GEOMETRÍA 1er Material de Estudios PRE 2021-2

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PROGRAMA DE
ACELERACIÓN
MATEMÁTICA
FREDY OCHOA
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TRIGONOMETRÍA-MATERIAL 1:
E N L A C E S
D E
S O L U C I O N E S
C E P R E U N I 2 0 2 1 - 2
FREDY OCHOA
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L O N G I T U D D E A R C O - P R O B 1 9 - 3 8
H T T P S : / / Y O U T U . B E / 9 L J K O L Z O 2 L E
R U E D A S Y P O L E A S - P R O B 3 9 - 4 5
H T T P S : / / Y O U T U . B E / J Y Q I C 6 Z R 7 D U
H T T P S : / / Y O U T U . B E / G E E E H J G K M Q E
R T A G U D O S ( I ) - P R O B 4 6 - 5 6
R T A G U D O S ( I I ) - P R O B 5 7 - 6 9
R T A G U D O S ( I I I ) - P R O B 7 0 - 7 7
H T T P S : / / Y O U T U . B E / Q O 8 _ _ P Z U G Q E
H T T P S : / / Y O U T U . B E / B B Y U N 9 L F 0 M G
R T A G U D O S ( I V ) - P R O B 7 8 - 8 4
H T T P S : / / Y O U T U . B E / S H G J H B Z T D H O
R T A G U D O S ( V ) - P R O B 8 5 - 9 0
H T T P S : / / Y O U T U . B E / A R U Y O P K I J F E
https://youtu.be/9lJkOlZo2LE
https://youtu.be/jyQIc6Zr7DU
https://youtu.be/GEeEhJGkMQE
https://youtu.be/qo8__PZuGqE
https://youtu.be/bbyUN9lf0Mg
https://youtu.be/SHgJHBztDHo
https://youtu.be/aRuyopKIjfE
FREDY OCHOA
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ÁLGEBRA-MATERIAL 1:
F A C T O R I Z A C I Ó N ( I ) - P R O B 1 8 1 - 1 8 8
HTTPS://YOUTU.BE/S3QOTC12KH8
F A C T O R I Z A C I Ó N ( I I ) - P R O B 1 8 9 - 1 9 5
HTTPS://YOUTU.BE/LGEO7GSCT6Y
R A C I O N A L I Z A C I Ó N ( I ) - P R O B 1 9 6 - 2 0 4
HTTPS://YOUTU.BE/LGEO7GSCT6Y
R A C I O N A L I Z A C I Ó N ( I I ) - P R O B 2 0 5 - 2 1 0
HTTPS://YOUTU.BE/QAZ2BPQYBEQ
GEOMETRÍA-MATERIAL 1:
C I R C U N F E R E N C I A ( I ) - P R O B 9 1 - 1 0 0
HTTPS://YOUTU.BE/DDSBQRBFU2K
C I R C U N F E R E N C I A ( I I ) - P R O B 1 0 1 - 1 0 6
HTTPS://YOUTU.BE/KA7TBE_CHDG
H T T P S : / / Y O U T U . B E / 1 5 8 0 V I H U - L 8
R T S E M I - Á N G U L O S D E L T R I Á N G U L O ( I ) - P R O B 9 9 - 1 0 2
R E S O L U C I Ó N D E T R I Á N G U L O O B L I C U Á N G U L O S 7 6 - 9 0
H T T P S : / / Y O U T U . B E / V M E 3 Y 4 Z W 3 K S
R T S E M I - Á N G U L O S D E L T R I Á N G U L O ( I ) - P R O B 1 0 3 - 1 0 7
H T T P S : / / Y O U T U . B E / O N D A W W Y O T C M
TRIGONOMETRÍA-MATERIAL 2:
https://youtu.be/s3qoTC12Kh8
https://youtu.be/lgeo7gScT6Y
https://youtu.be/lgeo7gScT6Y
https://youtu.be/Qaz2bpQybeQ
https://youtu.be/ddSBqrbFu2k
https://youtu.be/ka7TBe_chdg
https://youtu.be/1580viHu-L8
https://youtu.be/vMe3Y4zw3Ks
https://youtu.be/OndaWWYoTCM
 
 
- 1 - 
GEOMETRÍA 
 
NOCIONES BÁSICAS 
SEGMENTOS-ANGULOS 
CONJUNTOS CONVEXOS 
 
 
01. Indique el valor de verdad de cada 
una de las proposiciones: 
 
I. La distancia entre dos puntos 
diferentes es un número real. 
II. Alguna intersección de dos 
semirrectas es un segmento sin los 
extremos. 
III. El axioma es una proposición que 
se admite sin demostración. 
 
A) FVF B) FVV C) FFV 
D) VVF E) VVV 
 
02. Indique el valor de verdad de cada 
una de las proposiciones: 
 
I. Alguna intersección de dos 
segmentos contenidos en una 
recta es el vacío. 
II. La unión de dos rayos no 
colineales con un punto en común 
es un ángulo. 
III. Para cada par de puntos distintos 
de una recta, existen infinitos 
puntos de la recta que están 
entre dichos puntos. 
 
A) FFV B) VFV C) VVF 
D) FVV E) FVF 
 
03. |Indique el valor de verdad de cada 
una de las proposiciones: 
 
I. Si dos ángulos no se intersecan 
entonces cada uno de ellos está 
contenido en el exterior del otro. 
II. Si una partición de un plano 
consta de tres elementos los 
cuales son conjuntos convexos, 
entonces uno de ellos es una 
recta. 
III. Dos rectas paralelas determinan 
en el plano que lo contiene alguna 
partición de 5 elementos. 
 
A) FVF B) FFF C) FVV 
D) VVV E) VVF 
 
04. Indique el valor de verdad de cada 
una de las proposiciones: 
 
I. Sea S la unión de dos rectas 
secantes contenidas en un plano P. 
Entonces existe una partición de 
P- S, formado por cuatro conjuntos 
convexos. 
II. Una colección de subconjuntos y 
disjuntos de un conjunto dado es 
una partición de dicho conjunto. 
III. Alguna unión de dos conjuntos 
convexos y disjuntos es un 
conjunto convexo. 
 
A) VFV B) FFV C) VVF 
D) FVV E) FFF 
 
05. Indique el valor de verdad de cada 
una de las proposiciones: 
 
I. Si A – C – B entonces para todo 
punto D, AB̅̅ ̅̅ ∩ CD⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ es un conjunto 
convexo. 
II. BC̅̅ ̅̅ -{B,C} es un conjunto convexo 
III. Si A, B y C son colineales, 
entonces A – B – C. 
 
A) VFV B) VVF C) VFF 
D) FFV E) FFF 
 
06. En una recta se tienen los puntos 
consecutivos A, B, C, D y E de modo 
que: 
BD + AC + BE + AD + CE = (AE)(BD) 
Calcule: 
1 1
 
AE BD
+ 
 
A) 
1
3
 B) 3 C) 
1
2
 
D) 2 E) 
1
6
 
https://cutt.ly/gf81FbV
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/8f81Sjf
 
 
- 2 - 
07. Dados los puntos colineales y 
consecutivos A, B, C, D, E y F. 
Si 
AC BD CE DF
m
BC CD DE EF
+ + + = , calcule 
AB BC CD DE
 .
BC CD DE EF
+ + + 
 
A) m – 4 B) m + 2 C) m 
D) m – 1 E) m – 3 
 
08. En una recta se ubican los puntos 
consecutivos A, B, C y D, de modo 
que B es punto medio de AD̅̅ ̅̅ . Si se 
cumple que (AC)(AD) = 32 y 
2 1 1
 ,
AC AB CD
= + entonces CD es 
 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
09. Dados los puntos colineales y 
consecutivos A, B, C, D, E y F tal que 
AC = CE = EF y 2(BC)=3(DE). 
Calcule 
2 2
2 2
BE AB
.
DF CD
−
−
 
 
 A) 
3
4
 B) 
2
3
 C) 
9
4
 
D) 
4
9
 E) 
3
2
 
 
10. Indique el valor de verdad de cada 
una de las proposiciones: 
 
I. La intersección de dos ángulos 
como máximo son cuatro puntos. 
II. 5x es la medida de un ángulo agudo 
entonces el máximo valor entero de 
x es 17. 
III. 6x es la medida de un ángulo obtuso 
entonces el mínimo valor entero de 
x es16. 
 
A) FFF B) FVF C) VFV 
D) FVV E) FFV 
 
11. Sean AOB, BOC, COD y 
DOE ángulos consecutivos y sus 
medidas están en progresión 
geométrica de razón 2 en ese orden 
.Si mAOE = 120, calcule la medida 
del ángulo formado por las 
bisectrices de los ángulos BOC y 
DOE. 
 
A) 56 B) 76 C) 72 
D) 74 E) 62 
 
12. Se tienen los ángulos consecutivos 
AOB, BOC y COD de modo que 
la m∠BOC excede a la m∠AOB en 
40 y la m∠COD excede a la m∠AOB 
en 20, luego se trazan las 
bisectrices OM, ON, OQ, OE y OF 
de los ángulos AOB, BOC, COD, 
MON y NOQ respectivamente. 
Calcule (m∠BOE– m∠COF). 
 
A) 15 B) 12 C) 10 
D) 5 E) 1 
 
13. Sean AOB, BOC y COD 
ángulos consecutivos de modo que 
mAOB = 24 y mCOD = 40. Halle 
la medida del ángulo formado por 
las bisectrices de los ángulos AOC y 
BOD. 
 
A) 36 B) 16 C) 22 
D) 24 E) 32 
 
14. Dos ángulos conjugados internos, 
determinados entre dos rectas 
paralelas, miden θ y nθ donde n es 
entero y menor que 5. Calcular la 
suma de valores de θ. 
 
A) 213 B) 118 C) 112 
D) 231 E) 233 
 
 
 
https://cutt.ly/gf81FbV
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https://cutt.ly/Gf81Ah3
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- 3 - 
15. En el exterior de un AOB que mide 
50 se trazan una recta L y las 
semirrectas paralelas AT y BQ, tal 
que mOAT= 2θ y mOBQ = 3θ. 
Indique el valor de verdad de cada 
una de las proposiciones: 
 
I. Si L es paralela a las semirrectas 
entonces θ = 46. 
II. Si L es secante a las semirrectas 
entonces θ = 10. 
III. Las semirrectas opuestas a las 
semirrectas AT y BQ están 
contenidas en el interior del ángulo. 
 
A) VVV B) VFV C) FVV 
D) VFF E) VVF 
 
TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOTABLES 
 
16. En un triángulo ABC, A – D – C, 
D – E – C, B – F – C y AB = BD = DF 
= FE = EC. Calcule mABD, cuandomACB tome su máximo valor 
entero impar. 
 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 14 
 
17. En un triángulo escaleno, el 
perímetro es 25 cm. Calcule la suma 
(en cm) de los valores enteros, 
mínimo y máximo, de la longitud del 
mayor lado. 
 
A) 20 B) 22 C) 18 
D) 19 E) 21 
 
18. En un triángulo ABC, mC – mA = 
k. Calcule la medida del menor 
ángulo que determinan la mediatriz 
del lado AC y la bisectriz del ángulo 
exterior de vértice B. 
 
A) 90 – 
k
2
 B) 
k
4
 C) 
k
2
 
D) 90 – 
k
4
 E) 90 – 
k
3
 
19. En el interior y en el exterior de un 
cuadrado ABCD, se construyen los 
triángulos equiláteros AED y CDF, 
respectivamente. Demuestre que B, 
E y F, son colineales. 
 
20. En el interior de un triángulo ABC, se 
ubica el punto D, tal que AD = BC, 
mADC = 120, mDBC = 30 y 
mBCD = 40. Calcule la mDAB. 
 
A) 10 B) 15 C) 20 
D) 25 E) 30 
 
21. En un triángulo ABC, AB = BC, el 
perímetro es mayor que el triple de 
la longitud del lado diferente. Indique 
la relación correcta: 
 
A) 2mBAC < mABC 
B) 2mBCA < 3mBAC 
C) mBAC > mABC 
D) mABC > 2mBAC 
E) mCAB < 3mACB 
 
22. En un triángulo ABC, A – D – B; 
A – C – E y C – A – F. El triángulo 
DBC es isósceles de base BC̅̅ ̅̅ , 
mABC = 2mDCA y mBCE = 
135. Calcule la mBAF. 
 
A) 45 B) 55 C) 60 
D) 65 E) 75 
 
23. En un triángulo ABC, A – F – B, 
mBAC = mFCA y mCFB > 90. 
Si FA = 5 u y BF = 2 u, entonces el 
valor entero (en u) de BC es 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
https://cutt.ly/gf81FbV
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/8f81Sjf
 
 
- 4 - 
24. En un triángulo acutángulo ABC, 
exterior y relativos a los lados BC y 
AC se ubican los puntos D y F. Los 
segmentos AD y BC se intersecan 
en E; A – C – M, C – A – N y A – B – 
Q. Los rayos EF, CD y DF bisecan 
AEC, BCM y ADC 
respectivamente. Si mBAN = 240 - 
mQBC, entonces la mEFD es 
 
A) 10 B) 12 C) 18 
D) 25 E) 30 
 
25. Indique el valor de verdad de cada 
proposición: 
 
I. Si un punto equidista de los 
vértices de un triángulo, entonces 
el punto pertenece al interior. 
II. Con tres segmentos siempre se 
determina un triángulo. 
III. La bisectriz de un ángulo exterior 
de algún triángulo, es paralela a un 
 lado. 
IV. En un triángulo, la suma de las 
medidas de dos ángulos interiores 
es igual a la medida de un ángulo 
exterior. 
 
A) VVFV B) FVFV C) FFVF 
D) FFVV E) VVFF 
 
26. Indique el valor de verdad de cada 
proposición: 
 
I. En todo triángulo escaleno, la 
longitud de la altura siempre es 
menor que la longitud de la 
mediana relativa al mismo lado. 
II. Si en un triángulo rectángulo ABC, 
recto en B, AB + BC = 20 u, 
entonces la longitud entera mínima 
de la hipotenusa es 11 u. 
III. Toda línea notable de un triángulo 
es un segmento. 
 
A) FFV B) VVF C) VFF 
D) FFF E) VVV 
27. En un triángulo ABC, el punto P es 
exterior y relativo al lado AC; A – B 
– D y B – E – C; los segmentos DP 
y AC se intersecan en G, los 
segmentos PE y AC en el punto F. 
Si AD = AG, EC = FC y mGPF = 
40, entonces la medida del ángulo 
exterior, relativo al vértice B es 
 
A) 80 B) 70 C) 60 
D) 50 E) 40 
 
28. En un triángulo ABC, se traza la 
ceviana BD̅̅ ̅̅ . Si (AB + BC) = y 
AC = m ((n + m) y (n – m) son 
pares),entonces la suma del mínimo 
y máximo valor entero de BD es 
 
A) 2n B) 
2n
3
 C) n 
D) 
3n
2
 E) 
4n
3
 
 
29. En un triángulo ABC, recto en B, 
se traza la ceviana BD̅̅ ̅̅ , tal que 
BAC  ABD, AD = (2x – 3) u 
y DC= (17 – 3x) u. Calcule (en u), 
(AC + BD). 
 
A) 10 B) 12 C) 13 
D) 15 E) 21 
 
30. ABC es un triángulo escaleno, D 
punto interior, E y F puntos 
exteriores relativos a los lados BC y 
AC, respectivamente; B – C – T, B – 
E – N y CBE  ABD, BDE  
BCA. Si mDEN = , los rayos BF 
y CF son bisectrices de los ángulos 
ABC y ACT, entonces mBFC es 
 
A) 90 - 2 B) 
3
2

 C)  
D) 90 - 
2

 E) 
2

 
 
https://cutt.ly/gf81FbV
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/8f81Sjf
 
 
- 5 - 
 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
 
31. Indique el valor de verdad de cada 
una de las siguientes proposiciones: 
 
I. Si dos triángulos son 
congruentes, entonces los 
ángulos correspon dientes son 
congruentes. 
II. Si dos triángulos son congruentes 
a un tercer triángulo, entonces 
dichos triángulos son 
congruentes. 
III. Si dos triángulos son equiláteros, 
entonces los triángulos son 
congruentes. 
 
A) VFV B) FVF C) VVF 
D) VVV E) FFF 
 
32. Indique el valor de verdad de cada 
una de las siguientes proposiciones. 
 
I. Si dos triángulos tienen 
congruentes dos ángulos y un 
lado, entonces los triángulos son 
congruentes. 
II. Si dos triángulos tienen 
congruentes dos lados y un 
ángulo, entonces los triángulos 
son congruentes. 
III. Si dos triángulos obtusángulos 
tienen dos lados congruentes y el 
ángulo opuesto al mayor lado, 
entonces los triángulos son 
congruentes. 
 
A) FFV B) FVF C) VVF 
D) VVV E) FFF 
 
33. En el interior de un triángulo 
equilátero ABC se ubica el punto I, 
se trazan los triángulos equiláteros 
API y CQI tal que P I̅̅ ̅̅ y QI̅̅ ̅ 
intersecan a AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ . Si el ángulo 
AIC mide , entonces la medida del 
ángulo PBQ es 
 
A) 90 +  B) 90 + 2 
C) 120 − 2 D) 180 − 2 
E) 240 −  
 
34. Dado un triángulo equilátero ABC, 
en el exterior y relativo al lado se 
ubica el punto P. Si AP+PB es 
mínimo entonces la medida del 
ángulo APC es 
 
A) 30 B) 30 C) 45 
D) 60 E) 90 
 
35. En un triángulo ABC, recto en B, en 
el lado BC̅̅ ̅̅ se ubica el punto D tal 
que mDAC = 2mBAD . Si AC =
AD + 2(BD), entonces la medida del 
ángulo BAD es 
 
A) 15 B) 18 C) 20 
D) 22,5 E) 26,5 
 
36. En un triángulo QPC, en la 
prolongación de CQ̅̅ ̅̅ ̅ y en el exterior 
relativo a PQ̅̅ ̅̅̅ se ubican los puntos A 
y B respectivamente tal que AB = PC 
y AC = PQ. Si mQPC = mBAC y 
mBQP = mPQC , entonces la 
medida del ángulo PQB es 
 
A) 18 B) 36 C) 24 
D) 45 E) 12 
 
37. En un triángulo rectángulo ACB, 
recto en C, en AB̅̅ ̅̅ , AC̅̅ ̅̅ y en el 
exterior relativo a AC̅̅ ̅̅ se ubican los 
puntos L, Q y F respectivamente tal 
que el triángulo QFC es equilátero. 
Si AQ = CL , mABC = 64 y 
mLCB = 30 , entonces la medida 
del ángulo FLC es 
 
A) 30 B) 34 C) 36 
D) 40 E) 45 
 
 
https://cutt.ly/gf81FbV
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/8f81Sjf
 
 
- 6 - 
38. En un triángulo isósceles ABD de 
base AD̅̅ ̅̅ , en el lado BD̅̅ ̅̅ se ubica el 
punto Q y en la prolongación de AQ̅̅ ̅̅̅ 
se ubica el punto E de manera que 
AD = DE y mBAE = mDBE =
2mBDE . Calcule la medida del 
ángulo BDE. 
 
A) 6 B) 9 C) 10 
D) 12 E) 15 
 
39. En un triángulo ABC, en el lado AC̅̅ ̅̅ 
se ubica el punto P y en el exterior el 
punto Q tal que BQ̅̅ ̅̅̅ interseca a AC̅̅ ̅̅ , 
mBAQ = 90 , mPQA = 50 y 
mACQ = mBCA = 2mBAC =
40 . Calcule la medida del ángulo 
PBC. 
 
A) 50 B) 40 C) 60 
D) 30 E) 70 
 
40. En un triángulo ABC, en el lado AC̅̅ ̅̅ 
se ubica el punto M y en el exterior 
el punto N tal que AN̅̅ ̅̅ interseca a 
BC̅̅ ̅̅ , AB̅̅ ̅̅  MN̅̅ ̅̅ ̅, mBNM = 35 , AB =
MC y mABC = mACN . Calcule 
la medida del ángulo BAC. 
 
A) 35 B) 55 C) 20 
D) 45 E) 70 
 
41. En un triángulo ABC, se trazan las 
alturas BH̅̅ ̅̅ y AQ̅̅ ̅̅̅, en AQ̅̅ ̅̅̅ se ubica el 
punto T tal que HT̅̅ ̅̅ ⊥ AQ̅̅ ̅̅̅ . Si HT = a, 
BQ = b y BH̅̅ ̅̅ ≅ AC̅̅ ̅̅ , entonces la 
longitud de AQ̅̅ ̅̅̅ es 
 
A) a + b B) a + 2b C) 3a+b 
D) 2a + b E) b – a 
 
42. En el interior de un triángulo 
equilátero ABC, se ubica el punto P 
tal que mABP = 3 , mBCP = 2 
y mPAC = . Calcule la medida el 
ángulo BPC. 
 
A) 110 B) 135 C) 140 
D) 120 E) 105 
43. En un triángulo ABC, se traza la 
altura BH̅̅ ̅̅ y en HC̅̅ ̅̅̅ se ubica el punto 
P, en la prolongación del lado BC̅̅ ̅̅ se 
ubica el punto Q tal que BC ̅̅ ̅̅ ̅≅ CQ̅̅ ̅̅ ̅, 
AB̅̅ ̅̅≅ PQ̅̅ ̅̅̅ y HC = 10 u . Calcule la 
longitud (en u) de AP̅̅ ̅̅ . 
 
A) 10 B) 15 C) 40 
D) 20 E) 125 
 
44. Se tiene un triángulo ABC recto en 
B, se traza la altura BH̅̅ ̅̅ , en las 
prolongaciones de los catetos AB̅̅ ̅̅ y 
CB̅̅ ̅̅ se ubican los puntos F y E tal 
que la prolongación de HB̅̅ ̅̅ interseca 
a EF̅̅ ̅̅ en el punto M. Si BC̅̅ ̅̅ ≅ BF̅̅ ̅̅ , 
AB̅̅ ̅̅ ≅ BE̅̅ ̅̅ y MF = 3 u , entonces la 
longitud (en u) de EM̅̅ ̅̅ ̅ es 
 
A) 6 B) 3 C) 4 
D) 1,5 E) 2 
 
45. En un triángulo ABC, en el lado AC̅̅ ̅̅ 
y en el exterior relativo al lado AC̅̅ ̅̅ se 
ubica el punto P tal que mADP=42, 
mPDC=mBAC=24 , mACB=48 
y mBAD=90. Calcule la medida del 
ángulo ABP. 
 
A) 24 B) 36 C) 42 
D) 32 E) 21 
 
APLICACIONES DE LA 
CONGRUENCIA 
 
46. En un triángulo isósceles de base 
AC̅̅ ̅̅ , se ubican los puntos P, Q, T y S 
en las prolongaciones de los lados 
CA̅̅ ̅̅ , CB̅̅ ̅̅ , AB̅̅ ̅̅ y BA̅̅ ̅̅ respectivamente 
tal que m∠PQC=m∠ATC=m∠ASP=
 90 Si BQ = a y AS = b, entonces la 
longitud de BT̅̅ ̅̅ es 
 
A) 
a b
2
−
 B) 
a b
3
−
 C) a – b 
D) 
a 2b
2
−
 E) 
a b
3
+
 
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- 7 - 
47. En un triángulo ABC, se ubica el 
punto Q en BC̅̅ ̅̅ , las mediatrices de 
BQ̅̅ ̅̅̅ y AC̅̅ ̅̅ se intersecan en R. Si 
AB = CQ y m∠ACB = 20, entonces 
la m∠CRQ es 
 
A) 10 B) 15 C) 20 
D) 25 E) 30 
 
48. En un triángulo isósceles ABC de 
base BC̅̅ ̅̅ , se traza la altura BH̅̅ ̅̅ y la 
ceviana AP̅̅ ̅̅ . Si m∠BAC = m∠APB 
y AB = 12 u, entonces la distancia 
(en u) de P a BH̅̅ ̅̅ es 
 
A) 3 B) 4 C) 4√2 
D) 6 E) 8 
 
49. En un triángulo rectángulo ABC, 
recto en B, se traza la ceviana BE̅̅ ̅̅ , 
tal que m ∠ EBC = 3m ∠ ACB. Si 
CE=12 u, entonces el máximo valor 
entero (en u) de AE es 
 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 8 
 
50. En un triángulo rectángulo ABC, 
recto en B, se ubica el punto E 
exterior al lado AC̅̅ ̅̅ y el punto F está 
contenido en BE̅̅ ̅̅ . Si m∠FAE = 90, 
FE = AC y m∠ACB = 2(m∠AEB), 
entonces la m∠ABE es 
 
A) 15 B) 22,5 C) 30 
D) 37 E) 45 
 
51. En un triángulo ABC, se ubica en el 
interior el punto P. Si BC = 2AP, 
m∠PBC = 2m∠PAB, m∠BAC = 
45, m ∠ APB = 90, entonces la 
medida del ángulo PAB es 
 
A) 15 B) 22,5 C) 26,5 
D) 30 E) 37 
 
52. En un triángulo rectángulo ABC, 
recto en B, se ubican los puntos 
P, Q y T sobre los lados AC̅̅ ̅̅ , 
AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ respectivamente. Si 
m ∠ BAT = m ∠ ACB = 15, PC = 
2(AT) y m ∠ AQP = m ∠ BQT, 
entonces la medida del ángulo APQ 
es 
 
A) 10 B) 12 C) 15 
D) 22,5 E) 30 
 
53. En un triángulo ABC, obtuso en B, 
se trazan las cevianas CE̅̅ ̅̅ y BF̅̅ ̅̅ . Si 
el vértice C dista 4 u de BF̅̅ ̅̅ , AB = 
BF, EC = 32 u y m∠ BEC = 30, 
entonces la distancia (en u) del 
vértice A hacia BF̅̅ ̅̅ es 
 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 14 
 
54. En un triángulo acutángulo ABC, se 
traza la altura CH̅̅ ̅̅̅, en AC̅̅ ̅̅ se ubica el 
punto N. Si m∠NHC + m∠HCB = 
m∠BAC = 60 y BC = 18 u, entonces 
la longitud (en u) de HN̅̅ ̅̅̅ es 
 
A) 6 B) 9 C) 6√2 
D) 5√3 E) 9√2 
 
55. En un triángulo rectángulo ABC, 
recto en B, se trazan las cevianas 
BD̅̅ ̅̅ y CE̅̅ ̅̅ que se intersecan en el 
punto T. Si m∠ETD = 2(m∠BAC) y 
CE = 2(BD), entonces la medida del 
ángulo BAC es 
 
A) 15 B) 30 C) 45 
D) 60 E) 75 
 
56. En un triángulo ABC, obtuso en B, 
en el lado AC̅̅ ̅̅ se ubica el punto M, 
las mediatrices de AM̅̅ ̅̅ ̅ y 
MC̅̅ ̅̅ ̅ intersecan a los lados AB y BC 
en los puntos P y Q respectiva-
mente. Sí AP = 2 u y QC = 3 u, 
entonces la longitud entera (en u) de 
PQ̅̅ ̅̅̅ es M 
 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
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- 8 - 
57. Indique los valores de verdad en las 
siguientes proposiciones: 
 
I. En todo triángulo, el segmento 
que tiene por extremos los 
puntos medios de dos lados es 
paralelo al tercer lado. 
II. En un triángulo, los extremos de 
un segmento pertenecen a dos 
lados del triángulo, si la longitud 
del segmento es la mitad de la 
longitud del tercer lado, 
entonces los extremos del 
segmento son puntos medios de 
los dos lados del triángulo. 
III. En un triángulo rectángulo, la 
menor mediana puede ser 
congruente con una ceviana 
trazado hacia el mayor lado. 
 
A) VVV B) VFV C) FVF 
D) FFV E) VFF 
 
58. Indique los valores de verdad en las 
siguientes proposiciones: 
 
I. Todos los puntos que 
pertenecen a la bisectriz de un 
ángulo están en el interior del 
ángulo. 
II. Si un rayo determina ángulos 
congruentes con los lados de un 
ángulo, entonces el rayo es 
bisectriz del ángulo. 
III. En un triángulo, el punto de 
intersección de dos bisectrices 
interiores, siempre equidistan de 
los lados del triángulo. 
 
A) VVV B) VFV C) FVF 
D) FFV E) VFF 
 
59. Indique los valores de verdad en las 
siguientes proposiciones: 
 
I. Todos los puntos de la mediatriz 
de un segmento siempre 
equidistan del segmento. 
II. Si dos segmentos son 
congruentes, entonces las 
mediatrices de los segmentos 
son también congruentes. 
III. Si dos segmentos no colineales, 
tienen en común un extremo, 
entonces el punto de 
intersección de la mediatriz de 
cada segmento equidistan de los 
extremos de ambos segmentos. 
 
A) VFV B) FFV C) FVF 
D) FFF E) VFF 
 
60. En un triángulo rectángulo isósceles 
ABC, recto en B, el punto P está en 
el interior tal que BP = PC y la 
medida del ángulo BPC es 150. 
Calcule la medida del ángulo PAB 
 
A) 10 B) 15 C) 22,5 
D) 30 E) 45 
 
POLÍGONOS 
 
61. Si la suma de medidas de los 
ángulos internos de un polígono 
regular es 1080, entonces la medida 
de un ángulo externo es 
 
A) 30 B) 36 C) 40 
D) 45 E) 60 
 
62. Si en un polígono regular la medida 
del ángulo interno es igual a cinco 
veces la medida del ángulo central, 
entonces el número total de 
diagonales del polígono es 
 
A) 14 B) 17 C) 20 
D) 35 E) 54 
 
63. En un polígono convexo desde tres 
vértices consecutivos se han 
trazado 20 diagonales. ¿Cuál es el 
número de vértices del polígono? 
 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 12 E) 14 
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- 9 - 
64. En un trapecio isósceles, al unir los 
puntos medios de sus cuatro lados 
en forma consecutiva se determina 
un polígono …. 
 
A) regular 
B) no convexo 
C) equilátero 
D) equiángulo 
E) de cuatro diagonales 
 
65. En la figura el polígono ABCDE … 
es equiángulo, calcule el número de 
lados 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 28 B) 30 C) 32 
D) 36 E) 40 
 
66. En un hexágono equiángulo 
convexo ABCDEF, la mediatriz de 
EF interseca a BC en el punto M. Si 
la diferencia entre las longitudes de 
AB y CD es 4 u, entonces la 
diferencia (en u) entre las longitudes 
de MC y BM es 
 
A) 1 B) 2 C) 4 
D) 6 E) 8 
 
67. Indique el valor de verdad de cada 
una de las siguientes proposiciones: 
 
I. En todo polígono convexo las 
diagonales están contenidas en 
el interior del polígono. 
II. Si una recta determina dos 
puntos de intersección con un 
polígono, entonces el polígono 
es convexo. 
III. El número de diagonales del 
polígono cuyo número de lados 
es numéricamente igual a la 
diferencia del número de 
diagonales del pentágono y 
cuadrilátero es cero. 
 
A) VVV B) FFF C) FFV 
D) VFF E) VVF 
 
68. Se tiene el pentadecágono regular 
ABCDEFG…… y el polígono regular 
QRDST …… tal que Q y R estan en 
el interior del pentadecágono regular 
y C – D – S. Si la medida del ángulo 
QDG es 102, entonces el número de 
diagonales del polígono QRDST…. 
es 
 
A) 35 B) 54 C) 90 
D) 135 E) 170 
 
69. Si el número de diagonales de dos 
polígonos regulares se diferencian 
en 4, entonces la diferencia entre las 
medidas de sus ángulos centrales 
es 
 
A) 18 B) 15 C) 12 
D) 10 E) 6 
 
70. En el interior de un pentágono 
regular ABCDE se ubica el punto M. 
Si AB = MC y la medida del ángulo 
BMC es66, entonces la medida del 
ángulo MEA es 
 
A) 30 B) 36 C) 40 
D) 42 E) 45 
 
71. Indique el valor de verdad de cada 
una de las siguientes proposiciones: 
 
I. Algún polígono convexo es un 
conjunto convexo. 
II. El heptágono convexo tiene un 
número de diagonales igual al 
doble del número de lados. 
III. Un polígono no puede tener dos 
lados colineales. 
IV. Los ángulos externos y centrales 
de un polígono regular son 
iguales. 
 
A) FVFV B) FVFF C) VVFF 
D) FFVV E) FVVF 
A 
B C 
D 
150 
P 
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- 10 - 
72. En un polígono convexo de n lados 
se trazan desde (n - 7) vértices 
consecutivos (10n - 3) diagonales. 
Calcule el número de diagonales 
medias de dicho polígono. 
 
A) 210 B) 231 C) 253 
D) 276 E) 300 
 
73. En un eneágono no convexo 
equiángulo ABCDEFGHI donde las 
medidas de los ángulos I, C y F se 
consideran exteriores al polígono, 
AB = DE = HG = 2(AI) y los demás 
lados son congruentes con AI̅̅̅ . 
Calcule la medida del mayor ángulo 
determinado por las bisectrices de 
los ángulos A y E al intersecarse. 
 
A) 110 B) 115 C) 120 
D) 135 E) 150 
 
74. En el hexágono regular ABCDEF, 
(CF)2 = (5 - 2√3) u2. Se construyen 
exteriormente el cuadrado DMNE y 
el triángulo equilátero AFP 
entonces, en u, NP es 
 
A) 2 3 B) 13 C) 14 
D) 5 E) 4 
 
75. El lado del hexágono regular 
ABCDEF mide R. En la región 
interior del polígono se construye el 
cuadrado BCGH. Calcule la longitud 
de HF en términos de R. 
 
A) 2R 3 – R B) 3R 3 – 2R 
C) R 3 – R D) 2R – R 3 
E) 3R – R 3 
 
CUADRILÁTEROS 
 
76. Sea ABCD un trapecio con 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
tal que AB = AC = AD y m∠BCD = 
105. La medida del ángulo DBC es 
 
A) 30 B) 45 C) 60 
D) 75 E) 90 
77. Sea ABCD un trapecio isósceles con 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y DA = AB = BC = 1 y DC = 
2. Dividir la figura en 3 piezas de 
modo que se pueda armar con ellas, 
sin superposiciones ni agujeros, un 
triángulo equilátero. ¿Cuánto mide 
el lado del triángulo equilátero? 
 
A) 3 B) 
1
1
2
 C) 
1
1
3
 
D) 
2
1
3
 E) 
5
2
 
 
78. Sea ABC un triángulo con AB = c y 
AC > AB. La paralela al lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ por 
B interseca a la bisectriz exterior de 
BAC en D. La paralela al lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
por C interseca a dicha bisectriz 
exterior de BAC en E. La mediatriz 
del segmento DE interseca al lado 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ en F. La longitud de es. 
 
A) 0.75 c B) c C) 1.25c 
D) 1.5 c E) 1.75 c 
 
79. En un rombo ABCD se construye 
exteriormente el cuadrado CDEF. 
De modo que DB = EF. Se traza 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ 
cuya medida es 18 u. La longitud del 
segmento que une los centros del 
cuadrado y del rombo es. 
 
A) 7.5 B) 8 C) 8.5 
D) 9 E) 9.5 
 
80. Indique el valor de verdad de cada 
una de las siguientes proposiciones: 
 
I. Algún trapezoide tiene tres lados 
congruentes. 
II. Las diagonales de un 
cuadrilátero son segmentos 
secantes. 
III. Las diagonales de un trapezoide 
simétrico son congruentes y 
perpendiculares. 
 
A) VVV B) FVV C) VVF 
D) FFV E) VFF 
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- 11 - 
81. ABCD y ABCQ son dos trapecios, 
cuyas bases menores son BC̅̅ ̅̅ y CQ̅̅ ̅̅ ̅ 
respectivamente. Si el triángulo 
BQC es equilátero y el ángulo BAQ 
mide α, entonces la medida del 
ángulo QAD es 
 
A) 30 +  B) 45 +  C) 60 -  
D) 75 -  E) 90 -  
 
82. En el trapecio ABCD, la base menor 
es BC̅̅ ̅̅ , Q es un punto exterior tal que 
Q-C-D y M es punto medio de AB̅̅ ̅̅ . Si 
mMCQ = 90 y mMQD = mADC, 
entonces la razón entre QC y CD es 
 
A) 
2
2
 B) 
1
2
 C) 
1
3
 
D) 
2
3
 E) 
2
3
 
 
83. ABCD es un rectángulo cuyo lado 
menor AB̅̅ ̅̅ mide n, la bisectriz del 
ángulo BAC interseca a BC̅̅̅̅ en S y 
en ella se ubica F de modo que FD̅̅̅̅ y 
AC̅̅̅̅ sean perpendiculares. Si la 
distancia de A a FD̅̅̅̅ es m, entonces 
la distancia de S a FD̅̅̅̅ es 
 
A) 2n – m B) 3n – 2m C) m – n 
D) 
m n
2
−
 E) 
m n
2
−
 
 
84. En un paralelogramo ABCD, P ∈ AD̅̅ ̅̅ , 
Q punto medio de CD̅̅ ̅̅̅, R ∈ BC̅̅̅̅ y S es 
la intersección de las diagonales. Si 
PQRS es un paralelogramo, AP= 
11 u y DP = 7 u, entonces la longitud 
( en u) de RC̅̅ ̅̅̅ es 
 
A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 
D) 2,5 E) 3,5 
 
85. En un trapezoide ABCD, 4AB=3BC, 
3AD= 5AB+3CD y m ∠BAD = 53. 
Calcule m∠BCD. 
 
A) 127 B) 120 C) 115 
D) 143 E) 137 
 
86. En la región exterior y relativa a BC̅̅ ̅̅ 
de un paralelogramo ABCD, se 
ubica el punto E, de modo que 
m∠ AEC= 90; m∠EAD=2m∠BAE; 
BC̅̅ ̅̅ ∩ AE̅̅ ̅̅ = {P} , BC̅̅ ̅̅ ∩ ED̅̅ ̅̅ = {M} ; 
BP̅̅ ̅̅ =PM̅̅ ̅̅ ̅=MC̅̅ ̅̅ ̅ y MD̅̅ ̅̅ ̅=2EM̅̅ ̅̅ ̅ . Calcular 
m∠BAE 
 
A) 80 B) 50 C) 40 
D) 30 E) 28 
 
87. En un trapecio rectángulo ABCD, 
AB̅̅ ̅̅ es la altura y M es punto medio 
de CD̅̅ ̅̅̅ . Se prolonga BA̅̅ ̅̅ hasta el 
punto P, tal que las distancias de P 
y B a MA⃡⃗ ⃗⃗⃗⃗ sumen 24 u. Si m BPM= 
m MAD, entonces la longitud (en u) 
de MP̅̅ ̅̅ ̅ es 
 
A) 24 B) 12 C) 18 
D) 20 E) 26 
 
88. Indique el valor de verdad de las 
siguiente proposiciones 
I. Todo trapecio de diagonales 
congruentes es un trapecio 
isósceles 
II. En un trapezoide simétrico una 
diagonal está contenida en la 
mediatriz de la otra diagonal. 
III. Si las diagonales de un 
cuadrilátero se bisecan, el 
cuadrilátero es un rectángulo 
 
A) VFV B) FFV C) FVF 
D) VVF E) VVV 
 
89. Se tiene un paralelogramo ABCD 
(AB<AD). En AD̅̅ ̅̅ se ubica el punto 
H, tal que BH̅̅ ̅̅ ∩ AC̅̅ ̅̅ = {E}. Calcule 
EC (en m), si m∢BAC=2m∢CAD, AB 
= 12m BE̅̅ ̅̅ ⊥ BC̅̅ ̅̅ . 
 
A) 27 B) 20 C) 24 
D) 43 E) 37 
 
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- 12 - 
90. Exteriormente al triángulo ABC se 
construye los cuadrados ABMN y 
BCEF Si O y Q son los centros de 
los cuadrados, Demuestre que 
OQ = 
MC
2
2 = 
AF
2
2
. 
 
CIRCUNFERENCIA 
 
91. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
 
I. “Una circunferencia se designa 
por la letra del centro. Así 
diremos: circunferencia O”. 
II. En una circunferencia, “La 
palabra radio usamos aquí para 
significar tanto un segmento 
como la longitud de este”. 
III. “Toda recta perpendicular a un 
radio en su extremo exterior, es 
tangente a la circunferencia”. Este 
enunciado es un teorema. 
 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) VFF E) FVV 
 
92. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
 
I. En una circunferencia O y radios 
OA y OB, donde AO 
aproximadamente es 57(AC). Se 
puede afirmar como cierto que la 
medida del ángulo AOB es 1. 
II. En una circunferencia O, si el 
diámetro AB pasa por el punto 
medio de la cuerda CD, entonces 
AB̅̅ ̅̅ es perpendicular a CD̅̅̅̅ . 
III. “El interior de una circunferencia 
es el conjunto de puntos del plano 
cuya distancia al centro es menor 
que el radio”. 
 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) VFF E) FVV 
 
93. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
I. Si las circunferencias O, O1 y O2 de 
radios respectivos r, r1 y r2 , son 
tangentes exteriores O1 y O2 , y 
además ellas son tangentes 
interiores con O, entonces es cierto 
que: r > r1 + r2 
II. Si los rayos paralelos AB y CD están 
en sentidos opuestos, y se ubica el 
punto E en 𝐀𝐂̅̅ ̅̅ , entonces los radios 
de las circunferencias tangentes 
exteriores en E que son tangentes 
a dichos rayos en A y C son 
proporcionales a AE y CE 
III. Si las circunferencias O, O1 y O2 de 
radios respectivos r, r1 y r2 , son 
exteriores O1 y O2, y además ellas 
son tangentes interiores con O, 
entonces es cierto que: r > 2(r1 + 
r2) 
 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) VFF E) FVV 
 
94. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
 
I. El radio de la circunferencia 
exinscrita relativa a la hipotenusa 
de un triangulo rectángulo, es igual 
al semiperímetro de dicho 
triangulo. 
II. La suma de los exradios de las 
circunferencias exinscritasrelativas a los catetos de un 
triangulo rectángulo, es igual a la 
longitud de la hipotenusa. 
III. El radio de la circunferencia 
exinscrita relativa a la hipotenusa 
de un triangulo rectángulo, es igual 
a la suma de los radios de las 
circunferencias exinscritas 
relativas a los catetos más el radio 
de la circunferencia inscrita. 
 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) VFF E) FVV 
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- 13 - 
95. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
 
I. Un cuadrilátero es 
circunscriptible, si tres bisectrices 
de sus ángulos interiores son 
concurrentes. 
II. Los lados de un cuadrilátero 
convexo exinscrito a una 
circunferencia, no son tangentes 
a dicha circunferencia. 
III. Si en un cuadrilátero la suma de 
los lados opuestos es igual a la 
suma de los otros dos, entonces 
el cuadrilátero es circuncriptible. 
 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) VFF E) FVV 
 
96. En la figura mostrada AD̅̅ ̅̅ ∥ MP̅̅ ̅̅ . Si 
AB = 3 cm, CD = 4 cm y LP = 5 cm, 
entonces la longitud(en cm) de MN̅̅ ̅̅̅ 
es 
 
A) 0,5 B) 1 C) 2 
D) 2,5 E) 3 
 
97. Las longitudes de los diámetros de 
dos circunferencias y la distancia 
entre sus centros están en la razón 
de 10, 6 y 7, respectivamente. Las 
circunferencias son: 
 
A) Tangentes interiores 
B) Exteriores 
C) Interiores 
D) Tangentes exteriores 
E) Secantes 
 
98. En un cuadrado ABCD, el punto Q 
es un punto de AD̅̅ ̅̅ y QC̅̅ ̅̅ es tangente 
en T a una circunferencia de 
diámetro DE̅̅ ̅̅ (E en QD̅̅ ̅̅ ). Si O es el 
centro de la circunferencia tangente 
a AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ y CQ̅̅̅̅ cuyo radio mide 3 m, 
entonces OT (en m) es 
A) 2 B) 3 C) 3 2 
D) 2 2 E) 2 3 
 
99. Los radios de dos circunferencias 
exteriores miden 2 cm y 5 cm y la 
longitud de la tangente común 
interior es 24 cm. Calcule la 
distancia (en cm) entre los centros 
de las circunferencias. 
 
A) 20 B) 22 C) 25 
D) 30 E) 35 
 
100. En un trapecio rectángulo ABCD (BC̅̅̅̅ 
∥ AD̅̅ ̅̅ ) circunscrito a una 
circunferencia, m∠ACD = 90. Si la 
suma de las longitudes de los radios 
de las circunferencias inscritas en 
los triángulos ABC y ACD es k, 
entonces la longitud de la base 
menor del trapecio es 
 
A) 
k
2
 B) 
3k
2
 C) k 
D) 
4k
3
 E) 2k 
 
101. En un trapecio isósceles ABCD, AB 
= CD = a, la mediana de trapecio 
miden k. Una recta secante 
intercepta a AB̅̅ ̅̅ y CD̅̅̅̅ en P y Q 
respectivamente, siendo los 
cuadriláteros APQD y PBCQ 
circunscriptibles. Calcule PQ. 
 
A) a – k B) a – 2k 
C) 3a – 2k D) 4a – k 
E) 2a – k 
 
102. En un cuadrilátero ABCD exinscrito 
a una circunferencia, BC̅̅̅̅ ⋂AD̅̅ ̅̅ = {P}, 
AB̅̅ ̅̅ ⋂DC̅̅ ̅̅ = {Q}. Si el perímetro del 
triángulo PAB es igual a 30 cm, 
entonces el perímetro(en cm) del 
triángulo DAQ es 
 
A) 15 B) 20 C) 24 
D) 30 E) 32 
 
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- 14 - 
103. La circunferencia inscrita en el 
cuadrilátero ABCD, es tangente al 
segmento AB en el punto E. Si 
mBAD = 90, BE + CD = a y BC + 
AD = b, entonces la longitud del 
radio de la circunferencia es 
 
A) 2b – a B) b – a C) b –2a 
D) 3b – a E) 5b – 2a 
 
104. En un cuadrilátero convexo ABCD, 
el rayo AC es la bisectriz del ángulo 
BAD. Si mCDA = 90 , mABC = 
135, BC = 5√2 cm y AB = 7 cm, 
entonces la longitud del radio (en 
cm) de la circunferencia inscrita en 
el triángulo ADC es 
 
A) 0,5 B) 0,8 C) 1 
D) 2 E) 2,5 
 
105. En un cuadrilátero convexo ABCD, 
en los lados BC̅̅̅̅ y AD̅̅ ̅̅ se ubican los 
puntos M y N respectivamente, tal 
que los cuadriláteros ABMN y 
MNDC son circunscriptibles a una 
circunferencia. Si AB + CD = 40cm 
y BC + AD = 60cm, entonces la 
longitud (en cm) del segmento MN 
es 
 
A) 8 B) 10 C) 12 
D) 14 E) 16 
 
El cuadrilátero ABCD, está 
circunscrito a una circunferencia. Si 
AB – BC = 8 cm, mADC = 90 y 
2CD=AD, entonces la longitud (en 
cm) del radio de la circunferencia 
inscrita al triángulo ADC es 
 
A) 2,8 B) 3,1 C) 3,5 
D) 10 – 2√3 E) 12 – 4√5 
 
 
 
ÁNGULOS EN CIRCUNFERENCIA Y 
CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLE 
 
106. Se tienen dos circunferencias C1 y 
C2 secantes en H y E. Se trazan las 
cuerdas EB en C1 y EC en C2 tal 
que EB  C2 = G, EC  C1 = F 
y B – H – C. GF interseca a C1 y C2 
en los puntos A y D 
respectivamente. Si BG  AH = 
Q, HD  FC = P y mBQH = 
88, entonces mFPD es 
 
A) 88 B) 90 C) 92 
D) 94 E) 96 
 
107. Dos circunferencias exteriores de 
diámetros AB y CD son tangentes 
exteriores a una circunferencia en 
los puntos B y C. Las rectas 
tangentes a las circunferencias en 
los puntos A y D se intersecan en P. 
Si mAPD = 84, entonces la medida 
del mayor ángulo exincrito 
determinado por el arco BC es 
 
A) 139 B) 131 C) 132 
D) 120 E) 140 
 
108. Sobre un mismo semiplano se 
ubican dos semicircunferencias C1 y 
C2, de diámetros AB y DB 
respectivamente, tal que A – D – B. 
En C1 se trazan las cuerdas EF y 
EB , tangente y secante a C2 en los 
puntos P y Q respectivamente. Si 
EQ = QP, mEF = 100, entonces la 
medida del menor ángulo formado 
por DQ y EF es 
 
A) 20 B) 40 C) 50 
D) 55 E) 65 
 
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- 15 - 
109. En una circunferencia de centro O 
se ubican los puntos A, P y B, tal que 
P está en el menor arco AB . La 
circunferencia C1 es tangente a OA
, OP y al arco AP en los puntos L, 
M y N respectivamente y la 
circunferencia C2 es tangente a OP
, OB y al arco PB en los puntos D, E 
y F respectivamente. Si mLNM = 
75 y mAOB = 100, entonces 
mDFE es 
 
A) 45 B) 50 C) 55 
D) 60 E) 65 
 
110. Dos circunferencias C1 y C2 son 
secantes en los puntos P y Q. Por Q 
se traza la recta L tangente a C2, tal 
que L  C1 = A, Q. La 
circunferencia C3 interseca a C1 en 
los puntos B y D y a C2 en los puntos 
M y C. Si P es un punto del interior 
de la circunferencia C3, B – C – Q, 
M – D – Q y mCPM = 2 (mCQ ) = 
120, entonces la medida del menor 
arco AQ es 
 
A) 120 B) 150 C) 160 
D) 180 E) 135 
 
111. Un cuadrilátero ABCD está inscrito 
en la circunferencia de centro O. Si 
la mABC = 110, entonces la 
mACO. 
 
A) 10 B) 15 C) 18 
D) 20 E) 25 
 
112. Dos circunferencias son tangentes 
exteriores en un punto D, siendo una 
mayor que la otra. La prolongación 
de la cuerda AB de la circunferencia 
mayor es tangente a la menor en el 
punto C. La prolongación de la 
cuerda AD interseca a la 
circunferencia menor en el punto E. 
Si medida del arco AB es 80, 
entonces la medida del arco CE es 
 
A) 130 B) 140 C) 145 
D) 150 E) 180 
 
113. Dos circunferencias son tangentes 
interiores en el punto P; la cuerda 
AC de la circunferencia mayor es 
tangente a la circunferencia menor 
en el punto B. Si la prolongación de 
PB interseca a la circunferencia 
mayor en Q, demuestre que los 
arcos AQ y QC son congruentes. 
 
114. Indique el valor de verdad para cada 
una de las proposiciones: 
I. Ningún paralelogramo es 
exinscriptible. 
II. Algún cuadrilátero de diagonales 
perpendiculares es 
exinscriptible. 
III. Todo trapecio isósceles es 
inscriptible. 
 
A) VVF B) VFV C) VVV 
D) FVV E) FFV 
 
115. Determine el valor de verdad para 
cada una de las proposiciones: 
 
I. Si todos los lados de un 
cuadrilátero son tangentes a una 
circunferencia, entonces el 
cuadrilátero está circunscrito a la 
circunferencia. 
II. En todo trapezoide simétrico se 
puede inscribir una 
circunferencia. 
III. En todo cuadrilátero exinscrito a 
una circunferencia, las 
diferencias de las longitudes de 
los lados opuestos son iguales. 
 
A) VVF B) VFV C) VVV 
D) FVV E) FFV 
 
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- 16 - 
116. Un cuadrilátero ABCD, está inscrito 
en una circunferencia. Se traza la 
cuerdaMN tal que M y N son 
puntos medios de los arcos AB y 
BC respectivamente. Si mABC – 
mADC = 40, entonces la medida 
del menor ángulo formado por MN y 
BC es 
 
A) 10 B) 15 C) 20 
D) 25 E) 35 
 
117. En una semicircunferencia de 
diámetro AC , por E punto medio del 
arco AC , se traza EF // AC ; AF 
interseca a la semicircunferencia en 
B. Si O es el centro de la 
semicircunferencia y OE interseca 
a BC en D, entonces la mEDF es 
 
A) 18 B) 25 C) 30 
D) 37 E) 45 
 
118. En un triángulo acutángulo ABC; se 
trazan las alturas AF y CE las 
cuales se intersecan en L. Si la 
mBAC - mACB = 20 y BM es 
perpendicular a EF (M  EF ), 
entonces mLBM es 
 
A) 15 B) 20 C) 30 
D) 40 E) 45 
 
119. En un triángulo PQR se traza la 
altura QH luego HA y HB 
perpendiculares a PQ y QR (A 
PQ , BQR ) respectivamente. Si la 
mQPB = 34, entonces la mARB 
es 
 
A) 15 B) 17 C) 34 
D) 37 E) 45 
 
120. En un triángulo ABC, D es un punto 
de la altura BH (H  AC ). Si 
mBAC = 30, mBCA = 50 y 
mDAH = 10, entonces mACD es 
 
A) 5 B) 10 C) 15 
D) 20 E) 30 
 
PROPORCIONALIDAD 
 
121. En un paralelogramo ABCD, E es el 
punto medio de AD̅̅ ̅̅ , el punto H 
pertenece a la prolongación de DC̅̅ ̅̅̅, 
HE̅̅ ̅̅ intercepta a BD̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ en los 
puntos F y G. Si FG = 5 u y EF = 3 
u, entonces la longitud (en u) de GH̅̅ ̅̅ ̅ 
es 
 
A) 2,5 B) 3,5 C) 4 
D) 1,5 E) 3 
 
122. En un hexágono regular ABCDEF, el 
punto R pertenece a la prolongación 
de DC̅̅ ̅̅̅, RF̅̅ ̅̅ intercepta a BE̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ en 
los puntos P y Q respectivamente. Si 
3(PQ) = 2(RQ) y PE = 8 u, entonces 
la longitud (en u) de BP̅̅ ̅̅ es 
 
A) 2,8 B) 3,2 C) 2,4 
D) 3,6 E) 2,6 
 
123. Dos circunferencias son tangentes 
interiores en el punto A, en la 
circunferencia mayor se trazan las 
cuerdas AC̅̅ ̅̅ y AE̅̅ ̅̅ , las cuales 
interceptan a la circunferencia 
menor en los puntos B y D, en la 
prolongación de AC̅̅ ̅̅ se ubica el 
punto F, tal que FE̅̅ ̅̅ y CD̅̅ ̅̅̅ son 
paralelos. Si AB = 5 u y BC = 3 u, 
entonces la longitud (en u) de CF̅̅ ̅̅ es 
 
A) 2,8 B) 3,5 C) 4,8 
D) 3,6 E) 3,2 
 
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- 17 - 
124. En un trapecio ABCD, de bases BC̅̅ ̅̅ 
y AD̅̅ ̅̅ , E es el punto de intersección 
de las diagonales, los puntos F y G 
pertenecen a AD̅̅ ̅̅ , tal que EF̅̅ ̅̅ y EG̅̅ ̅̅̅ 
son paralelos a AB̅̅ ̅̅ y CD̅̅ ̅̅̅ 
respectivamente. Si AF = 4 u, 
entonces la longitud (en u) de GD̅̅ ̅̅ ̅ es 
 
A) 1,2 B) 2 C) 3,6 
D) 4 E) 4,8 
 
125. En una circunferencia se ubican los 
puntos A, B y C tal que el ángulo 
ABC es obtuso y AB < BC. Por los 
puntos A, B y C se trazan las rectas 
tangentes L1, L2 y L3 tal que L1 y L3 
intersecan a L2 en los puntos D y E, 
y L2 interseca a la prolongación de 
CA̅̅ ̅̅ en el punto F. Si AD = 3 u y CE 
= 7 u, entonces la longitud (en u) de 
FD̅̅ ̅̅ es 
 
A) 6 B) 7,5 C) 7,2 
D) 7,6 E) 6,8 
 
126. Por el punto de intersección de las 
bisectrices interiores de un triángulo 
ABC, se trazan dos rectas paralelas 
a los lados AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ . Dichas 
paralelas interceptan al lado AC̅̅̅̅ en 
los puntos M y N respectivamente. 
Si AB = 10 cm, BC = 14 cm y AC = 
12 cm, entonces la longitud (en cm) 
de MN̅̅ ̅̅̅ es 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
127. En un triángulo ABC de perímetro 
igual a 25 u, se traza la bisectriz 
interior AD̅̅ ̅̅ . Si AD=10 u y BC=5 u. 
Calcule la distancia (en u) desde el 
vértice A hacia el punto de 
intersección de las bisectrices 
interiores del triángulo ABC. 
 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
128. Un triángulo ABC está circunscrito a 
una circunferencia de centro I, P es 
el punto de tangencia con el lado 
BC̅̅̅̅ ; Q pertenece al lado BC̅̅̅̅ , de tal 
manera que AQ̅̅ ̅̅ es bisectriz del 
ángulo BAC. Si AB = 15 u, BC = 14 
u y AC = 13 u, entonces la longitud 
(en u) de PQ̅̅̅̅ es 
 
A) 
1
6
 B) 
1
5
 C) 
1
4
 
D) 
1
3
 E) 
1
2
 
 
129. Por el incentro de un triángulo ABC, 
se traza la recta que interseca a AB̅̅ ̅̅ 
en M y a AC̅̅̅̅ en N, tal que AC = 4CN, 
AB = 7 u, BC = 5 u y AC = 6 u, 
entonces la longitud de MB̅̅ ̅̅ es 
 
A) 2 B) 2,15 C) 2,30 
D) 2,75 E) 3 
 
130. En un triángulo ABC, AB > BC, AB = 
m y BC = n. Por el vértice B se traza 
la bisectriz exterior BM̅̅ ̅̅ , siendo M el 
punto de intersección con la 
prolongación de AC⃗⃗⃗⃗ ⃗. Por el punto M 
se traza una paralela MN̅̅ ̅̅̅ a BC̅̅̅̅ , 
siendo N el punto de intersección 
con la prolongación de AB⃗⃗⃗⃗ ⃗. ¿Cuál es 
la longitud de MN̅̅ ̅̅̅?. 
 
A) 
2mn
m n+
 B) 
mn
m n+
 
C) 
( )
2mn
3 m n−
 D) 
mn
m n−
 
E) 
2mn
m n−
 
 
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- 18 - 
131. En los lados AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ de un 
triángulo ABC, se ubican los puntos 
Q y R respectivamente, en el lado 
AC̅̅ ̅̅ se ubican los puntos P y S, tal 
que PQRS es un rectángulo. AR̅̅ ̅̅  
QP̅̅ ̅̅̅ = {N} y BN⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗  AP̅̅ ̅̅ = {M} . Si 
mBQR = mRQC y AM = k, 
entonces la longitud de MP̅̅ ̅̅ ̅ es 
 
A) k B) 
k
2
 C) 
k
3
 
D) 
k
4
 E) 
k
5
 
 
132. La circunferencia C1, está inscrita en 
el triángulo ABC y es tangente a los 
lados AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅ ̅̅ y AC̅̅ ̅̅ en los puntos T, 
P y M respectivamente; la 
circunferencia C2 es tangente a C1 
en T y a la prolongación de CA̅̅ ̅̅ en el 
punto N. Las prolongaciones de PT̅̅ ̅̅ 
y CN̅̅ ̅̅̅ se intersecan en Q. Si NM = 4 
u y MC = 3 u, entonces la longitud 
(en u) de QN̅̅ ̅̅ ̅ es 
 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 16 
 
133. Las circunferencias C1 y C2 son 
tangentes exteriores en el punto T; 
AB̅̅ ̅̅ es tangente común exterior (A  
C1 y B  C2), la prolongación de AT̅̅ ̅̅ 
interseca a C2 en E. Por E se traza 
la tangente a C2 que interseca a C1 
en P y Q, tal que E – P – Q. QB̅̅ ̅̅̅ 
interseca al diámetro AD̅̅ ̅̅ y a AP̅̅ ̅̅ en 
los puntos M y N respectivamente. 
Si QM = a y MN = b, entonces la 
longitud de NB̅̅ ̅̅ es 
 
A) 
( )b a b
a b
−
+
 B) 
( )b a b
a b
+
−
 
C) 
( )a a b
a b
−
+
 D) 
( )b 1 b
a b
+
−
 
E) 
( )b a 1
a b
+
−
 
134. En el lado BC̅̅ ̅̅ y en la prolongación 
del lado AD̅̅ ̅̅ del rectángulo ABCD, se 
ubican los puntos P y Q 
respectivamente, tal que APQ es un 
triángulo equilátero; PQ̅̅ ̅̅̅  CD̅̅ ̅̅̅ = 
{N}, AN̅̅ ̅̅  PD̅̅ ̅̅ = {T} y QT⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗  AP̅̅ ̅̅ = 
{M}. Si la razón de BP y PC es k, 
entonces la razón de AM y MP es 
 
A) k + 1 B) 
k
1
2
+ C) 
k
1
3
+ 
D) 
k
2
4
+ E) 
k
5
 
 
135. Las circunferencias C1 y C2 son 
tangentes interiores en T (C1 > C2), 
las circunferencias C1 y C3 son 
tangentes exteriores en T; la recta 
MN es tangente común exterior de 
C2 y C3 en M y N respectivamente y 
secante a C1 en los puntos A y B, tal 
que M-B-N. Si 
k
AB
 = 
1
AM
 + 
1
AN
, 
entonces el valor de k es 
 
A) 0,5 B) 1 C) 1,5 
D) 2 E) 2,5 
 
136. En un triángulo ABC, de incentro I, 
la prolongación de BI̅ interseca al 
lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ en el punto M, en AM̅̅̅̅̅ se 
ubica el punto N tal que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ // 𝑁𝐼̅̅̅̅ . Si 
AB = 5 cm, BC = 7cm y AC = 6 cm, 
entonces la longitud (en cm) del 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅ 
es. 
 
A) 
5
2
 B) 
5
3
 C) 
5
4
 
D) 
5
6
 E) 
5
7
 
 
 
137. En un triángulo ABC, la 
circunferencia inscrita es tangente a 
los lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ en los puntos 
E, F y T tal que, las prolongaciones 
de 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ se intersecan en el 
punto H. Si AT = 3 u y TC = 2 u, 
entonces la longitud (en u) del 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ 
es. 
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- 19 - 
A) 10 B) 12 C) 14 
D) 15 E) 18 
 
138. En un triángulo, al trazar tres 
cevianas concurrentes, demostrar 
que la razón de los segmentos que 
determinan las intersecciones en 
una ceviana es igual a la suma de 
las razones de los segmentos 
determinados en cada lado 
adyacentes a la ceviana. 
 
139. En un triángulo ABC,E es el 
excentro y 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ es una bisectriz 
exterior, siendo F un punto que 
pertenece a 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ , demostrar 
BE
EF
=
 
AB – BC 
AC
. 
 
140. En un triángulo acutángulo ABC, se 
trazan la altura 𝐵𝐻 ̅̅ ̅̅ ̅ y las cevianas 
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ y 𝐶𝑁̅̅ ̅̅ concurrentes en F. Calcule 
la razón de las medidas de los 
ángulos BHN y BHM. 
 
A) 1:4 B) 1:3 C) 1:2 
D) 1 E) 2:3 
 
141. Se tiene el paralelogramo ABCD, se 
traza la recta AR, donde R está en la 
porlongación de DC̅̅̅̅ , AR⃡⃗⃗⃗ ⃗ interseca a 
BD̅̅ ̅̅ y a BC̅̅̅̅ en P y Q 
respectivamente. Halle AP 
 
A) √(PQ)(PR) B) √2(PQ)(PR) 
C) √3(PQ)(PR) D) 2√(PQ)(PR) 
E) √5(PQ)(PR) 
 
142. En una circunferencia O está inscrita 
el cuadrado ABCD, en el arco AB se 
ubica el punto P, las cuerdas PD y 
PC intersecan a la cuerda AB en los 
puntos Q y R respectivamente, si 
AQ = a y QR = b. Halle RB. 
 
A) 
a b
a
a b
+ 
 
− 
 B) 
a b
b
a b
− 
 
+ 
 
C) 
ab
a b+
 D) 
2a b
a
a b
+ 
 
− 
 
E) 
2a b
b
a b
− 
 
+ 
 
 
143. Se tiene el triángulo ABC, en las 
prolongaciones de los lados AB,CB 
y AC se ubican los puntos 
respectivos Q, P y R, de manera que 
P-Q-R es una hilera si (AR)(BQ) = 
k(AQ)(BP) Halle 
RC
CP
 
 
A) k B) 2k C) 3k 
D) 4k E) 5k + 1 
 
144. Se tiene el triangulo ABC donde AB 
= BC, se prolonga AC hasta P, 
AC=CP,en la hilera A-E-F-B, AE = 
2(EF) = 2 (FB), el lado BC interseca 
en los puntos respectivos Q y R a las 
cevianas PF y PE. Halle QR. 
 
A) ( )
2
AB
13
 B) ( )
3
AB
14
 
C) ( )
4
AB
15
 D) ( )
5
AB
16
 
E) ( )
6
AB
17
 
 
145. Se tiene el triángulo ABC, se trazan 
las cevianas AD, BE y CF 
concurrentes en P, si 3(AD) = 4(AP), 
BE = 2(BP). Halle 
CP
CF
 
 
A) 
1
6
 B) 
2
5
 C) 
3
4
 
D) 
4
5
 E) 
5
6
 
 
 
 
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- 20 - 
SEMEJANZA 
 
146. Se tiene una semicircunferencia O 
de diámetro AB de longitud 2R, en el 
arco AB se ubican los puntos C y D, 
y el diámetro se ubica el punto E, si 
CE = a , DE = b y a + b es mínimo. 
Halle EO 
 
A) √R2 − ab B) √R2 + ab 
C) √R2 − 2ab D) √R2 + 2ab 
E) √2R2 − ab 
 
147. Se tiene el pentágono convexo 
ABCDE, donde B, D y E están en 
una circunferencia de manera que 
los lados CD y AE son tangentes a 
la circunferencia en D y E, los 
ángulos A y C son rectos, si AB = a, 
BC = b. Halle la distancia de B al 
lado DE. 
 
A) √ab B) √2ab C) √3ab 
D) 2√ab E) √5ab 
 
148. Se tiene el cuadrilátero ABCD 
inscrito en una semicircunferencia 
de diámetro AB, se traza la 
perpendicular BQ a DA̅̅ ̅̅ e interseca a 
CA̅̅̅̅ en P, si AP = a, CP = b. Halle AB 
 
𝐴) √a(a + b) B) √2ab C) √3ab 
D) √b(a + b) E) √2b(a + b) 
 
149. Se tiene el trapecio ABCD donde AD̅̅ ̅̅ 
es la altura, se traza una 
circunferencia que pasa por B y C, y 
es tangente al lado AD en E, si AB = 
a, CD = b. Halle la distancia de E al 
lado BC 
 
A) √ab B) √2ab C) √3ab 
D) 2√ab E) √5ab 
 
 
150. Se tiene el pentágono ABCDE, los 
ángulos AEB y DBC son rectos, AE 
= EB y BC = BD, P y Q son puntos 
medios de AB̅̅ ̅̅ y CD̅̅̅̅ 
respectivamente. Halle la medida 
del angulo entre PQ⃡⃗ ⃗⃗ y CE⃡⃗⃗⃗ 
 
A) 30 B) 45 C) 60 
D) 75 E) 90 
 
151. En el triángulo ABC recto en B 
donde BC/AB = 2,4. Se traza la 
altura BH̅̅ ̅̅ y se ubican los puntos 
medios E y F de BH̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅ 
respectivamente tal que AE = 8m 
entonces AF (en m) es 
 
A) 13 B) 16,4 C) 18,2 
D) 20,8 E) 24 
 
152. En el triángulo equilátero ABC, se 
ubica en BC̅̅̅̅ el punto D tal que 
BD>DC y se construye 
exteriormente el triángulo equilátero 
BDE. Calcule (en m) la medida del 
segmento que une los puntos 
medios de AC̅̅̅̅ y DE̅̅ ̅̅ si AD = 12m. 
 
A) 6 B) 4 2 C) 4 3 
D) 6 2 E) 6 3 
 
153. En el cuadrilátero ABCD las 
diagonales se intersecan en P tal 
que AB = 7m, BC = 3m, CD = 27m, 
AD = 21m y AC = 9m. Calcule 
BP/PD. 
 
A) 
1
9
 B) 
1
8
 C) 
1
6
 
D) 
1
5
 E) 
1
4
 
 
 
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- 21 - 
154. Se tienen dos circunferencias 
tangentes interiores en T, se trazan: 
la cuerda AB̅̅ ̅̅ que interseca a la 
circunferencia menor en C y D (A-C-
D) y las perpendiculares AE̅̅̅̅ , CF̅̅̅̅ , 
DP̅̅ ̅̅ y BQ̅̅ ̅̅ a la tangente trazada por T 
tal que AE.BQ = 72m2 y CF = 9m 
entonces DP (en m) es 
 
A) 6 B) 8 C) 9 
D) 12 E) 15 
 
155. En el triángulo ABC circunscrito a 
una circunferencia cuyo radio mide 
14m, se ubican los puntos: Q, M, N, 
E, F y P de la siguiente forma A-Q-
M-B, B-N-E-C y C-F-P-A, además 
MN̅̅ ̅̅̅ // AC̅̅̅̅ , EF̅̅̅̅ // AB̅̅ ̅̅ y PQ̅̅ ̅̅ // BC̅̅̅̅ . Si los 
inradios de los triángulos MBN y 
EFC miden 5m y 7m, el inradio del 
triángulo AQP (en m) es 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
PUNTOS NOTABLES 
 
156. En un triángulo ABC , E se el 
excentro relativo a BC , AE ⋂ BC = 
{R}, si m∠BEA = 28, m∠AEC = 34, 
calcular la m∠ARC 
 
A) 75 B) 82 C) 90 
D) 96 E) 112 
 
157. En un triangulo ABC en el interior se 
ubica el punto P tal que m∠PBC= 
m∠PAC= 33, m∠BAP= ∝ y m∠ PBA 
= 57 – ∝, entonces el punto P es : 
 
A) Baricentro B) Incentro 
C) Ortocentro D) Circuncentro 
E) Punto notable 
 
158. En un triángulo ABC , m∠BCA = 30 
y BC = 18 u, hallar la distancia del 
baricentro al lado AC ( en u ) 
 
A) 3 B) 4 C) 6 
D) 8 E) 9 
159. En un triángulo acutángulo ABC la 
m∠ABC = 60 y AC = 12 √3 u, hallar 
la longitud de la altura BH, si la 
Recta de Euler es paralela a AC 
 
A) 10 B) 12 C) 16 
D) 18 E) 21 
 
160. En un triángulo ABC recto en B, AC 
= 6 √2.u Calcule las distancias entre 
entre los excentros relativos a los 
catetos (en u) 
 
A) 12 B) 15 C) 18 
D) 20 E) 21 
 
161. Indicar el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
 
I. En todo triángulo la distancia de 
un vertice al punto medio de su 
lado opuesto es tres veces la 
distancia del baricentro a dicho 
punto medio. 
II. El ortocentro es interior al 
triángulo. 
III. El circuncentro puede ser 
exterior a un triángulo. 
IV. El segmento que une dos 
excentros es perpendicular al 
segmento que une el incentro 
con el tercer excentro. 
 
A) VVVV B) FFVV C) VVFF 
D) FVVF E) VFVV 
 
162. En un triángulo ABC de incentro I, se 
traza la ceviana BE tal que la 
prolongación de AI interseca a BE 
en el punto D. Si BD = DE y 
m EIC = 20, entonces la medida 
del ángulo EBC es 
 
A) 15 B) 20 C) 30 
D) 37 E) 40 
 
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- 22 - 
163. En una semicircunferencia de 
diámetro AB , se traza desde un 
punto P exterior al arco AB, la recta 
tangente PC (C punto de 
tangencia), luego se traza CH 
perpendicular a AB (A-H-B). Si 
AP AC y HB =  u . Calcule la 
distancia (en u) del ortocentro del 
triángulo APC a PC . 
 
A) 
3
 B) 
2
 C)  
D) 2 E) 3 
 
164. En un triángulo ABC, el punto G es 
el baricentro, tal que los ángulos 
AGC y ABC son suplementarios. Si 
AC =  u, entonces la longitud de 
BG es 
 
A)  2 B) 
2
2
 C) 
3
3
 
D)  E) 2 
 
165. En un triángulo ABC de circuncentro 
O y de excentros 1E y 2E relativos 
a los lados AB y BC 
respectivamente, se conoce que m
 ABC = 120, entonces la medida 
del ángulo 1E O 2E es 
 
A) 60 B) 75 C) 90 
D) 120 E) 150 
 
RECTA Y CIRCUNFERENCIA DE 
EULER 
 
166. En un triángulo ABC, mABC = 45, 
la altura BQ mide 12 u y la recta de 
Euler es paralela al lado AC, 
entonces calcule la longitud (en u) 
del radio de la circunferencia de 
Euler del triángulo ABC. 
 
A) 6 B) 2 2 C) 4 
D) 2 E) 3 
167. En un triángulo acutángulo ABC de 
ortocentro H . Si BH = AC = 16 u, 
entonces calcule la longitud (en u) 
del radio de la circunferencia de 
Euler del triángulo ABC. 
 
A) 8 B) 3 C) 4 
D) 8 3 E) 4 2 
 
168. El punto H es el ortocentro del 
triángulo acutángulo ABC. Los 
puntos M, P, L y T son puntos 
medios de loslados AB AC, BC y del 
segmento BH respectivamente. Si 
m  MTP = 78, entonces la medida 
del ángulo TLM es 
 
A) 18 B) 9 C) 12 
D) 24 E) 16 
 
169. En un triángulo acutángulo ABC de 
ortocentro H y altura BQ . Si BH + 
2(HQ) = 16 u, entonces la distancia 
(en u) del centro de la circunferencia 
de Euler del triángulo ABC hacia el 
lado AC es. 
 
A) 2 B) 3 C) 8 
D) 4 E) 5 
 
170. En un triángulo ABC recto en B, 
mACB = 15, la hipotenusa mide 8, 
entonces la distancia (en u) del 
vértice C hacia la recta de Euler es 
 
A) 6 B) 2 C) 4 
D) 2,5 E) 3 
 
171. Se tiene un triángulo acutángulo 
ABC de ortocentro H y circuncentro 
O, la prolongación de 𝐴H interseca a 
BC en el punto M, donde O es un 
punto del interior del triángulo AMC. 
Si m∠ABC = 2m∠OHM , halle la 
m∠AHC. 
 
A) 100 B) 110 C) 120 
D) 130 E) 140 
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- 23 - 
172. Un triángulo acutángulo ABC de 
ortocentro H , circuncentro O y radio 
R, en OB y AC se ubican los puntos 
Q y P respectivamente tal que Q-H-
P y QH=HP. Si la recta de Euler es 
paralela a AC y HO = R/2, halle la 
mayor suma de las medidas de los 
ángulos ABO y BAC. 
 
A) 90 B) 100 C) 105 
D) 120 E) 135 
 
173. La recta de Euler de un triángulo 
ABC es perpendicular a BC e 
interseca a la altura CQ en el punto 
L. Si LQ = √3u y CL = 2 u, halle la 
medida del ángulo BAC. 
 
A) 20 B) 30 C) 37 
D) 45 E) 60 
 
174. En un triángulo acutángulo ABC, E 
es el excentro relativo a AC . Si el 
radio de la circunferencia de Euler 
mide 2√2 u y AC = 8 u, halle la 
medida del AEC. 
 
A) 45,0 B) 60,0 C) 67,5 
D) 72,0 E) 75,0 
 
175. Se tiene un triángulo acutángulo 
ABC de ortocentro H, los puntos F, 
E y D son puntos medios de AH, AC 
y BC respectivamente. Si m∠DEC =
40, entonces la medida del ángulo 
FEA es 
 
A) 80 B) 70 C) 60 
D) 50 E) 40 
 
RELACIONES MÉTRICAS EN EL 
TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
 
176. Se tienen dos circunferencias 
congruentes y secantes, cuyos 
radios miden 9 u. Si el segmento que 
une los centros es congruente con el 
radio, entonces la longitud del radio 
(en u) de la circunferencia tangente 
a las dos circunferencias y a la recta 
tangente común exterior es 
 
A) 
9
16
 B) 
8
15
 C) 
7
16
 
D) 
8
17
 E) 
9
17
 
 
177. En un cuadrado ABCD, se construye 
interiormente una 
semicircunferencia con diámetro 
𝐴𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅y se ubica en ella el punto P. Se 
traza PQ̅̅̅̅ perpendicular a BC̅̅̅̅ . Si BQ 
= a y QC = b, entonces PQ es 
 
A) a + b - ab B) b ab− 
C) a ab+ D) ab 
E) a ab− 
 
178. En un triángulo ABC, se trazan las 
bisectrices interiores AD̅̅ ̅̅ y CE̅̅̅̅ . Se 
ubican los incentros I1 e I2 de los 
triángulos AEC y ADC. Si mABC = 
60, EI1 = a y DI2 = b, entonces la 
longitud de 𝐼1̅𝐼2̅ es 
 
A) ab B) 2 2a b+ C) 
ab
a b+
 
D) 
a b
2
+
 E) 2 ab 
 
179. En una semicircunferencia de centro 
O y diámetro AB̅̅ ̅̅ se ubica el punto P, 
la proyección de P sobre AB̅̅ ̅̅ es H 
.Se traza el trapecio rectángulo 
HPQT (H – B –T) de bases PH̅̅ ̅̅ y QT̅̅ ̅̅ , 
tal que P es punto de tangencia de 
QP⃗⃗⃗⃗ ⃗ con la semicircunferen-cia y 
m∠PQB = m∠BQT. Si PQ = a y QT 
= b, entonces la longitud de HT̅̅ ̅̅ es 
 
A) √(a − b)ab B) 2√(a + b)b 
C) 2√(a − b)b D) 2√(a − b)a 
E) √(a − b)b 
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- 24 - 
180. En un paralelogramo ABCD, el 
punto P pertenece a AB̅̅ ̅̅ , el punto Q 
pertence a AC ̅̅ ̅̅ , DQ̅̅ ̅̅ ̅ es 
perpendicular a AC̅̅̅̅ y APQD es un 
trapecio isósceles de bases AD̅̅ ̅̅ y 
PQ̅̅̅̅ . Si AB = a y AQ = b , entonces 
la longitud de PC̅̅̅̅ es 
 
A) 2 2a b− B) 2 2a b+ 
C) 2 22a b+ D) 2 22 a b+ 
E) 2 23 a b− 
 
181. En los lados AB y BC de un 
triángulo ABC, recto en B se ubican 
los puntos M y N respectivamente, la 
proyección de MN en AC es PQ. Si 
el cuadrilátero AMNC es inscriptible 
y PQ = 6 u, entonces el valor de 
1
(BM)
2 +
1
(BN)
2 es 
 
A) 
1
2
 B) 
1
4
 C) 
1
8
 
D) 
1
9
 E) 
1
18
 
 
182. En la prolongación del radio BO de 
un cuadrante COB, de dentro O se 
ubica el punto A, tal que la 
semicircunferencia de diámetro AB 
interseca a AC y OC en los puntos 
D y E respectivamente. Si 
mAD 30= y OE = 6 u, entonces la 
longitud (en u) de AC es 
 
A) 9 B) 10 C) 12 
D) 16 E) 18 
 
183. En un triángulo rectángulo BCD, 
recto en C, se traza la altura CE , en 
el triángulo BEC se traza la altura 
EM , en la prolongación de a altura 
MT del triángulo BEM se ubica el 
punto A. Si AB BC⊥ , AB = 4 u y DC 
= 9 u, entonces la longitud (en u) de 
BE es 
A) 3 B) 4 C) 6 
D) 7,5 E) 9 
 
184. En una circunferencia se trazan los 
radios perpendiculares OA y OB , 
en el menor arco AB se ubica el 
punto P, se traza el rectángulo 
PQMN tal que MQ es paralelo a 
OB y tangente a la 
semicircunferencia de diámetro OB 
y centro I en el punto T (A – N – M ). 
Si PQ = TQ = 1 u, entonces la 
longitud (en u) de NI es 
 
A) 5 B) 3 6 2+ 
C) 9 6 2+ D) 6 
E) 7 3 2+ 
 
185. En un triángulo rectángulo ABC, 
recto en B, se traza la altura BH , M 
y N son los puntos medio de AH y 
HC respectivamente, desde A se 
traza la tangente AT a la 
circunferencia de centro B y radio 
BM , y desde C se traza la tangente 
CQ a la circunferencia de centro B 
y radio BN (T y Q son puntos de 
tangencia). Si BH = 4 u y (AT)2 – 
(QC)2 = 45 u2, entonces la longitud 
(en u) de AC es 
 
A) 7,5 B) 9 C) 10 
D) 12 E) 15 
 
RELACIONES METRICAS EN 
TRIANGULOS OBLICUANGULOS 
 
186. En un trapezoide ABCD, AB = 4 u, 
BC = 5 u y mADC = 90. En el lado 
AD se ubica el punto E, tal que 
mDCE = mCAD. Se traza BH ⊥ 
AC (H  AC ). Si mCEH = 90, 
entonces la longitud (en u) de EC 
es 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
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- 25 - 
187. En un trapecio ABCD, en las bases 
AD y BC se ubican los puntos M y 
N respectivamente, tal que AM = MD 
y 3(NC) = 10(BN). Si AB = 15, BC = 
13 m, CD = 12 2 m y AD = 34 m, 
entonces la longitud (en m) MN es 
 
A) 12 B) 13 C) 14 
D) 15 E) 16 
 
188. En el interior del cuadrilátero 
convexo ABCD se ubica el punto E, 
tal que BCDE es un rectángulo. Si 
EC = 8 cm y (AB)2 + (BC)2 + (CD)2 + 
(AD)2 = 338 cm2, entonces la 
longitud (en cm) de segmento que 
tiene por extremos el vértice A y el 
centro del rectángulo es 
 
A) 15 B) 14 C) 13 
D) 12 E) 11 
 
189. En un triángulo ABC, se traza una 
circunferencia tangente en los 
puntos M y N al lado BC y a la 
bisectriz interior BN 
respectivamente (N  AC ). Si AB = 
3 u, MC = 5 u y (AN)(NC) = 11 u2, 
entonces la longitud (en u) de AC
es 
 
A) 
33
3
 B) 
2 33
3
 
C) 
4 33
3
 D) 
5 33
3
 
E) 
7 33
3
 
 
190. En un triángulo ABC, se traza la 
altura BH (H  AC ); por el incentro 
del triángulo BHC pasa la recta L, 
paralela al lado AC e interseca al 
lado BC en el punto M. Si AB = 17 
u, BC = 25 u y AC = 28 u, entonces 
la longitud (en u) de MC es 
 A) 
25
3
 B) 
26
3
 C) 
28
3
 
D) 
29
3
 E) 
31
3
 
 
191. Sean AB̅̅ ̅̅ y EF̅̅ ̅̅ los diámetros de dos 
circunferencias concéntricas C1 y 
C2, tales que A-E-F y E-F-B. En C1 y 
C2 se ubican los puntos P y Q 
respectivamente. Calcule la razón 
entre la suma de los cuadrados de 
EP y FP con AQ y QB. 
 
A) 
2
3
 B) 
1
1
2
 C) 
1
1
3
 
D) 1 E) 2 
 
192. Sea ABCD un trapecio con AB̅̅ ̅̅ // 
CD̅̅ ̅̅̅ tal que AB = AC = AD y m∠CAD 
= 90. Si (BD)² + (BC)² - (BD)(BC)√2 
= 4K², entonces la altura del trapecio 
mide 
 
A) K B) K√2 C) K√3 
D) 2K E) 3K 
 
193. En el triángulo acutángulo ABC, se 
traza la altura BH̅̅ ̅̅ y en ella se ubica 
el punto F tal que: m∠AFC = 90, AB 
= √2 (AF) y AC = K. Calcule la 
longitud de BC̅̅ ̅̅ . 
 
A) K/2 B) K C) K√2 
D) K√3 E) 2K 
 
194. En un triángulo, las longitudes de 
sus lados son tresnúmeros 
consecutivos. Si la medida del 
mayor ángulo es el doble de la 
medida del menor ángulo, entonces 
la medida del mayor ángulo es 
 
A) arc cos(0,125) 
B) arc cos(0,25) 
C) arc cos(0,20) 
D) arc cos(0,251) 
E) arc cos(0,105) 
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- 26 - 
195. En un cuadrilátero convexo ABCD, 
el ángulo ABC es recto y el 
segmento que une los puntos 
medios de AC̅̅ ̅̅ y BD̅̅ ̅̅ mide la mitad 
de la longitud de CD̅̅ ̅̅̅ . Calcule la 
razón entre AD y BD. 
 
A) 0,75 B) 1 C) 1,5 
D) 2 E) 2,5 
 
196. En un triángulo rectángulo ABC 
(recto en B), las proyecciones de la 
mediana BM sobre los catetos 
miden 18 u y 10 7 u. Hallar la 
longitud (en u) de la proyección de 
BM sobre la hipotenusa. 
 
A) 11,25 B) 11,5 C) 11,75 
D) 12 E) 12,25 
 
197. El triángulo ABC rectángulo (recto 
en B) tiene un ángulo agudo con 
medida de 53/2, siendo el cateto 
opuesto de 10 2 5+ u de longitud. 
Si CD es una bisectriz interior, 
calcule la longitud (en u). 
 
A) 2 5 B) 5 C) 5 3 
D) 3 5 E) 5 2 
 
198. En un trapecio ABCD ( AB // CD ), la 
suma de las longitudes de las bases 
es 18 m. Si AC2 + BD2 = 522 m2, 
halle la longitud del segmento que 
une los puntos medios de las bases. 
 
A) 9 B) 10 C) 11 
D) 12 E) 6 5 
 
199. Sea una semicircunferencia de 
diámetro AB y centro en O. Con 
centro en A y radio AO se traza un 
arco que interseca a la 
semicircunferencia en C. Si AB = 4 
u, halle el radio de la circunferencia 
inscrita en el triángulo mixtilíneo 
OBC. 
 
A) 
3
3
 B) 3 C) 2 
D) 
2
2
 E) 
3
2
 
 
200. Sean los puntos colineales A, B y C 
siendo AB = 8 u y BC = 4 u, se trazan 
las semicircunferencias de 
diámetros AB , BC y AC en el 
mismo semiplano con relación a la 
recta AC . Halle el radio de la 
circunferencia tangente a las tres 
semicircunferencias trazadas. 
 
A) 
10
7
 B) 
11
7
 C) 
12
7
 
D) 
14
7
 E) 
15
7
 
 
RELACIONES MÉTRICAS EN LA 
CIRCUNFERENCIA 
 
201. En un paralelogramo ABCD, de 
diagonales AC = 10 𝑢 y BD = 8 𝑢 
la circunferencia circunscrita al 
triángulo ABD es secante a 𝐵𝐶 y 
tangente a 𝐶𝐷 en D, entonces la 
longitud (en 𝑢) de 𝐶𝐷 es: 
 
A) 3√2 B) 4√2 C) 5√2 
D) 6√2 E) 7√2 
 
202. En un triángulo ABC, de 
circuncentro O; M es punto medio de 
𝐵𝐶 , L ϵ 𝐴𝐶 y 𝑀𝐿 ⊥ 𝑂𝐶 ; Si: AL = 5 
𝑢 y LC = 4 𝑢, entonces la longitud 
(en 𝑢) de 𝐵𝐶 es: 
 
A) 2√2 B) 8√2 C) 4√2 
D) 6√2 E) 9 
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- 27 - 
203. Con centro en el interior de un 
cuadrante AOB cuyo radio mide 8 𝑢. 
Se traza una circunferencia de radio 
r, la cuál es tangente a los radios 𝑂𝐴 
y 𝑂𝐵 e intersecta al arco 𝐴�̂� en M 
y N. Si 𝑀𝑁 ∩ 𝑂𝐵 = {𝐶} y BC = 2 𝑢, 
entonces r (en 𝑢) es: 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
204. En un paralelogramo ABCD la 
circunferencia circunscrita al 
triángulo ABD intersecta a la 
diagonal 𝐴𝐶 en F, Si: 𝐴𝐷 es 
diámetro, AF = 17 𝑢 y FC = 9 𝑢 , 
entonces la longitud (en 𝑢) de FD es 
 
A) 3√2 B) 4√2 C) 6 
D) 8 E) 9 
 
205. En una circunferencia de centro O 
y diámetro 𝐴𝐶 cuya longitud es 12 
cm, la cuerda 𝑀𝐹 corta a 𝐴𝑂 en E. 
Si: AE = 1 cm y 𝑚𝑀�̂� = 3𝑚𝐴�̂� , 
entonces la longitud (en cm) de 𝐸𝑀 
es 
 
A) 1,1 B) 1,8 C) 2,2 
D) 2,4 E) 3,2 
 
206. ABCD es un rectángulo inscrito en 
una circunferencia, la cuerda DQ 
interseca a BC en P. Si BP = 3 m, 
PC = 4 m y PQ = 2 m, halle (en m) 
AB. 
 
A) 3 B) 4 C) 2 2 
D) 2 5 E) 2 3 
 
 
 
 
207. En un triángulo ABC, una 
circunferencia que contiene a B y C 
es secante a los lados AB y AC en 
M y N respectivamente. Por A se 
traza la recta tangente a dicha 
circunferencia en el punto T. Si mBM 
= 2mBAC, BC = 6 m y AT = 8 m, 
halle (en m) AB. 
 
A) 9 B) 12 C) 8 
D) 10 E) 2 5 
 
208. Sean C1 y C2 dos circunferencias 
secantes en A y D, TL es una recta 
tangente común exterior a dichas 
circunferencias ( D cerca a dicha 
recta, T en C1 y L en C2), TL es 
paralela a la cuerda DB de C2, AL 
y DB se intersecan en N. Si AN = 
3NL y TL = 4 cm, halle (en cm) AD. 
 
A) 2 B) 3 C) 2 2 
D) 2 3 E) 4 
 
209. En un triángulo acutángulo ABC, de 
circuncentro O, M es el punto medio 
de BC y Q un punto de AC . Si MQ 
y OC son perpendiculares, MC = 6 
m y QC = 4 m , halle (en m) AQ. 
 
A) 14 B) 12 C) 16 
D) 10 E) 18 
 
210. En un triángulo acutángulo ABC, P 
es un punto de la prolongación del 
lado CB y CT es una recta 
tangente a la circunferencia que 
contiene a P y B ( T punto de 
tangencia). Si AB = PC , CT = 6 m y 
la distancia de B a AC es 4 m , halle 
(en m) la longitud del circunradio del 
triángulo ABC. 
 
A) 4,5 B) 5,4 C) 5,6 
D) 4,8 E) 7,2 
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- 28 - 
211. En la figura, ABCD es un cuadrado 
y 2AS=SN, entonces la longitud de 
ON es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
r 2
4
 B) 
r 2
2
 C) 
r 2
6
 
D) 
r 2
8
 E) 
r 2
10
 
 
212. Desde un punto P exterior a una 
circunferencia se trazan las 
tangentes PA y PC (A y C son puntos 
de tangencia) y la secante PBD, tal 
que BD y AC se intersecan en el 
punto M. Si 9(CM)=4(AM) entonces 
CD/AD: 
 
A) 
1
3
 B) 
5
3
 C) 
2
3
 
D) 
7
3
 E) 
4
3
 
 
213. En la siguiente figura O
1
 y O
2
 son los 
centros, tales que: BE=25 m, ED=11 
m. Calcular BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 10 B) 20 C) 30 
D) 40 E) 50 
 
214. Se tiene dos circunferencias 
tangentes interiores en el punto B, la 
circunferencia menor pasa por el 
centro de la circunferencia mayor, y 
la cuerda AC de la circunferencia 
mayor es tangente a la 
circunferencia menor en el punto M. 
Si AM=16u y MC=4u, entonces la 
longitud (en u) de la cuerda BM es: 
 
A) 2 B) 4 C) 6 
D) 8 E) 9 
 
215. Desde un punto exterior P a una 
circunferencia C se trazan las rectas 
tangentes PA y PB (A y B en C), en 
el arco mayor AB se ubica el punto F 
tal que PF interseca al arco menor 
AB y a la cuerda AB en los puntos C 
y D, si PC=a y CD=b, entonces la 
longitud de DF es: 
 
A) 
ba
)ba(a
+
−
 B) 
ba
)ba(b
+
−
 
C) 
2
)ba)(ba( −+
 D) 
ba
)ba(a
−
+
 
E) 
ba
)ba(b
−
+
 
 
TEOREMA DE PTOLOMEO Y 
TEOREMA DE VIETTE 
 
216. En un cuadrado ABCD, se ubica el 
punto P en AC̅̅̅̅ y en AD̅̅ ̅̅ se ubica el 
punto Q. Si el ángulo BPQ mide 90 
y AQ + AD = 3√2 u, entonces la 
longitud (en u) del AP̅̅̅̅ es. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 2 2 
 
217. En un trapecio isósceles, el producto 
de las longitudes de las bases es 75 
u2 y las longitudes de los lados no 
paralelos es 8 u. Calcule (en u) la 
longitud de una diagonal. 
 
A) 9 B) 10 C) 11 
D) 12 E) 13 
A 
B C 
D 
S N 
L 
O 
A B 
C 
D 
E 
F 
O
2
 
O
1
 
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- 29 - 
218. En un triángulo acutángulo ABC, 
exteriormente se trazan los 
triángulos equiláteros APB y BQC 
respectivamente, AQ y CP se 
intersecan en el punto F. Si BF = a y 
AF + FC = b, entonces FP + FQ es. 
 
A) a + b B) 2a + b 
C) a + 2b D) 3a + b 
E) 2a + 3b 
 
219. En un triángulo acutángulo ABC, I es 
el incentro. Si el perímetro es 2p, BI 
= n y AC = m, entonces la longitud 
del circunradio del triángulo AIC es. 
 
A) 
( )
mn
2 p m−
 B) 
( )
mn
2 p m+
 
C) 
mn
p m+
 D) 
mn
2p m+
 
E) 
2mn
p m+
 
 
220. En un triángulo ABC, se traza la 
bisectriz interior BD̅̅ ̅̅ , en los lados AB̅̅ ̅̅ 
y BC̅̅̅̅ se ubican los puntos F y E 
respectivamente, EF̅̅̅̅ // AC̅̅̅̅ y los 
ángulos BAC y BDE son 
congruentes. Si (BF)(BE) = 16 u2 y 
DF = 3 u, entonces la longitud (en u) 
del BD̅̅ ̅̅ es 
 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7 
 
221. Un cuadrilátero ABCD está inscrito 
en una circunferencia, AC̅̅̅̅ intersecaa BD̅̅ ̅̅ en el punto E, por el vértice D 
se traza una recta tangente paralela 
a AC̅̅̅̅ . Si AB + BC = 21 u, AC = 7 u y 
ED = 4 u, calcule CD (en u) 
 
A) 
80
7
 B) 12 C) 
50
3
 
D) 17 E) 20 
222. En un triángulo acutángulo ABC, se 
ubica el incentro P y su circuncentro 
O. Si mAPO = 90, AC = 10 u, AP = 
6 u y (AB)(BC) = 128 u2, entonces la 
longitud de AB̅̅ ̅̅ es 
 
A) 
210
13
 B) 
370
27
 C) 
370
27
 
D) 
600
27
 E) 
367
13
 
 
223. El cuadrado ABCD, está inscrito en 
una circunferencia y P pertenece al 
arco menor AB. Si AP = 9 u y PB = 
12 √2 u, entonces la longitud del 
lado del cuadrado es 
 
A) 3√65 B) 23√2 C) 5√13 
D) 3√2 E) √63 
 
224. En un cuadrado ABCD, los puntos 
T y P pertenecen a AC̅̅̅̅ y CD̅̅̅̅ 
respectivamente. Si mPTB = 90, 
PC = √2 u y CB = √6 u, entonces la 
relación de TB y TC es 
 
A) 3√2 B) 4√6 
C) 5√6 + √2 D) √6 - √2 
E) 8√3 
 
225. En una circunferencia, se inscribe 
un triángulo ABC, la cuerda BP̅̅̅̅ 
interseca al lado AC̅̅̅̅ en el punto Q, 
tal que PQ = 2(BQ). Si AP = PC; AB 
= 9 u y BC = 3 u, entonces la longitud 
de AC̅̅̅̅ . 
 
A) 
4 6
3
 B) 
6
3
 C) 2 3 
D) 4√3 E) 4√6 
 
 
 
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- 30 - 
POLÍGONOS REGULARES I 
 
226. En un cuadrado ABCD cuyo lado 
mide √2 − √3 , se trazan un arco 
AC con centro en D y una 
circunferencia de radio AD̅̅ ̅̅ con 
centro en A que se intersecan en P. 
La prolongación de CP̅̅ ̅̅ interseca a 
la circunferencia en el punto M, 
entonces la longitud (en u) de MC̅̅ ̅̅ ̅ es 
 
A) √2 B) 1 C) √3 
D) 2 E) √3 − √2 
 
227. En una circunferencia de diámetro 
AB̅̅ ̅̅ se traza la cuerda CD̅̅ ̅̅̅ de tal 
manera que los puntos C y D están 
en distintos semiplanos respecto 
AB̅̅ ̅̅ , mCD̂ = 135.Si la diferencia de 
las distancias de B y A sobre CD̅̅ ̅̅̅ es 
4√2 − √2 u. Calcule el radio de la 
circunferencia ( en u ). 
 
A) 4 B) 2 C) 3 
D) 6 E) 8 
 
228. En un triángulo ABC con circunradio 
R, AC = R√2 , BC= R√3 , y 
entonces la longitud de AB̅̅ ̅̅ es. 
 
A) R√2 + √3 B) R√2 − √3 
C) 2R√2 + √3 D) 4R√2 − √3 
E) 3R√2 + √3 
 
229. En un triángulo ABC se ubica el 
punto D en su interior, tal que 
AB = BC = R, AD = R √2 − √3 . 
Si m ∠ DAC = 2 m ∠ DAC y 
m∠ACD = 15, entonces la medida 
del ángulo BAD es 
 
A) 10 B) 15 C) 20 
D) 18 E) 12 
230. En un cuadrado ABCD, con centro 
en D radio DA̅̅ ̅̅ se traza un arco de 
circunfe- rencia que interseca a 
BD̅̅ ̅̅ en el punto P. La prolongación 
de AP̅̅ ̅̅ interseca a BC̅̅ ̅̅ en el punto 
M, luego se traza MN̅̅ ̅̅ ̅ ⊥ PC̅̅ ̅̅ (N∈ 
PC̅̅ ̅̅ ). Si AD = √2 + √2 u entonces 
la longitud (en u) de MN̅̅ ̅̅ ̅ es 
 
A) √2 − 1 B) √2 +1 
C) √3 −1 D) √3 +1 
E) √3 − √2 
 
231. En un triángulo ABC recto en B, el 
ángulo ACB mide 7,5. Si AC = 
4√2 + √3 cm, entonces la longitud 
(en cm) de la altura relativa a la 
hipotenusa es 
 
A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5 
D) 2,0 E) 2,5 
 
232. En el interior de un triángulo ABC 
recto en B, se ubica el punto Q tal 
que m∠QCB = 22,5. Si m∠A = 51, 
AC = 2√2 + √2 cm y QB = √2 cm, 
entonces la medida del ángulo QBC 
es 
 
A) 18,5 B) 26,5 C) 22,5 
D) 28,5 E) 37 
 
233. El triángulo equilátero ABC está 
inscrito en una circunferencia. M es 
punto medio de BC̅̅ ̅̅ y N un punto del 
arco BC, tal que MN̅̅ ̅̅ ̅//AC̅̅ ̅̅ . Si MN = 
1 u y 2 = √5 + 1 entonces la 
longitud de AB̅̅ ̅̅ , en u, es 
 
A)  B) 2 C) 2 
D) 3 E) 3 
 
234. ABCDE y AGDH son dos polígonos 
regulares inscritos en una 
circunferencia cuyo radio mide 1 u. 
Calcule, en u2, (GE)2 – √3 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
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- 31 - 
235. En una circunferencia cuyo radio 
mide (2 + √2) u, se traza la cuerda 
AB, tal que AB = ln, es la longitud 
de un lado del polígono regular 
inscrito de n lados y an es la longitud 
del apotema del mismo polígono. Si 
ln = 2(an), entonces la longitud del 
radio de la mayor circunferencia 
inscrita en el segmento circular AB, 
en u, es 
 
A) 
1
4
 B) 
1
2
 C) 
2
3
 
D) 
3
4
 E) 1 
 
236. En una circunferencia C se inscribe 
un triángulo ABC, tal que las 
medidas de los arcos BC, y AB, es 
360/7 y 720/7 respectivamente. Si 
AB= c y AC= b ,entonces BC es 
 
A) 
cc bc bb
b
+ −
 B) 
cc bb bc
b
+ −
 
C) 
cc bc bb
b
+ −
 D) 
cc bb bc
b
+ −
 
E) 
cc bb bc
c
+ −
 
 
237. En un dodecágono regular 
ABCEFGHIJKL, su lado mide l , BF̅̅̅̅ 
intersecta a DK̅̅ ̅̅ y a DI̅̅ ̅ en los puntos 
M y N respectivamente, halle MN. 
 
A) l√2 − √3 B) 
l √2+√3
2
 
C) 
l √2−√3
2
 D) 
l √2−√2
2
 
E) 
l √2+√2
2
 
 
238. En un hexágono regular ABCDEF 
inscrito en una circunferencia C se 
ubica el punto M punto medio del 
arco CD tal que FM=a, halle la 
longitud del lado del hexágono. 
A) a √2 − √3 B) 
a √2+√3
2
 
C) 
a √2−√3
2
 D) 
a √2−√2
2
 
E) 
a √2+√2
2
 
 
239. En un Octágono regular 
ABCDEFGH inscrito en una 
circunferencia C se trazan HD̅̅ ̅̅ y BE̅̅̅̅ 
intersectándose en el punto I tal que 
BI = a √2, halle la longitud del lado 
del octágono. 
 
A) a B) 
a
2
 
C) 
a √2−√3
2
 D) 
a √2−√2
2
 
E) 
a √2+√2
2
 
 
240. En una circunferencia C se 
inscriben un cuadrado ABCD, 
dodecágono regular AIJBKLC……. 
Y un octógono regular AEBFC… y 
un Si AB= a entonces EJ es 
 
A) 
a
2 
√4 − 2√2 + √3 
B) 
a
2 
√4 − 2√1 + √3 
C) 
a √2−√3
2
 
D) 
a √2−√2
2
 
E) 
a √2+√2
2
 
 
POLÍGONOS REGULARES II 
 
241. En un pentágono regular ABCDE, la 
perpendicular a CD̅̅ ̅̅̅ trazada por C, 
interseca a AB̅̅ ̅̅ en F. Si AE + AF = 
k, entonces la longitud del BD̅̅ ̅̅ es 
 
A) k√10-2√5 B) k (
√5 + 1
2
) 
C) k√5 D) k√3 
E) k 
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- 32 - 
242. Se tiene una circunferencia cuyo 
radio mide √5u, entonces la longitud 
del radio (en u) de las otras 10 
circunferencias congruentes que 
pueden rodear completamente a la 
primera es 
 
A) 0,5 B) 1 C) 1,5 
D) 2 E) √5 
 
243. Un segmento AB̅̅ ̅̅ es dividido en 
media y extrema razón por un punto 
P, si AP > PB y AB=( √5 + 3)u , 
entonces la longitud (en u) de PB̅̅ ̅̅ es 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 2 E) 3 
 
244. En un triángulo rectángulo ABC, 
recto en B, se traza la altura BH̅̅ ̅̅ , si 
HC̅̅ ̅̅̅ es congruente a la sección 
aurea de AC̅̅ ̅̅ entonces es cierto que: 
 
A) AH > HC B) BH = HC 
C) AH = BC D) AB = HC 
E) AC = AH + BH 
 
245. En un decágono regular 
ABCDEFGHIJ cuyo circunradio 
mide R. Calcular la longitud del 
segmento que une los puntos 
medios de AD̅̅ ̅̅ y BH̅̅ ̅̅ . 
 
A) R√2 − √5 B) 
R
2
√4 − √5 
C) 
R
2
√4 − 2√5 D) 
R
2
√2 + √5 
E) 
R
2
√2 − √5 
 
246. En un triángulo ABC; mA = mC = 
72, se trazan AF (F en BC ) 
bisectriz del ángulo BAC; FJ 
bisectriz del ángulo AFC. Hallar: 
BJ
BF
 
 
A) 
5 1
4
+
 B) 
5 1
2
−
 C) 
1
3
 
D) 
1
2
 E) 1 
247. En una circunferencia de radio R, se 
traza una cuerda que subtiende un 
arco de 216 grados sexagesimales. 
Hallar la distancia del centro a la 
cuerda. 
 
A) 
R
4
 B) 
R
5 1
4
− C) 
R 5
2
 
D) 
R 3
2
 E) 
R
5 1
4
+ 
 
248. ABCDE es un pentágono regular y 
las diagonales BD y CE se interse-
can en Q. Cuando QA2 – QC2 = 10, 
halle la longitud del radio del 
pentágono (en u). 
 
A) ( )5 5 1− B) 3 5
2
 C) 10 
D) 3 E) 6 
 
249. Un héxagono regular se encuentra