho el Depósito que establece la Ley 11.723
Editor
Diseño de Tapa
Diseño de Maqueta
Corrector
© Ingrid Salinas Rovasio
© Lautaro Aguirre
© Lautaro Aguirre
 Emanuel Molina
DeDico este libro
a toda mi familia, en especial a mi esposa Laura,
 a mis hijos Javier y Vanesa,
a mi nuera Jacqueline,
a mi yerno Ariel
a mis nietas Lara y Sofía y
a una niña muy especial: 
Abril.
Un agraDecimiento especial 
a quiénes me acompañaron
durante muchos años
en las cátedras de Matemática Financiera
en las Universidades Nacionales 
de Villa María y Río Cuarto
en homenaje a 
José Fernando Carrizo, mi profesor de Matemática 
Financiera de la Universidad Nacional de Córdoba
Índice General
CAPÍTULO I: 15
1.1 - Introducción. Conceptos básicos de matemática financiera. La tasa instantánea de interés: 
deducción de su fórmula
16
1.2 - El monto: definición - Deducción de la fórmula 18
1.3 - Unidad de tiempo - Tasas instantáneas equivalentes – Operaciones financieras equivalentes - La 
tasa efectiva de interés 20
1.4 - Tasas efectivas equivalentes: deducción de las fórmulas que las relacionan - Tasa nominal de interés 24
1.5 - Relaciones entre las tasas 30
1.6 - El interés compuesto y el interés simple 31
CAPÍTULO II: 37
2.1. Las dos operaciones fundamentales: Capitalización y actualización - El factor de capitalización y el 
de actualización.
38
2.2. Interés y descuento: su valor - La tasa de descuento 39
2.3. Relaciones entre la tasa de interés y la tasa de descuento. Tasas de descuento equivalentes - 
Fórmula del monto y del valor actual en función de la tasa de descuento
41
2.4. La tasa instantánea de descuento: deducción de su fórmula Comparación con la tasa instantánea de 
interés
44
CAPÍTULO III: 49
3.1. Introducción - clasificación 50
3.2. Imposiciones vencidas y adelantadas:deducción de sus fórmulas. Cálculo de la cuota - relaciones 50
3.3. Amortizaciones: Sistema de amortización con cuotas constantes vencidas y adelantadas: deducción 
de sus fórmulas. Cálculo de la cuota - relaciones entre ellas y con las imposiciones
57
3.4. Composición de la cuota - las amortizaciones reales en función de la cuota - la cuota en función de 
las amortizaciones reales. La amortización real de cualquier período en función de la del primer período
63
3.5 La tasa de amortización: concepto, deducción de su fórmula. La cuota que amortiza una deuda de $1 
- como suma de la tasa de interés y la tasa de amortización
67
3.6 Saldo en el sistema con cuotas constantes: Saldo al final de un período antes de pagar la cuota y 
saldo al comienzo de un período después de pagar la cuota: deducción de sus fórmulas - Diferencia 
entre S’r - Sr ; entre Sr y Sr-1 y entre S’r y Sr-1
68
3.7. Cálculo de la tasa de interés y el tiempo: el uso de la calculadora financiera - Cálculo de la cuota 
fraccionaria cuando el tiempo no es exacto
72
3.8 Cuadro de amortización 76
3.9 Amortizaciones diferidas y perpetuas 77
CAPÍTULO IV: 81
4.1. Sistema de cuotas escalonadas 82
4.2. Sistema de cuotas que varían en progresión aritmética: Cuota igual a la razón - cuota distinta a la 
razón
86
4.3. Sistema Alemán y Sistema Americano 91
4.4. Préstamos con cuotas calculadas vencidas y cobradas anticipadas. Préstamos con intereses 
cargados y con intereses descontados
95
CAPÍTULO V: 101
5.1. La inflación y la tasa de interés: Los componentes de la tasa de interés - Tasa real de interés 102
5.2. Amortizaciones en términos reales 104
5.3. Cálculo de los componentes de la tasa de interés 107
5.4. Los créditos indexados -Cuadros de amortización indexados para los diferentes sistemas- La T.I.R. 110
5.5. Análisis de la situación real del tomador de créditos indexados 113
5.6. La variación de la tasa de interés: operaciones concertadas con tasa de interés variable - 
Construcción de cuadros de amortización
117
5.7. La decisión financiera basada en el valor actual de los capitales. El análisis de inversiones 119
5.8. Teoría de las amortizaciones aplicada a los empréstitos: Análisis en condiciones de certidumbre e 
incertidumbre
130
GUÍA DE EJERCICIOS PRÁCTICOS: 141
6.1. Ejercicios prácticos capítulo I 142
6.2. Resolución ejercicios prácticos capítulo I 148
6.3. Ejercicios prácticos capítulo II 170
6.4. Resoluciones ejercicios prácticos capítulo II 172
6.5. Ejercicios prácticos integradores capítulos I y II 181
6.6. Respuesta ejercicios prácticos integradores capítulos I y II 185
6.7. Ejercicios prácticos capítulo III 191
6.8. Resoluciones ejercicios prácticos capítulo III 196
6.9. Ejercicios prácticos capítulo IV 215
6.10.Resolución ejercicios prácticos capítulo IV 217
6.11.Ejercicios prácticos integradores capítulos III y IV 226
6.12.Repuesta ejercicios prácticos integradores capítulos III y IV 231
6.13.Ejercicios prácticos capítulo V 240
6.14.Resolución ejercicios prácticos capítulo V 243
6.15.Ejercicios prácticos integradores capítulo V 254
6.16.Respuesta ejercicios prácticos integradores capítulo V 259
BIBLIOGRAFÍA 269
11
PREFACIO
El presente manual tiene como objetivo fundamental brindar el herramental suficientecomo 
para resolver cualquier situación que pueda llegar a presentarse dentro del campo financiero. 
Los conocimientos, que a través de la lectura pueden adquirir, serán los suficientes como para 
resolver cualquier problema que en la vida profesional pueda presentarse y servirá además, 
porque así siempre lo he pregonado, para defender fundamentalmente los intereses de la 
comunidad por encima de los intereses personales o sectoriales.
COMO SE LOGRA EL CONOCIMIENTO:
Como docente, a través del tiempo fui incorporando vivencias y experiencias que me permitieron, 
más adelante, lograr el título adicional de Profesor en Ciencias Económicas y con el estudio para 
acceder al mismo, habiendo compartido muchos días y horas con adolescentes de una pequeña 
y querida escuela “Gobernador Juan Bautista Bustos” de Morrison, pueblo de la Provincia de 
Córdoba, fui descubriendo nuevos avances en el campo de la enseñanza.
Los conocimientos que se tratan de adquirir, para que ellos sean permanentes, deben 
internalizarse y que esos son los que permiten luego resolver situaciones nuevas. “Apreender” 
significa sencillamente la capacidad de poder resolver nuevas situaciones que se planteen. La 
matemática financiera es una de las disciplinas que mayor aplicación práctica tiene y es por 
ello que siempre se les van a presentar problemas nuevos que deben estar capacitados para 
resolver y ello sólo será posible si han internalizado los conocimientos.
Pero, ¿Cómo se puede explicar en forma sencilla lo que significa internalizar?, lo intentaré a 
través de un ejemplo que leí cuando estudiaba para obtener el título de Profesor. Resulta que una 
vez un maestro (de acuerdo al ejemplo que se dará se entiende que no corresponde al ámbito 
universitario), procedió en una clase a enseñar a sus alumnos como se obtenía la superficie de 
un rectángulo y para que la comprensión fuese lo más clara posible dividió a ese rectángulo de 
la siguiente manera:
Explicando a continuación de como se obtenía la superficie total del rectángulo y ella era 
la cantidad de cuadrados que el contenía, haciéndoles comprender que se encontraba 
multiplicando la cantidad de cuadrados de un lado por la cantidad de cuadrados del otro lado, 
llegando de esa forma a determinar la fórmula que nos permitía hallar la superficie de una figura 
de este tipo, en consecuencia si los cuadrados tenían lados de 1 cm. sería en este caso 5 x 20= 
100 cms2.
Terminado el desarrollo de la clase, en la próxima el maestro presenta a sus alumnos un nuevo 
problema y que es el de calcular la superficie de esta figura:
12
Entregándoles para ello la figura recortada en un papel. Obtiene tres clases de respuestas:
a) Un gran grupo de alumnos (suele ocurrir en la Universidad) dijo que él nunca les había 
enseñado la fórmula de esa figura y por lo tanto como este era un problema nuevo no sabían 
como resolverlo.
b) Otro grupo de alumnos en forma automática, sin razonar y haciéndolo en forma mecánica 
aplicó la fórmula que el maestro le había dado en la clase anterior y entregó esa solución.
c) Y finalmente un grupo más reducido de alumnos tuvo un comportamiento distinto, llegando a 
deducir dos maneras diferentes de solución:
1) algunos se dieron cuenta que si recortaban una de las puntas de la figura y la colocaban 
en la otra punta se formaba nuevamente la misma figura que el maestro había enseñado en la 
clase anterior y que por lo tanto la superficie debería obtenerse aplicando la misma fórmula, 
considerando en este caso que es necesario conocer la longitud de uno de los lados y la 
distancia de la perpendicular al lado opuesto.
2) otro grupo tomó entre sus manos la figura, la unió en sus extremos formando un cilindro y 
analizó que si cortaba con la tijera en forma vertical obtenían la misma figura que el maestro 
había enseñado en la clase anterior y que por lo tanto la superficie debería obtenerse aplicando 
la misma fórmula, llegando a la misma conclusión.
¿Cuáles son los alumnos que aprendieron o que internalizaron los conocimientos?, es evidente 
que únicamente los que respondieron o solucionaron el problema de la forma que lo explica 
la alternativa c); sólo ellos lograron internalizar el conocimiento y estaban capacitados para 
resolver situaciones nuevas y seguramente que estos alumnos no tendrían luego dificultades 
para determinar cual era la fórmula que se aplicaba para hallar la superficie de un triángulo 
(¿cuál es la fórmula?). 
La Matemática Financiera se construye toda a través de conocimientos básicos que se enseñan 
en los capítulos I y II y a partir de la internalización de esos conocimientos será posible luego 
entender, sin problemas ni dificultades, todo lo que se explique más adelante en los otros 
capítulos y que no son más que aplicaciones de los conceptos básicos ya vistos. Quien logre 
ello no tendrá dificultades y sentirá la satisfacción de ver como la matemática sirve para ser 
aplicada a la realidad.
¿Cómo puede lograrse ello?, estudiando los conceptos teóricos porque la internalización de 
ellos permite luego la resolución de los casos prácticos. Cada uno de los problemas que la 
matemática financiera intenta solucionar pueden ser resueltos por distintos caminos llegando al 
mismo resultado, encontrar esos caminos es lo importante, no pretendan que se enseñen todos 
los caminos, sólo a lo mejor se enseña uno de ellos pero luego su propio razonamiento lógico 
hará posible descubrir los demás.
EL CAMINO PARA LLEGAR A LA VERDAD:
Si nos ponemos a verificar en nuestro país que tasa de interés es la que realmente se pagan por 
operaciones de créditos, ya sea tanto las que se pagan a entidades financieras como al sector 
privado, podríamos llegar a una conclusión, yo diría que verdadera: en ningún caso la tasa que 
se dice cobrar es la que verdaderamente rige la operación para el tomador del crédito.
13
Surge entonces la pregunta ineludible ¿Cómo es posible que esto ocurra?, ocurre en primer lugar 
porque en la mayoría de los casos existen elementos adicionales en las operaciones de crédito 
(llámese gastos, comisiones, sellados, precio de contado, precio financiado, etc.)que de por si 
hacen variar la tasa que realmente paga quien solicita un préstamo y también ocurre porque se 
aplican métodos de cálculo que mencionando una tasa, en realidad se cobra otra mucho más 
alta. Ello es posible por el casi generalizado desconocimiento del cálculo financiero por parte de 
la población en general y de quiénes tienen a su cargo la responsabilidad de la administración 
de una empresa, incluido, inexplicablemente, a profesionales en ciencias económicas.
Si bien en nuestro país ha existido un elemento que contribuyó a que proliferaran métodos 
o procedimientos de cálculo que modifican la tasa de interés que se dice cobrar, como es la 
inflación, ello no es atenuante para que se siga permitiendo el abuso, que llega hasta la usura, 
en contra fundamentalmente de aquellos que más necesidad tienen de acceder a un crédito. 
Hoy a principio de siglo, la tasa de interés que se está cobrando, en nuestro país, al tomador de 
créditos es a mi juicio también usuraria.
¿Cuál es el camino para revertir esta situación?; el camino es tomar la debida conciencia 
para advertir que lo desarrollado, sirve para hacer cada día más transparente el manejo de 
las variables financieras, el camino es el que ustedes, los que lean este libro, deben recorrer, 
brindando a su paso el asesoramiento correcto; asesoramiento que tengan la plena seguridad 
beneficiará no sólo a los más desprotegidos sino que también a aquellos que, con una visión 
totalmente equivocada, prefieren el engaño por encima de la verdad; prefieren el abuso por 
encima de la sensatez. 
Modificar las conductas es un trabajo primero de la educación y es por eso que pretendo que se 
formen con la verdad y que luego siembren ésta por todos aquellos lugares en donde les toque 
actuar. Ojalá pueda lograrlo.
el aUtor
15
CAPÍTULO I
Objetivos específicos
Al concluir el capítulo los lectoresserán capaces de:
* Definir, sin margen de error, la tasa instantánea de interés.
* Definir, sin margen de error, la tasa efectiva de interés.
* Distinguir la tasa efectiva de interés de la nominal de interés. 
* Comprender la importancia del concepto de crecimiento continuo del capital colocado a 
interés.
* Asesorar respecto a inversiones a plazo fijo.
* Verificar la distorsión que se produce en la verdadera tasa de interés por la utilización de tasas 
proporcionales.
* Resolver problemas.
Eje del capítulo La teoría del Interés
Contenido
1.1 Introducción - conceptos básicos de matemática financiera. La tasa instantánea de interés: 
deducción de su fórmula.
1.2 El monto: definición - Deducción de la fórmula.
1.3 Unidad de tiempo -Tasas instantáneas equivalentes -Operaciones financieras equivalentes- 
La tasa efectiva de interés.
1.4 Tasas efectivas equivalentes: deducción de las fórmulas que las relacionan - Tasa nominal 
de interés.
1.5 Relaciones entre las tasas.
1.6 El interés compuesto y el interés simple
16
1.1 Introducción 
Conceptos básicos de matemática financiera. La tasa instantánea de 
interés.
Un capital colocado a interés crece continuamente, el enunciado es un postulado fundamental 
dentro de la teoría del interés. A los fines de dar una idea clara y precisa de ello, podemos 
comparar el crecimiento del capital colocado a interés con el crecimiento de un niño, éstos 
crecen continuamente, lo mismo ocurre con el capital, este devenga intereses en forma 
continua, aunque por razones prácticas en las operaciones financieras solamente se determina 
la magnitud de estos al final de un cierto tiempo; lo mismo ocurre con un niño, su crecimiento 
se mide al final de un cierto período de tiempo (quien no ha colocado a un niño contra la pared, 
hace una marca y al cabo de un cierto tiempo vuelve a medirlo para saber cuanto creció) aunque 
su crecimiento haya sido continuo.
Si un capital colocado a interés crece continuamente, evidentemente debe existir algún elemento 
dentro de la matemática que nos permita determinar cual es la “fuerza” con que crece ese 
capital y ese elemento no es otra cosa que la tasa instantánea de interés.
Veamos su desarrollo: Tomamos un sistema de ejes coordenados, en el eje de las ordenadas 
se mide el capital y en el eje de las abscisas el tiempo, supongamos un capital inicial f(0) 
ubicado en el momento cero colocado a un cierto interés; teniendo en cuenta que a medida que 
pasa el tiempo, ese capital inicial crece continuamente, hemos graficado la función f(x) que nos 
representa el capital en cualquier momento de tiempo
Sea f(t) el capital al momento t y sea t la variable que mide el tiempo en unidades de una 
magnitud arbitraria; el interés producido por el capital f(t) en un lapso dado, en este caso “n”, 
está determinado por el incremento del capital en ese lapso o sea:
 f(t+n) - f(t)
Éste es el interés producido por el capital f(t) en “n” unidades de tiempo. Si hacemos n = 1 
tendremos obviamente el interés producido por un capital f(t) en una unidad de tiempo que 
es:
 f(t+1) - f(t)
 
t t+n 
f(t+n)-f(t) 
Capital 
n f(t) 
f(t+n) 
 
f(0) 
0 
( ) ( )tftf −+ 1
 
m
1
 
m
1
 
t t+1 
Capital 
( )tf
 
m
1
 
m
1
 
m
1
 
 
f(0) 
0 
17
Supongamos ahora que dividimos la unidad de tiempo en “m” partes iguales, de tal forma que 
ahora el interés producido por el capital f(t) en el primer m-ésimo siguiente al momento t es:
 f(t+1/m) - f(t) (I)
Realizamos ahora el supuesto de que el incremento en cada uno de los “m” subperíodos que 
constituyen la unidad de tiempo, es igual al incremento del primer m-ésimo. Luego multiplicando 
a (I) por “m” tendremos:
 m [f(t+1/m) - f(t)] (II)
Que será el incremento del capital f(t) en una unidad de tiempo, la siguiente al momento t, 
bajo el mencionado supuesto. Es importante tener en cuenta el supuesto, ya que de no ser así 
no tendríamos el incremento del capital f(t) en una unidad de tiempo.
Si ahora dividimos a (II) por f(t) tendremos:
 i(m)t = m[f(t+1/m) - f(t) ]
 f(t)
Que será el incremento de una unidad de capital en una unidad de tiempo, esta es una tasa 
nominal de crecimiento bajo el supuesto de que el incremento en los “m” subperíodos en que se 
divide la unidad de tiempo es igual al incremento del primer subperíodo. 
Cuando las operaciones se realizan a tasa constante, cosa que ocurre casi siempre i(m)t es 
independiente del tiempo t, en nuestro caso trabajaremos siempre con tasa constante, o sea 
que podremos establecer que:
 i(m)= m f(t+1/m) - f(t)
 f(t)
Si hacemos ahora a 1/m = h, lo que implica que m = 1/h, reemplazando tenemos que:
 1 f(t+h) - f(t)
 i(m) = ▬▬▬▬▬ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
 h f(t)
Si intercambiamos denominadores, la expresión no se altera y tenemos:
 1 f(t+h) - f(t)
 i(m)= ▬▬▬▬▬▬ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 
 f(t) h 
Ahora tomamos límite para h que tiende a cero, ello implica que 1/m tiende a cero y que “m” 
tiende a infinito, es decir que dividimos la unidad de tiempo en infinitos subperíodos, los cuales 
se hacen infinitesimales; de esta forma se obtiene el interés que produciría la unidad de capital 
en una unidad de tiempo, si el incremento en cada uno de los infinitésimos que constituyen la 
unidad fuera igual al incremento del primer infinitésimo (el siguiente al momento t), o sea que 
lo expresado es:
 1 f(t+h) - f(t)
 lim i(m) = lim ▬▬▬▬▬ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
 m -->∞ h -->0 f(t) h
En el segundo miembro tenemos el límite de un producto que es igual al producto de los límites 
y observamos que 1/f(t) es una constante respecto del límite, luego como el límite de una 
constante es la constante misma nos queda: 
 1 f(t+h) - f(t) 
 i(∞) = ▬▬▬▬ lim ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 
 f(t) h-->0 h 
18
El límite que ha quedado por resolver es el límite del incremento de la función sobre el incremento 
de la variable cuando el incremento de la variable tiende a cero, esto es por definición la derivada 
de la función, por lo tanto:
 1 d f(t)
 i(∞) = ▬▬▬▬ . ▬▬▬▬▬▬▬ = δ (III)
 f(t) dt 
Y esta última expresión es la Tasa Instantánea de Interés que en su forma mas conocida se 
escribe:
 d ln f(t)
 δ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 
 dt 
que es exactamente lo mismo ya que si derivamos esta función de función obtenemos (III).
En consecuencia la tasa instantánea de interés se define de la siguiente manera: “Es el interés 
producido por una unidad de capital inicial en una unidad de tiempo, bajo el supuesto de que 
el crecimiento en cada uno de los infinitésimos en que se divide la unidad de tiempo es igual al 
crecimiento del primer infinitésimo, el siguiente al momento t”.
De acuerdo con lo desarrollado vemos que la Tasa Instantánea corresponde a una unidad 
de tiempo y no a un infinitésimo; entonces cuando la unidad de tiempo es el año, δ es anual, 
cuando la unidad de tiempo es el mes δ es mensual.
1.2 El Monto
El capital al devengar intereses en forma continua va modificando su valor con el transcurso del 
tiempo, debido a ello es imprescindible que cuando se mencione un capital se lo ubique en el 
tiempo. Dado un capital inicial, colocado a un cierto interés, a medida que pasa el tiempo va 
creciendo y ese crecimiento se puede determinar, ya que es la suma del capital inicial más los 
intereses o incremento del capital en el período.
Se llama monto al valor que asume el capital después de transcurrido un cierto período de 
tiempo y ese monto está constituido precisamente por el capital inicial más los intereses; en 
consecuencia el monto es función del tiempo, del capital inicial y de la fuerza de crecimiento 
del capital o tasa instantánea de interés, es decir que depende de ellos. Sea un sistema de ejes 
cartesianos, en el eje de las ordenadas medimos el capital y en el eje delas abscisas el tiempo. 
Llamamos f(0) al capital inicial que está colocado a un cierto interés y que sabemos, por el 
postulado fundamental, que crece continuamente, de manera tal que trazamos la curva que 
representa al capital y determinamos f(t) que es el valor alcanzado por el capital inicial al final 
de “t” unidades de tiempo, o sea el monto de un capital inicial colocado a un cierto interés en 
“t” unidades de tiempo. 
 
tiempo 
Capital 
 
f(0) 
0 t 
f(t) 
19
Ese capital f(0) ha crecido con una fuerza que es determinada por la tasa instantánea de 
interés constante y correspondiente a la unidad de tiempo considerada que llamamos δ , siendo 
t la variable que mide el tiempo.
Según vimos la tasa instantánea de interés es:
 d ln f(t)
 δ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 
 dt 
Si tomamos dt en ambos miembros, tenemos:
 δ dt = d ln f(t) (I)
El primer miembro nos representa el incremento de la unidad de capital en el primer instante a 
partir del momento cero (recuerden que δ nos daba el incremento de la unidad de capital en 
la unidad de tiempo, pero como ahora tenemos δdt, al ser dt un infinitésimo, el producto está 
representando el incremento en un instante). Si nosotros queremos saber cuál es el incremento 
de la unidad de capital en t unidades de tiempo, debemos integrar (I) entre 0 y t, pero bajo el 
supuesto de que la intensidad del crecimiento durante todo el período es igual a la del primer 
instante, luego tendremos:
 t t 
 ∫ δdt = ∫ d ln f(t) 
 0 0 
En definitiva lo que estamos haciendo es resolver una ecuación diferencial por el método de 
variables separadas, siendo nuestra incógnita la función f(t) que representa al monto. Resolviendo 
tenemos:
 │t │t 
 δt │ = ln f(t) │ 
 │0 │0 
 δt = ln f(t) - ln f(0)
En el segundo miembro tenemos la diferencia de logaritmos, luego puede expresarse como el 
logaritmo de un cociente o sea:
 f(t) 
 δt = ln ▬▬▬▬▬▬ (II)
 f(0) 
Pasando de los logaritmos a los números tenemos:
 f(t) 
 eδt = ▬▬▬▬▬▬ (III)
 f(0) 
Para comprender este último paso basta con tomar ln en ambos miembros de la última expresión 
y recordar que el logaritmo de una potencia es igual al logaritmo de la base por el exponente y 
que el “ln e” es igual a 1.
Si ahora despejamos de (III) a f(t) llegamos a que:
 f(t) = f(0) eδt 
Siendo esta la fórmula matemática del monto al final del período t.
De la expresión (II) podemos determinar la tasa instantánea de interés en función del capital 
inicial y del capital final o monto, cuando esta tasa es constante, ello se logra despejando δ, o 
sea que:
20
 1 f(t) 
 δ = ▬▬▬ ln ▬▬▬▬ 
 t f(O) 
Que es la tasa instantánea de interés para un período t, y si t = 1 tenemos:
 f(1) 
 δ = ln ▬▬▬▬ 
 f(0) 
Que es la tasa instantánea de interés para un período.
1.3 Unidad de tiempo – Tasas instantáneas equivalentes – 
Operaciones financieras equivalentes – La tasa efectiva de interés.
La unidad de tiempo es el período al final del cual se pagan o capitalizan los intereses.
Se llaman tasas instantáneas equivalentes las que corresponden a operaciones financieras 
equivalentes.
¿Y que entendemos por operaciones financieras equivalentes? Son aquellas que tienen distintas 
unidades de tiempo y sin embargo las unidades de capital producen el mismo monto al cabo 
del mismo período de tiempo:
1 n 
|___________|___________|___________| M __
 δ(m) |
 =
1 n |
|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__| M __|
 δ 
Para aclarar un tanto el concepto veamos un ejemplo: Si nosotros colocamos un peso en 
un banco a un año de plazo con capitalización mensual (la unidad de tiempo es el mes) y 
obtenemos un monto al final del año (o sea que el período de tiempo es el año) que es igual al 
monto que se obtiene colocando ese mismo capital de un peso a un año de plazo (el mismo 
período) con capitalización cuatrimestral (ahora la unidad de tiempo es el cuatrimestre), entonces 
las operaciones financieras serán equivalentes y por lo tanto las tasas instantáneas de ambas 
operaciones serán también equivalentes. Para este ejemplo tenemos dos tasas instantáneas: una 
correspondiente al mes y otra correspondiente al cuatrimestre. Aclarado el concepto, veamos la 
formulación matemática: sean dos operaciones, una con una unidad de tiempo medida con t1 y 
la otra con una unidad de tiempo medida con t2; siendo δ1 y δ2 las tasas instantáneas de cada 
una de ellas, sus respectivos montos serán:
 δ1t1
 f(t1, δ1) = f(0) e 
 δ2t2 
 f(t2, δ2) = f(0) e 
Para que las operaciones financieras sean equivalentes, los montos de las unidades de moneda 
deben ser iguales, o sea que:
 δ1 t1 δ2t2 
 f(0) e = f(0) e
21
De donde deducimos que:
 δ1.t1 δ2.t2
 e = e 
tomando ln en ambos miembros tenemos que:
 δ1.t1 ln e = δ2.t2 ln e 
 δ1.t1 = δ2.t2 (I)
El período de tiempo debe ser también el mismo, sabemos que las unidades de tiempo son 
distintas, así por ejemplo si t1 indica años (capitalización anual) y t2 meses (capitalización 
mensual) y la operación se concreta a un año de plazo, deberá ocurrir numéricamente que:
 t2 = 12 t1 = 12 (meses)
Si en cambio la operación se concreta a dos años de plazo, t1 será igual a 2 y:
 t2 = 12 t1 = 12 * 2 = 24 (meses)
Si generalizamos y decimos que t2 mide el tiempo en unidades “m” veces menores que las 
unidades indicadas por t1, de acuerdo a los ejemplos que dimos, será:
 t2
 t2 = m * t1 ▬▬▬▬▬> t1 = ▬▬▬▬ 
 m 
Luego reemplazando en (I) a t1 por su igual tenemos que:
 t2 
 δ1.t1 = δ1 ▬▬▬ (II) 
 m 
Si los primeros miembros de (I) y (II) son iguales, los segundos también lo son, entonces:
 t2 δ1
 δ2 t2 = δ1 ▬▬▬▬ , de donde : δ2 = ▬▬▬▬ 
 m m
Vemos que t2 mide el tiempo en unidades que son “m” veces más pequeñas que las unidades 
contenidas en t1 y que la tasa δ2 es también “m” veces más pequeña que la tasa δ1; en 
consecuencia para que las operaciones con distintas unidades de tiempo sean equivalentes, 
debe existir entre las tasas instantáneas la misma proporcionalidad que entre las unidades de 
tiempo.
Por ejemplo si δ1 es anual e igual a 0,019803, la tasa instantánea semestral equivalente será δ2 
= δ1/m en donde m = 2, luego entonces 
 0,019803 
 δ2 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,0099015
 2 
Al cabo de cierto período de tiempo, digamos 5 años, se obtendrá con ambas tasas el mismo 
monto:
Si t1 = 5 entonces t2 = m * t1 = 2 * 5 = 10 
a) Con la tasa instantánea anual, el monto será:
 0,019803 * 5 
 f(5) = f(0) e = 1,10408 
Siendo f(0) = 1 
22
b) con la tasa instantánea semestral, el monto será:
 0,00990l5 * 10 
 f(10) = f(0) e = 1,10408 
Ambos montos son iguales, en consecuencia las operaciones financieras son equivalentes y las 
tasas instantáneas también lo son.
En general, cuando trabajemos con una unidad de tiempo “m” veces menor que otra; 
δ representará la tasa instantánea de la unidad de tiempo menor y δ(m) representará la tasa 
instantánea de la unidad de tiempo mayor.
O sea que:
 δ(m)
 δ(m) = m . δ ---> δ = ▬▬▬▬▬▬ 
 m
Por ejemplo si a la tasa instantánea anual le llamamos δ(m), a la tasa instantánea mensual 
equivalente la simbolizaremos con δ. Otro ejemplo: si a la tasa instantánea semestral le llamamos 
δ(m), a la tasa instantánea trimestral equivalente la simbolizamos con δ. En el primer caso m = 12 
y en el segundo caso m = 2, de talforma que:
 δ(12) 
Primer caso: δ = ▬▬▬▬▬▬ 
 12
 δ(2)
Segundo caso: δ = ▬▬▬▬▬▬ 
 2
Tasa Efectiva de interés o tasa de interés:
La tasa efectiva de interés o simplemente tasa de interés es el interés realmente producido por 
la unidad de moneda en la unidad de tiempo.
Ya dimos el concepto de unidad de tiempo, por unidad de moneda se entiende la del país en 
el cual estamos trabajando, para nuestro caso la unidad de moneda es el peso, gráficamente 
sería: (gráfico 4)
Partiendo de la fórmula general del monto que es:
 f(t) = f(0) eδt
 
 
1 
1 
0 tiempo 
tasa 
 
i =tasa de 
interés 
23
Y haciendo f(0) = 1 y t = 1 nos queda:
 δ
 f(1) = e 
Si recordamos el desarrollo en serie de la fórmula de Mc Laurin de una función que es:
 f’’(0) fn(0) 
 f(x) = f(0) + f’(0) x + ▬▬▬▬▬▬ x2 +.......+ ▬▬▬▬▬▬ xn +...
 2 ! n ! 
Y lo aplicamos a la función eδ tendremos que:
 δ2 δ3 
 eδ = 1 + δ + ▬▬▬▬ + ▬▬▬▬ + ........
 2! 3! 
Y esto es así ya que eδ cuando δ = 0 es igual a 1; luego la derivada primera de eδ es eδ y 
dándole a δ = 0 tenemos otra vez 1, es decir que f’(0) = 1 y debemos multiplicarlo por δ; para 
el tercer término del segundo miembro vemos que f’’(eδ) = eδ, luego dándole el valor 0 a 
δ tendremos nuevamente 1 y debemos multiplicarlo por δ2, todo sobre 2! (dos factorial) y así 
sucesivamente.
Si a este monto le restamos el capital inicial o sea 1, se obtiene el interés producido por la 
unidad de moneda en la unidad de tiempo o sea la tasa de interés que simbolizaremos con i:
 δ2 δ3 
 i = eδ - 1 = δ + ▬▬▬▬ + ▬▬▬▬ + ............. (I) de donde i > δ
 2! 3! 
Como puede observarse la tasa efectiva de interés “i” es mayor que δ porque es igual a δ más 
la suma de términos positivos, o dicho simplemente es igual a δ más “algo” positivo. La tasa i 
es el resultado de medir, al final de la unidad de tiempo, el incremento de la unidad de moneda, 
este incremento se ha producido en forma continua a lo largo de toda la unidad y es el efecto 
de la tasa instantánea δ. Ambas tasas se refieren a la misma unidad de tiempo, siendo i una tasa 
efectiva y δ una tasa nominal con capitalización instantánea (ya comprenderemos más adelante 
el concepto de tasa nominal).
De (I) deducimos que:
 eδ = 1 + i (II)
Y si tomamos ln en ambos miembros tenemos que:
 δ = ln (1 + i)
Fórmula del monto en función de i:
La fórmula del monto que desarrollamos es:
 f(t) = f(0) eδt
Si reemplazamos eδ por su igual de (II) llegamos a que:
 f(t) = f(0) (1 + i)t
Que es la fórmula del monto en función de la tasa de interés.
Teóricamente el capital crece continuamente, es decir que los intereses se capitalizan en 
cada instante, en la práctica resulta imposible determinar continuamente este cambio y las 
operaciones son concertadas de tal manera que el incremento, es decir los intereses, sean 
capitalizados al final de períodos que comprenden las unidades de tiempo. Para capitalizar o 
pagar los intereses en la práctica se utiliza la tasa efectiva de interés “i”, con ella se mide al final 
de cada unidad de tiempo el crecimiento continuo que resulta de la acción de la tasa instantánea 
24
δ. Actualmente la tasa instantánea no se menciona y por lo general tampoco se conoce, aunque 
con ella podríamos trabajar sin ningún tipo de problemas.
1.4. Tasas efectivas equivalentes: Deducción de las fórmulas que las 
relacionan – Tasa nominal de interés.
Tasas efectivas equivalentes:
Hemos dicho que dos operaciones o más son equivalentes cuando con distintas unidades 
de tiempo, capitales iniciales iguales producen el mismo monto al cabo del mismo período 
de tiempo. Habíamos dicho también que las tasas que intervienen en operaciones financieras 
equivalentes se llaman tasas equivalentes; entonces vamos a ver ahora el concepto de tasas 
efectivas equivalentes siguiendo un razonamiento análogo al visto para tasas instantáneas 
equivalentes.
Sean dos operaciones financieras, una con una unidad de tiempo igual al año (capitalización 
anual) y otra con una unidad de tiempo que es la m-ésima parte del año (si m = 12 la capitalización 
sería mensual), de tal manera que:
i: es la tasa de interés de una m-ésima parte del año.
δ: es la tasa instantánea de una m-ésima parte del año.
j: es la tasa de interés anual.
δ(m): es la tasa instantánea anual.
Sabemos además que el monto de una unidad de capital en una unidad de tiempo es eδ, por lo 
tanto:
eδ = 1 + i; será el monto de una unidad de capital en una m-ésima unidad de tiempo.
eδ (m) = 1 + j; será el monto de una unidad de capital en una unidad de tiempo (en este 
caso el año).
Ahora bien, recordando la relación que existe entre tasas instantáneas equivalentes, sabemos 
que:
 δ(m) = δ . m 
Luego el monto al final de un año con tasas instantáneas equivalentes (siempre de la unidad de 
capital) es:
 δ.m δ(m)
 e = e 
 
Si ahora reemplazamos a eδ por su igual (1 + i) y a e por su igual (1 + j) nos queda que:
 (1 + i)m = 1 + j
Los montos son iguales, entonces las operaciones financieras son equivalentes y las tasas que 
intervienen también lo son, por lo tanto para que las tasas de interés “i” y “j” sean equivalentes 
es necesario que entre ellas exista la siguiente relación que surge despejando sus valores:
 i = (1 + j)1/m - 1 (I)
 j = (1 + i)m - 1 (II)
Siendo “m” el número de veces que está contenida la unidad de tiempo menor en la unidad 
de tiempo mayor, referidas a las tasas (o sea referida a la unidad de tiempo de las tasas, es 
25
decir que si tenemos una tasa anual y una tasa mensual m=12, en cambio si tenemos una tasa 
semestral y otra bimestral m=3).
Tomando un ejemplo, si tenemos dos operaciones, una con capitalización anual y otra con 
capitalización mensual y conocemos la tasa de interés anual que corresponde a la operación con 
unidad de tiempo igual al año, para saber cuál es la tasa de interés equivalente que corresponde 
a la operación con unidad de tiempo mensual, tenemos que hacer lo siguiente:
 i = (1 + j)1/m - 1 = (1 + j)1/12 - 1
Una vez hallada i y conociendo j, si nosotros colocamos un peso durante un año en un caso 
con capitalización mensual (unidad de tiempo: el mes) y en el otro caso con capitalización anual 
(unidad de tiempo: el año), debemos utilizar para el primer caso la tasa “i” de tal forma que el 
monto será:
 f(t) = f(0) (1 + i)12
Como f(0) = 1 entonces
 f(t) = (1+i)12
Y para el segundo caso la tasa j, de tal forma que el monto será:
 f(t) = f(0) (1 + j)1
Como f(0) = 1 entonces:
 f(t) = 1 +j
Supongamos entonces que tenemos una tasa anual de interés j = 0,80 (la forma correcta de 
escribir la tasa es como lo hemos hecho y no decir que la tasa es del 80%, pues esta forma 
de expresarla no responde a la definición académica que dice: El interés producido por una 
unidad de capital; si decimos 80% estamos expresando el interés producido por 100 unidades 
de capital. De allí que lo correcto es 0,80 evitándose de esa forma la famosa división por 100 que 
es necesario hacer cuando se trabaja en por ciento) y queremos hallar la tasa efectiva mensual 
equivalente, ésta será:
 i = (1 + 0,80)1/12 - 1 = 0,0502016802 mensual.
Si realmente son equivalentes deben producir el mismo monto al cabo del mismo período de 
tiempo. Comprobemos ello obteniendo el monto de un capital inicial de $ 1.000.- al cabo de 
5 años, en un caso con capitalización mensual (unidad de tiempo mensual) y en el otro con 
capitalización anual (unidad de tiempo el año):
1º caso:
 f(t) = 1000 (1 + 0,050216802)60 = 18.895,68
2º caso:
 f(t) = 1000 (1 + 0,80)5 = 18.895,68
Los montos son iguales pues las tasas son equivalentes.
Veamos otro ejemplo inverso: Supongamos que colocamos un capital de $ 1.000.- durante tres 
años a una tasa de interés i = 0,03 mensual con capitalización mensual (launidad de tiempo es 
el mes) y queremos saber cual será la tasa efectiva anual equivalente, evidentemente que será 
aquella que producirá al cabo de tres años, con capitalización anual y para un capital inicial de 
$ 1.000.- el mismo monto.
Veamos cuál es el monto en el primer caso planteado:
 f(t) = f(0) (1+i)t = 1000 (1 + 0,03)36 = 2.898,28
Busquemos ahora la tasa efectiva anual equivalente a la del 0,03 mensual:
26
 j = (1 + i)m - 1 = (1 + 0, 03)12 - 1 = 0,42576
Y veamos ahora si el monto de un capital inicial de $ 1.000.- al cabo de tres años con esta tasa 
j = 0,42576 y capitalización anual es el mismo que el obtenido en la otra operación, en efecto:
 f(t) = f(0) ( 1 + j )t = 1000 ( 1+ 0,42576)3 = 2.898,28
Ambos montos son iguales al cabo de los tres años, las operaciones financieras son equivalentes 
y las tasas efectivas también lo son.
Comparación
Si partimos de que: (1 + j) = (1 + i )m y desarrollamos en serie (1+i)m aplicando la fórmula de 
Mc Laurin, tenemos que:
 m.(m-1)
 (1+i)m = 1 + m.i + ▬▬▬▬▬▬▬ i2 + ...........+ im
 2 !
Pasando 1 al primer miembro o sea que nos queda (1+i)m - 1 que es igual a “j”, tenemos que:
 m.(m-1)
 j = m.i + ▬▬▬▬▬▬▬ i2 + ...........+im
 2! 
De esta igualdad se deduce que:
 j > m.i
En consecuencia las tasas de interés efectivas equivalentes no son proporcionales a las unidades 
de tiempo (recordemos que eso si ocurría con las tasas equivalentes instantáneas).
Tasa Nominal de Interés
La costumbre que existe en nuestro país de fijar una tasa de interés en términos de años y 
establecer los pagos en meses o en otro subperíodo, ha contribuido a la aparición de otra tasa 
que es la que vamos a llamar nominal de interés.
Cuando se fija una tasa anual y se establecen los pagos o la capitalización en subperíodos de 
años, la operación financiera tiene una unidad de tiempo distinta a la de la tasa citada; así por 
ejemplo si se dice el 24% anual con capitalización mensual, la unidad de tiempo es el mes y por 
lo tanto para operar correctamente debemos hallar la tasa de interés “i” que sea equivalente a 
la del 0,24 anual y que corresponderá a la unidad de tiempo mensual.
¿Pero qué ocurre en la práctica?, ocurre que se acostumbra a fijar una tasa de interés anual 
y efectuar la capitalización o los pagos de los intereses en subperíodos de años con una tasa 
proporcional.
Por ejemplo se dice el 24% (0,24) anual con capitalización mensual y se utiliza el 2% (0,02) 
mensual para realizar la operación financiera con capitalización mensual, en tal caso la verdadera 
tasa de interés es la que corresponde al subperíodo (en este caso el mes) que constituye la 
unidad de tiempo; la tasa anual (0,24) proporcional a la tasa del subperíodo no es una tasa 
equivalente ya que el rendimiento que se obtiene con una tasa mensual del 0,02 al cabo de 
un año colocando un capital inicial de $ 1.- es superior a ella y ello se deduce de la relación 
que vimos o sea que j > m.i. Esta tasa proporcional se llama Tasa Nominal Anual y la vamos a 
simbolizar con:
 i(m)
27
Luego:
 i(m) = m.i
de donde deducimos que:
 i(m)
 i = ▬▬▬▬▬
 m
La tasa de interés del subperíodo “i” y la tasa nominal del período i(m) son proporcionales a las 
magnitudes de las respectivas unidades de tiempo.
Cabe aclarar entonces que cuando se da una tasa de interés anual y se efectúa la capitalización 
o los pagos en subperíodos, para hallar la tasa del subperíodo equivalente a la anual debemos 
aplicar la fórmula:
 i = ( 1 + j )1/m - 1
y no la fórmula:
 i(m)
 i = ▬▬▬▬▬
 m
Ya que si utilizamos esta última fórmula obtendríamos al cabo de un año un rendimiento mayor 
que la tasa de interés anual dada. Lo mismo ocurre a la inversa, si se da una tasa de interés 
mensual o de un subperíodo cualquiera y la capitalización es anual, para hallar la verdadera tasa 
de interés anual equivalente debemos utilizar la fórmula:
 j = ( 1 + i)m - 1
y no la fórmula:
 i(m) = i.m
Al utilizar tasas proporcionales no sólo se modifica la unidad de tiempo sino que también se 
modifica el rendimiento. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
Se menciona una tasa anual del 1,20 con capitalización mensual sin ninguna aclaración adicional. 
¿Cuál será el monto que alcanza un capital de $ 1.000.- al cabo de 3 años?
La unidad de tiempo es el mes y teniendo en cuenta lo señalado en este tema, esta tasa anual 
que se ha mencionado será:
A) Una tasa efectiva anual si la tasa mensual se calcula así
i = ( 1 + j )1/m - 1 = ( 1 + 1,20 )1/12 - 1 = 0,0679114 mensual
En este caso ambas tasas son las que rigen la operación.
B) Una tasa nominal anual si la tasa mensual se calcula así:
 i(m) 1,20
 i = ▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬ = 0,10 mensual
 m 12
En este caso la verdadera tasa de interés que rige la operación es la del 0,10 mensual.
Veamos como, trabajando de una u otra forma, se obtienen distintos resultados:
Caso A: El monto al cabo de tres años se puede hallar utilizando cualquiera de las dos tasas ya 
que son equivalentes, la fórmula es:
28
I) Utilizando j = 1,20 tenemos
 f(3) = 1.000 ( 1 + 1,20 )3 = 10.648.-
II) Utilizando i = 0,0679114 tenemos
 f(36) = 1000 ( 1 + 0,0679114 )36 = 10.648.-
Caso B: Comprobaremos aquí cuál es la distorsión que se produce trabajando con una tasa del 
1,20 como nominal anual. En este caso ambas tasas no son equivalentes ya que:
I) Utilizando i(m) = 1,20 tenemos
 f(3) = 1.000 ( 1 + 1,20 )3 = 10.648.-
 i(m)
II) Utilizando i = ▬▬▬▬ = 0,10 tenemos
 m
 f(36) = 1.000 ( 1 + 0,10 )36 = 30.912,60
Al calcular la tasa mensual en forma proporcional se produce una distorsión muy grande; la 
verdadera tasa de interés que rige la operación es la del 0,10 mensual que corresponde a la 
unidad de tiempo y la misma equivale a una tasa de interés anual efectiva del:
 j = (1+i)m - 1 = ( 1 + 0,10 )12 - 1 = 2,1384284 (213,84%)
Que es casi el doble de la tasa mencionada y que se considera como una tasa nominal.
Ejemplo 2:
Se menciona una tasa mensual del 0,06 con capitalización anual ¿Cuál será el monto que 
alcanza un capital inicial de $ 1.000.- al cabo de dos años?
Veremos únicamente la distorsión que se produce si no se trabaja con tasas equivalentes que 
sería lo correcto.
Incorrecto es trabajar con una tasa nominal anual o sea:
 i(m) = i.m = 0,06 . 12 = 0,72
Veamos ambos montos:
a) Trabajando con i(m)
 f(t) = f(0) ( 1 + i(m))t = 10.000 ( 1+0,72)2 = 29.584.-
b) Utilizando i será :
 f(t) = f(0) (1 + i)t = 10.000 ( 1 + 0,06 )12 = 40.489,30
Es decir que si calculamos la tasa anual en forma proporcional se cometerá un error muy 
significativo.
La tasa anual efectiva equivalente a una tasa mensual del 0,06 es:
 j = ( 1 + i )m - 1 = (1 + 0,6)12 - 1 = 1,0121965
Con los dos ejemplos vistos podemos deducir lo siguiente: Se debe tener cuidado cuando 
solicitamos un préstamo que debemos devolver al cabo de un cierto tiempo y su monto se 
calcula a través de la fórmula dada; si nos mencionan una tasa anual con capitalización mensual 
y ésta se calcula en forma proporcional nos cobrarán un interés muy superior al que surgiría 
utilizando esa tasa anual y por el contrario si nosotros otorgamos un préstamo mencionando 
una tasa mensual con capitalización anual y calculamos el monto utilizando una tasa anual 
proporcional a la mensual, estaremos cobrando un interés inferior al que surgiría utilizando 
29
la tasa mensual. Por supuesto que en la práctica casi siempre se da el primer caso, es decir se 
menciona una tasa anual y se calcula la mensual en forma proporcional y de esa forma se cobra 
un interés muy superior, es decir que se dice que se cobra una tasa de interés y en realidad se 
cobra otra muy superior.
Ejemplo 3:
Supongamos ahora que un banco ofrece estas alternativas para invertir a plazo fijo (no tenemos 
en cuenta las expectativas inflacionarias o variaciones que se puedan producir en las tasas de 
interés):
30 días.....................86 % anual45 días.....................87 % anual
60 días.....................88 % anual
90 días.....................90 % anual
180 días....................95 % anual
Esta forma de presentar la pizarra es realmente incorrecta, existe una disposición del B.C.R.A. 
que obliga a colocar la tasa efectiva que se paga para cada caso, pero es posible comprobar 
que numerosas entidades financieras omiten ello y luego de resolver este ejemplo nos daremos 
cuenta del porque.
Quien no tenga bien en claro el manejo financiero y lea la pizarra seguramente se decidirá por 
la tasa más alta que aparece y que es la del 95% anual, pero estas tasas que se mencionan son 
nominales anuales y para cada una de las alternativas la capitalización o los pagos, es decir la 
unidad de tiempo, es distinta; así para la primer alternativa se menciona una tasa nominal anual y 
la capitalización es cada 30 días, por lo tanto si nosotros calculamos la tasa de 30 días en forma 
proporcional, tal como lo hace el banco, y luego obtenemos la tasa efectiva anual equivalente a la 
de 30 días obtendremos el verdadero rendimiento que se ofrece para depósitos a plazo fijo a 30 
días al cabo del año ( si cada 30 días vamos al banco y renovamos el plazo fijo, al cabo del año 
obtendremos un cierto monto que será igual al capital inicial más los intereses ) y esta tasa efectiva 
anual será la que debemos analizar para decidir la inversión.
Entonces ¿qué alternativa elegimos ? Para todos los casos se debe hallar la tasa anual efectiva de 
interés ¿y cómo?, muy simple: se calcula la de cada plazo en días utilizando la fórmula:
 i(m)
 i = ▬▬▬▬
 m
Teniendo en cuenta que el año tiene 365 días o sea que para la primera alternativa es:
 0,86 . 30
1º alternativa: i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,0706849
 365
 365
el valor de “m” es como puede deducirse igual a ▬▬▬▬▬ 
 30
Ahora se calcula:
 j = (1+i)m - 1 = ( 1 + 0,0706849 )365/30- 1 = 1,2955341 anual
Para la segunda alternativa tendremos:
 0,87 0,87 . 45
2º alternativa: i = ▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,1072602
 365 365
 45
30
Y luego se calcula:
j = (1+i)m - 1 = ( 1 + 0,1072602 )365/45- 1 = 1,285147 anual
Y así para todos los casos. La alternativa más conveniente será la que de mayor tasa efectiva 
anual, para nuestro ejemplo tendremos para cada alternativa las siguientes tasas:
1º alternativa: 1,2955341
2º alternativa: 1,285147
3º alternativa: 1,2747987
4º alternativa: 1,2542581
5º alternativa: 1,1796118
Es evidente entonces que la alternativa conveniente es la de depositar a 30 días pues es la 
de mayor tasa efectiva, ello quiere decir que si depositamos cada 30 días y vamos renovando 
hasta cumplir 180 días (o cualquier otro plazo mayor) obtendremos un mayor rendimiento que 
depositando directamente a 180 días. Aquí se comprende entonces el porque de no colocar la 
tasa efectiva en las pizarras, pues la aparente mayor tasa nominal del 95% es la alternativa que 
paga menos interés y eso le conviene al banco, por lo tanto la forma correcta de presentar la 
pizarra sería:
30 días.................129,55% anual efectivo
45 días.................128,51% anual efectivo
60 días.................127,47% anual efectivo
90 días.................125,42% anual efectivo
180 días...............117,96% anual efectivo
De esa forma no se engaña al inversor y este puede decidir a que plazo invertir su dinero. 
Se podrá equivocar, pero manejará tasas verdaderas de interés y no ficticias como son las 
nominales.
¿Por qué decimos que se podrá equivocar?, la razón está dada por el siguiente análisis: 
Supongamos que decidimos por la 1º alternativa que es la más conveniente respecto de las 
otras y respecto de la de 180 días, esto presupone que obtendremos mayor rendimiento si 
vamos renovando cada 30 días nuestro depósito a plazo fijo; pero que ocurre si dentro de 45 
días el banco modifica las tasas de interés y las baja para cada uno de los plazos, resulta que 
depositando cada 30 días cuando vayamos a los 60 días la tasa ya no es la misma y ha bajado 
considerablemente, entonces en ese momento vamos a decir: -como no invertí directamente 
a 180 días que me aseguraba por esos 180 días el rendimiento efectivo anual del 117,96%-. 
Por lo que si la expectativa futura es la de baja en las tasas de interés, es probable que sea 
conveniente invertir a un plazo mayor aunque la tasa de interés sea inferior, pues de esa forma 
nos aseguramos ese rendimiento por todo el tiempo. Pero que ocurrirá si nos decidimos por 
la alternativa de mayor plazo y luego las tasas suben, en ese caso hubiese convenido invertir a 
menos plazo pues los rendimientos serán cada vez mayores.
Evidentemente las decisiones financieras no son muy fáciles de tomar y dependen de variables 
que el ciudadano común no puede manejar; en algunos casos existen ciudadanos que conocen 
de antemano esas variables y logran suculentos beneficios en perjuicio de aquellos que siempre 
obran de buena fe.
1.5. Relaciones entre las tasas:
Cuando se menciona una tasa de interés cuya unidad de tiempo coincide con la época de 
capitalización o pago la única relación posible es la correspondiente a tasa de interés y tasa 
instantánea de interés, recordemos esas relaciones:
31
 δ = ln (1+i)
 δ2 δ3
 i = δ + ▬▬▬ + ▬▬▬ + ..........= eδ - 1
 2! 3!
En cambio cuando se da una Tasa de Interés cuya unidad de tiempo no coincide con la época 
de capitalización, las relaciones son varias, de tal forma que:
i: Tasa de interés o tasa efectiva de interés del subperíodo.
δ: Tasa instantánea de interés del subperíodo.
j: Tasa efectiva de interés equivalente del período.
δ(m): Tasa instantánea de interés del período.
i(m): Tasa nominal de interés del período.
La fórmula del monto de una unidad de capital en un período relaciona matemáticamente las 
tasas mencionadas de la siguiente manera:
 i(m)
 (1+i)m = ( 1 + ▬▬▬▬ )m = ( 1 + j) = eδ.m = e
 m
A partir de esas igualdades podemos despejar cada una de las tasas definidas en función de las 
otras tasas, o sea que tenemos:
 i(m) 
 i = ▬▬▬▬ = (1+j)1/m - 1 = eδ - 1 = e - 1
 m
 i(m)
 j = (1+i)m - 1 = (1+ ▬▬▬▬ )m - 1 = eδ.m - 1 = e - 1
 m
 i(m) 1 δ(m)
 δ = ln (1+i) = ln (1+ ▬▬▬▬ ) = ▬▬▬ ln (1+j) = ▬▬▬▬
 m m m 
 i(m)
 δ(m) = m . ln(1+i) = m ln (1+ ▬▬▬▬ ) = ln (1+j) = m.δ 
 m
 i(m) = i.m = m . [ (1+j)1/m -1 ] = m (eδ -1) = (e - 1). m
Las fórmulas anteriores permiten calcular cualquier tasa en función de las otras.
1.6. El Interés Compuesto y el Interés Simple:
Hasta ahora hemos trabajado bajo el supuesto que el capital crece continuamente con una 
“fuerza” que está dada por la tasa instantánea de interés constante. El interés producido en 
cada instante se capitaliza, es decir se suma al capital anterior para producir nuevos intereses 
y esto ocurre mientras el acreedor no retire los intereses producidos que quedan en poder del 
deudor, quien debe pagar por el nuevo capital formado por el inicial más los intereses; pero si 
32
el dueño del capital retira los intereses al final de cada unidad de tiempo, la situación cambia. 
Ocurren entonces dos casos:
a) Cuando el interés no se retira al final de cada unidad de tiempo se obtiene el interés 
compuesto.
b) Cuando los intereses se retiran al final de cada unidad de tiempo se obtiene el interés 
simple.
Sabemos ya que en las operaciones financieras el incremento del capital inicial por el paso del 
tiempo constituye el interés de ese capital; veamos las dos situaciones descriptas por medio de 
un gráfico formado por un sistema de ejes coordenados cartesianos, en el eje de las ordenadas 
medimos los intereses y en el eje de las abscisas medimos el tiempo, de tal manera que la línea 
que crece continuamente representa el interés compuestoe indica el valor de ese interés al 
momento “t”:
Estos intereses que no han sido retirados aún, forman en el momento “t”, con el capital inicial 
un monto igual a:
 f(t) = f(0) eδ.t = f(0) (1+i)t
Para saber cuál es el interés compuesto, al momento “t”, debemos restar del monto el capital 
inicial o sea:
 Y = f(t) - f(0)
Reemplazando a f(t) por su igual tenemos:
 Y = f(0) (1+i)t - f(0) = f(0) eδ.t - f(0)
y sacando factor común f(0) tenemos:
 Y = f(0) ( eδ.t - 1)
que es el interés compuesto.
Veamos ahora que ocurre si los intereses se retiran al final de cada unidad de tiempo, en este 
caso al final de cada unidad el capital vuelve a su valor original y al final de cada una de las 
unidades de tiempo produce el mismo interés como se observa en el gráfico, estos intereses al 
final de cada unidad son:
 f(1) - f(0)
pero f(1) = f(0) eδ , si reemplazamos en la fórmula anterior tenemos:
 f(0) eδ - f(0) = f(0) ( eδ- 1 )
Pero sabemos que: eδ - 1 = i, luego reemplazando:
 f(1) - f(0) = f(0) . i
 
( )( )10 −= δtefY 
( ) i.f 0 
 
( ) i.f 0 
 
( ) i.f 0 
 
( ) i.f 0 
 
( ) i.f 0 
 
 
t=n 4 3 2 1 0 
 
 
tiempo 
Interés 
( ) n.i.fI 0= 
33
Estos son los intereses que se retiran al final de cada unidad de tiempo y hemos señalado en el 
gráfico; si ahora sumamos algebraicamente los intereses ganados en “n” unidades de tiempo 
enteras tendremos:
 f(0).i + f(0).i + f(0).i +..........+ f(0).i
 I = ______________________________________________
 n veces
Como se aprecia hemos supuesto que en el momento “t” hay “n” unidades de tiempo enteras. 
La suma será igual a:
 I = f(0).i.n
que es el interés simple.
Esta última fórmula no indica el valor de todos los intereses al final de “n” unidades de tiempo 
sino la simple suma algebraica de los intereses producidos por el capital inicial al final de cada 
una de las “n” unidades de tiempo, es la suma de cantidades que desde el punto de vista 
financiero no son homogéneas, pues están ubicadas en distintos momentos en el tiempo.
Se dice que “el monto a interés simple” en “n” unidades de tiempo enteras es:
 ”f(n) “ = f(0) + f(0).i.n = f(0) (1 + n.i)
Pero desde el punto de vista financiero esto no es cierto, quizás teniendo en cuenta una 
apreciación contable esto puede ser cierto, pero de ninguna manera financieramente podemos 
aceptarlo ya que los intereses sumados están ubicados en distintos momentos en el tiempo y 
no son valores homogéneos.
Para obtener el valor de los intereses simples al final de las “n” unidades de tiempo enteras hay 
que llevarlos a todos hasta ese momento o sea que:
 δ.(n-1) 
 ________________________________________|f(0)i e
 │ δ.(n-2)
 │ __________________________________|f(0)i e
 │ │ δ.(n-3)
 │ │ ____________________________|f(0)i e
 │ │ │ . .
 │ │ │ . | .
 │ │ │ . . δ.2
 │ │ │ ___________|f(0)i e
 │ │ │ │ δ 
 │ │ │ ..... ..... │ _____|f(0)i e
 │ │ │ │ │ 
 f(0)i f(0)i f(0)i f(0)i f(0)i |f(0)i
 ______│_____│_____│_______///______│_____│_____|
 0 1 2 3 ..... .....n-2 n-1 n
Así los intereses ubicados en el momento (n-1) hay que llevarlos al momento “n”, si hacemos de 
cuenta que f(0).i, que son los intereses, es el capital inicial, para trasladarlos al momento “n” 
debemos obtener el monto de ese capital inicial; vemos por otra parte que entre (n-1) y “n” hay 
una unidad de tiempo, luego:
 f(0).i.eδ 
es el valor de los intereses colocados en el momento (n-1) y llevados al momento “n”.
Para el caso de los intereses colocados en el momento (n-2), debemos tener en cuenta que para 
llevarlos al momento “n” existen 2 unidades de tiempo, luego su valor en el momento “n” será:
 f(0).i.eδ.2
34
y así en forma sucesiva; para los intereses que están colocados en el momento “1” y deben ser 
llevados al momento “n”, vemos que existen (n-1) unidades de tiempo, luego su valor ubicado 
en el momento “n” será:
 f(0).i.eδ.(n-1)
Ahora, sí, podemos sumar tales cantidades finales porque todas están ubicadas en el mismo 
momento de tiempo, esa suma será:
 n-1 
 ∑ f(0).i.eδ.t (I)
 t=0 
tenemos la suma de términos de una progresión geométrica cuya razón es eδ y el primer 
término es igual a f(0).i.
Recordemos que la fórmula que nos permite obtener la suma de los términos de una progresión 
geométrica es:
 L.q - a qn- 1
 S = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = a ▬▬▬▬▬▬▬▬▬
 q - 1 q - 1
En donde “L” es el último término, “a” es el primero y “q” la razón, para el caso de la primera 
fórmula, agregándose “n” que es el número de términos para la segunda.
Antes de aplicar la primera fórmula dada (también se puede aplicar la segunda) vamos a 
desarrollar el sumatorio señalado con (I), el cual puede ser colocado de la siguiente manera:
 n-1
 f(0).i ∑ eδ.t
 t=0
pues f(0).i es constante respecto al sumatorio.Si lo desarrollamos tenemos:
 f(0).i [ 1 + eδ + eδ.2 + ..........+ eδ.(n-2) + eδ.(n-1)]
Lo desarrollado entre corchetes también nos representa la suma de términos de una progresión 
geométrica y que tiene como primer término el 1, como último término eδ.(n-1) y la razón es eδ, 
si aplicamos la fórmula primera tendremos:
 n-1 eδ.(n-1) eδ - 1
 ∑ f(0).i.eδ.t = f(0).i . ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
 t=0 eδ - 1
Pero eδ.(n-1).eδ = eδ.n pues el producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma 
base y cuyo exponente es la suma de los exponentes, luego entonces:
 n-1 eδ.n - 1
 ∑_ f(0).i.eδ.t = f(0).i ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
 t=0 eδ - 1 
Pero eδ -1 = i, si reemplazamos tenemos:
 n-1 eδ.n - 1
 ∑ f(0).i.eδ.t = f(0).i ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
 t=0 i 
Simplificando llegamos a que:
 n-1 
 ∑ f(0).i.eδ.t = f(0) (eδ.n - 1 ) = Y 
 t=0 
Vemos que el valor de los intereses simples es igual al de los intereses compuestos (ambas 
fórmulas son iguales, en una tenemos “t” y en la otra “n”, pero “t” y “n” representan el tiempo).
35
Económicamente es lo mismo cobrar intereses simples o compuestos, pero debemos resaltar 
que si al concertar una operación a interés simple se conviene que los intereses se cobraran 
“todos” al final de varias unidades de tiempo, no será en realidad una operación a interés 
simple sino una operación a interés compuesto, con una tasa y un rendimiento distinto a los 
mencionados.
Con un ejemplo podemos aclarar esto: Si para un préstamo de $ 1.000.- a devolver en 10 meses 
a una tasa del 0,05 mensual, se calcula lo que hay que devolver con la fórmula del “monto a 
interés simple” o sea:
 “f(t)” = f(0) (1 + n.i) = 1.000 ( 1 + 0,05 x 10)
 = 1.000 (1 + 0,50) = 1.500.-
Es decir que los intereses simples son $ 50.- por mes y se cobran todos al final de 10 meses. En 
realidad esta es una operación a interés compuesto siendo la tasa de interés cobrada distinta a 
la mencionada, ella se calcula así:
 f(t) = f(0) (1+i)t = 1000 (1+i)t
 
 1500
 1500 = 1.000 (1+i)10 ,de donde i = (▬▬▬▬▬) - 1 
 1000
 i = 0,041379 mensual
Como apreciamos la tasa es distinta a la que se menciona.
Por ello aunque existen los intereses simples (son aquellos que se retiran al final de cada unidad 
de tiempo), financieramente no se puede decir lo mismo con respecto al “monto a interés 
simple”, solamente hay un monto y es el monto a interés compuesto tal como lo hemos definido 
en el punto 1.2.37
CAPÍTULO II
Objetivos Específicos
Al concluir el capítulo los lectores serán capaces de:
* Explicar porque el interés es igual al descuento.
* Explicar porque la tasa de interés no es igual a la tasa de descuento.
* Explicar porque la tasa instantánea de interés es igual a la tasa instantánea de descuento.
* Utilizar el factor de capitalización y el de actualización para ubicar el capital en el tiempo.
* Comprender la necesidad de utilizar la tasa de descuento y no la de interés como si fuese de 
descuento, en operaciones de descuento de documentos.
* Resolver, correctamente, problemas de descuento de documentos.
Eje del Capítulo Las operaciones fundamentales dentro del campo 
financiero.
Contenido
2.1. Las dos operaciones fundamentales: Capitalización y actualización - El factor de capitalización 
y el de actualización.
2.2. Interés y descuento: su valor - La tasa de descuento.
2.3. Relaciones entre la tasa de interés y la tasa de descuento -Tasas de descuento equivalentes- 
Fórmula del monto y del valor actual en función de la tasa de descuento.
2.4. La tasa instantánea de descuento: deducción de su fórmula - Comparación con la tasa 
instantánea de interés.
38
2.1. Las dos operaciones fundamentales 
Capitalización y actualización - El factor de capitalización y el de 
actualización.
Dos son las operaciones fundamentales en el campo financiero: la capitalización y la actualización.
La capitalización permite calcular el monto de un capital inicial y la actualización permite calcular 
el valor actual de un capital futuro. Como podemos deducir son operaciones inversas.
El Factor de Capitalización
El valor de un capital f(0) después de transcurridos “n” unidades de tiempo, de acuerdo a lo que 
hemos visto es:
 f(n) = f(0) eδ.n
sabemos además que: 
 eδ = 1 + i
o sea que la fórmula es: 
 f(n) = f(0) (1+i)n
Si ahora hacemos a 1+i = u y reemplazamos tenemos:
 f(n) = f(0) .un (I)
y es precisamente un el factor de capitalización. Al multiplicar una cantidad cualquiera por él se 
la traslada en el tiempo al final del período n-ésimo, o sea que:
 un = (1+i)n = eδ.n es el factor de capitalización.
El Factor de Actualización
De la expresión (I) podemos deducir que:
 f(n) 
 un = ▬▬▬▬▬ de donde f(0) = f(n) u-n (II)
 f(0) 
f(0) es el valor inicial y f(n) el valor final del capital, es decir que para obtener el valor inicial 
conociendo el valor final hay que multiplicar el capital colocado al final del período n-ésimo 
por u-n.
A la expresión u-1 la vamos a llamar “v” o sea que:
 1
 u-1 = v = ▬▬▬▬▬
 1+i
Si reemplazamos a (II) por esta última igualdad tendremos:
f(0) = f(n) vn
La expresión vn se llama factor de actualización o descuento e indica la operación inversa del 
factor de capitalización, o sea que:
 vn = 1 n = e-δ.n es el factor de actualización.
 1+i
39
El factor un traslada los valores a través del tiempo en sentido positivo y el factor vn en sentido 
negativo; cuando ambos actuan simultáneamente las operaciones se anulan entre si y el capital 
queda ubicado en el mismo momento manteniendo su valor. 
La actualización o descuento es una operación en la cual en lugar de conocer el valor inicial 
conocemos el valor final del capital. Entre el monto y el capital inicial existe la misma relación 
que hay entre el capital final y su valor actual; la capitalización toma como punto de referencia el 
capital inicial y determina el valor del capital final, en cambio la actualización toma como punto 
de referencia el capital final y determina el valor del capital inicial.
Para diferenciar el análisis entre la capitalización y la actualización vamos a definir dos funciones 
que simbolizaremos en forma distinta pero que en definitiva son iguales, una de ellas ya la 
conocemos y es f(t) que hemos utilizado y utilizaremos en el caso de conocer el capital inicial 
y la otra función que definimos ahora es φ(n-t) que la utilizaremos en el caso de conocer el 
capital final, gráficamente son:
Vemos que cuando:
t = 0 tenemos el valor f(0) y φ(n)
t = n tenemos el valor f(n) y φ(o)
De esta manera utilizando el factor de capitalización tenemos que:
 f(n) = f(0) . un
y utilizando el factor de actualización tenemos que:
 φ(n) = φ(o) . vn
de las dos expresiones anteriores deducimos, al ser un = v-n , que:
 f(n) φ(o)
 ▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬
 f(0) φ(n) 
2.2. Interés y descuento: su valor - La tasa de descuento:
Una de las aplicaciones que tiene la actualización es la operación de descuento de documentos 
que podemos resumir así: Una persona es propietaria de un pagaré por un cierto valor nominal 
(VN) que se hará efectivo recién al final de un período dado y quiere disponer de él hoy, ello 
es factible pero quien recibe el pagaré da en préstamo una suma inferior al valor escrito en el 
 
tiempo 
)0()( fn =φ
Capital )0()( φ=nf
n t 0 
)(tf
)( tn −φ
40
pagaré (VA); de tal manera que el valor del pagar‚ indica el importe del capital prestado más los 
intereses que se pagarán por él.
Tratemos ahora de comparar el interés con el descuento y para ello supongamos que tenemos 
un pagaré cuyo valor actual es VA y cuyo valor nominal al final de “n” unidades de tiempo es 
VN, o sea que VA es el valor actual de VN y también podemos decir que VN es el monto de VA, 
o sea que:
 VA = f(0) = φ(n) = VN . vn
 VN = f(t) = φ(o) = VA . un
Ahora analicemos cuál es el interés que ha producido el capital inicial VA al final de “n” unidades 
de tiempo:
 Y = VN - VA = f(n) - f(0) (I)
y veamos cuál es el descuento que ha sufrido el capital VN en “n” unidades de tiempo:
 D = VN - VA = φ(o) - φ(n) (II)
Al comparar (I) y (II) podemos decir que el interés y el descuento tienen el mismo valor, pero 
todavía no podemos decir que financieramente son iguales ya que para decir que si lo son, es 
necesario además que ambos, interés y descuento, estén ubicados en el mismo momento de 
tiempo; tratemos de analizar si ello ocurre:
Al efectuar el descuento, el deudor recibe el valor actual de VN o sea VA y al final de las “n” 
unidades de tiempo abona VN, de esto se desprende que el préstamo inicial no es de un capital 
VN al cual se le “descuentan los intereses” sino de un capital VA cuyo valor final incluidos los 
intereses es VN, o sea que:
 VA . un = φ(n) . un = φ(o) = VN
En este valor final están incluidos los intereses de VA e iguales a la diferencia entre VN-VA, que 
hemos simbolizado con D y que serán abonados por el deudor al final de las “n” unidades de 
tiempo, por lo que podemos afirmar que al descuento o sea el interés el deudor no lo paga al 
principio sino que al final.
Lo mismo ocurre en el caso del interés: los intereses siempre se pagan al final y ello es una 
afirmación irreprochable pues necesariamente para que un capital genere intereses debe 
inexorablemente transcurrir el tiempo.
En consecuencia el interés y el descuento son iguales, ya que sus valores son iguales y están 
ubicados en el mismo momento de tiempo, ambos se pagan al final.
La Tasa de Descuento
Aunque el interés es igual al descuento, la tasa de interés no es igual a la tasa de descuento y 
ello se debe a que se refieren a unidades de capital ubicadas en distintos momentos de tiempo.
La tasa de interés es el interés (o descuento) de una unidad de capital inicial en una unidad de 
tiempo.
La tasa de descuento es el descuento (o interés) de una unidad de capital final en una unidad 
de tiempo.
Es decir que en un caso la unidad de capital es inicial (tasa de interés) y en el otro caso la unidad 
de capital es final (tasa de descuento). Para comprobar que son diferentes, supongamos que N 
es el monto de E al final de una unidad de tiempo, de tal manera que E es el valor actual de N 
que está ubicado una unidad de tiempo después, de tal manera que:
 E = f(0) = φ(1)
 N = f(1) = φ(o)
41
a) Tasa de interés: de acuerdo a la definición “i” será igual a:
 N-E interésde 1 unidad de capital f(1) - f(0)
 i =▬▬▬▬▬= ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬= ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
 E unidad de capital inicial f(0)
pero al ser f(1) el monto de f(0) al final de una unidad de tiempo, tenemos que:
 f(1) = f(0). eδ
si reemplazamos este valor nos queda que:
 f(1)-f(0) f(0) eδ - f(0) f(0).eδ f(0) 
 i =▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬ - ▬▬▬▬▬ = eδ - 1
 f(0) f(0) f(0) f(0)
por supuesto que la fórmula a la cual arribamos es la misma que la vista en el punto 1.3. (tasa 
efectiva de interés).
b) Si ahora analizamos la definición de tasa de descuento y la simbolizamos con la letra “d”, 
esta será:
 N-E descuento de 1 unidad de capital φ(o) - φ(1)
d =▬▬▬▬▬= ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬= ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
 N unidad de capital final φ(o)
pero al ser φ(1) el valor actual de φ(o) tenemos que:
 φ(1) = φ(o).v = φ(o) e-δ
si reemplazamos nos queda que:
 φ(o)- φ(1) φ(o) - φ(o).e-δ φ(o) φ(o).e-δ
d = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬ - ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 1 - e-δ
 φ(o) φ(o) φ(o) φ(o)
Que es la fórmula de la tasa de descuento.
Resumiendo:
 i = eδ - 1 = u - 1
 d = 1 - e-δ = 1 - v
2.3. Relaciones entre la tasa de interés y la tasa de descuento - 
Tasas de descuento equivalentes - Fórmula del monto y valor actual 
en función de la tasa de descuento:
Relaciones entre la tasa de interés y la tasa de descuento:
Sea un sistema de ejes coordenados cartesianos; en el eje de las abscisas medimos el tiempo y 
en el eje de las ordenadas el capital. Tomemos un capital de $ 1.- colocado en el momento cero 
y un capital de $ 1.- colocado al final de una unidad de tiempo, veamos:
42
Vemos que el monto de un capital inicial de $ 1.- al final de una unidad de tiempo es:
 1.eδ = 1 + i = u
Vemos que el monto de un capital inicial de $ v.- al final de una unidad de tiempo es:
 v.eδ = e-δ . eδ = 1
Por otro lado vemos que la diferencia entre 1 y “v”, o sea la diferencia entre capitales iniciales es 
la tasa de descuento, es decir que:
 1 - v = 1 - e-δ = d
y vemos que la diferencia entre “u” y 1, o sea la diferencia entre capitales finales es la tasa de 
interés, es decir que:
 u - 1 = eδ - 1 = i
Si nosotros ahora graficamos en un nuevo sistema de ejes coordenados cartesianos con la 
misma escala, las diferencias entre los capitales iniciales y finales tendremos:
Tenemos que el capital inicial es “d” y el capital final es “i”, por lo tanto podemos afirmar que “i” 
es el valor final de un capital inicial “d” y entonces deducimos que:
“i” es el monto de “dem” una unidad de tiempo
por lo que podemos poner que:
i = d . eδ = d. (1+i) (III)
 
Tiempo 0 1 
1 1 
Capital 
vid =
δei =+1
( )idi += 1
δ−=−= edv 1
 
0 1 Tiemp
o 
1−= ui
vd −=1
Capital 
43
de donde se desprende que:
 i 
 d = ▬▬▬▬▬ 
 1+i 
que es la fórmula de la tasa de descuento en función de la tasa de interés, es decir la que 
relaciona a la tasa de descuento con la tasa de interés.
De la igualdad (III) deducimos que:
 i = d (1+i) = d + d.i de donde i - d.i = d
si sacamos factor común “i” en el primer miembro de la última igualdad tenemos que:
 i ( 1 - d ) = d
en definitiva:
 d 
 i = ▬▬▬▬▬ 
 1-d 
que es la fórmula de la tasa de interés en función de la tasa de descuento.
Otras relaciones: 
Partiendo de la fórmula que relaciona a la tasa de descuento con la tasa de interés, deducimos:
 i 1
 d = ▬▬▬▬▬ = i . ▬▬▬▬▬ = i.v (IV)
 1+i 1+i
y partiendo de que:
 i = d(1+i) = d + d.i deducimos que: i - d = d.i
La diferencia entre la tasa de interés y tasa de descuento es igual al producto de las mismas.
Tasas de Descuento Equivalentes
Para la tasa de descuento cabe el mismo análisis que para la tasa de interés cuando se trabaja 
en sub-períodos, así por ejemplo si tenemos la tasa de descuento del año la simbolizamos con 
“g” y la del sub-período con “d”, siendo éstas tasas equivalentes; en cambio si trabajamos con 
una tasa nominal de descuento que corresponde al año, la simbolizamos con:
 d(m)
Teniendo en cuenta lo expresado decimos en primer lugar que el valor actual de $ 1.- en un año 
dividido en “m” subperíodos puede expresarse así:
 vm = (1 - d)m = 1 - g 
de donde deducimos que:
 d = 1 - ( 1 - g )1/m
 g = 1 - ( 1 - d )m
que son las fórmulas de equivalencias entre las tasas de descuento. 
En cuanto a la tasa nominal y teniendo en cuenta lo visto para la tasa nominal de interés, 
tenemos que:
44
 d(m)
 d(m) = m.d de donde d = ▬▬▬▬▬▬
 m
Fórmula del monto en función de la Tasa de Descuento:
Recordemos que la fórmula del monto es:
 f(t) = f(0). (1+i)t = f(0). eδt = f(0). ut
pero recordemos que:
 1 1
 v = 1 - d de donde ▬▬▬▬▬ = 1 - d, de donde 1+i = ▬▬▬▬▬
 (1+i) (1-d)
o sea que: 
 1 + i = u = (1 -d)-1
de manera tal que si reemplazamos en la fórmula del monto, tendremos que:
 f(t) = f(0). (1 - d)-t
que es la fórmula del monto en función de la tasa de descuento.
Fórmula del valor actual en función de la tasa de descuento:
Partiendo de la fórmula del valor actual en función del factor de actualización, deducimos que:
 φ(t) = φ(o) . vn, pero v = 1 - d, por lo tanto:
 φ(t) = φ(o). (1 - d)t
2.4. La tasa instantánea de descuento: deducción de su fórmula - 
Comparación con la tasa instantánea de interés:
La tasa instantánea de interés indica la fuerza de crecimiento de una unidad de capital inicial, es 
el interés producido por una unidad de capital inicial en una unidad de tiempo bajo el supuesto 
de que el crecimiento a lo largo de toda la unidad de tiempo es igual al crecimiento del primer 
instante. En cambio la Tasa Instantánea de descuento nos indica la fuerza de descrecimiento 
de una unidad de capital final, es el descuento de una unidad de capital final en una unidad de 
tiempo bajo el supuesto que el decrecimiento a lo largo de toda la unidad de tiempo es igual al 
decrecimiento del último instante.
En un sistema de ejes coordenados cartesianos graficamos la función :)zn( −φ
 
Capital 
t 
Tiempo n 0 
)0(φ
)1()( +− tt φφ
)(nφ
)(tφ)1( +tφ
)1( +− tn tn −
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
45
De tal manera que:
cuando z = n tenemos φ(o) que es igual a f(n)
cuando z = n-t tenemos que la función asume el valor φ(t)
cuando z = n-(t+1) la función asume el valor φ(t+1)
cuando z = 0 tenemos φ(n) que es igual a f(0)
En este caso “t” nos indica el tiempo que falta para que el capital adquiera su valor final o sea 
φ(o).
El descuento de un capital φ(t) en una unidad de tiempo será:
 φ(t) – φ(t+1)
Si ahora subdividimos la unidad de tiempo en “m” partes, el descuento en una m-ésima unidad 
de tiempo de un capital φ(t) será:
 1
 φ(t) - φ(t + ▬▬▬) 
 m
si ahora suponemos que el descuento en las “m” partes en que se ha subdividido la unidad 
de tiempo es igual al descuento de la última parte, es decir que en todas las partes tenemos el 
mismo valor, y multiplicamos por “m” obtendremos nuevamente el descuento en toda la unidad 
de tiempo para un capital φ(t), o sea:
 1
 m [φ(t) - φ(t + ▬▬▬▬ ) ]
 m
pero este es el descuento de un capital φ(t) y nosotros necesitamos el descuento de un capital 
de $ 1.-, para ello dividimos por φ(t) y obtenemos:
 1
 m [φ(t) - φ(t + ▬▬▬ ) ]
 m
 d(m) = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
 φ(t)
que es una tasa nominal de descuento de una unidad de capital en una unidad de tiempo bajo 
el supuesto de que el decrecimiento (descuento) del último m-ésimo es igual para todos los 
demás en que se ha subdividido.
Hacemos un cambio de variables de esta manera:
 1 1
 h = ▬▬▬ de donde m = ▬▬▬▬▬
 m h
Si ahora tomamos límites