Semestral Uni - Álgebra semana 05

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Ecuaciones 
polinomiales 2
Gerolamo
……….Cardano
Matemático italiano. Se doctoró en 
medicina (1526)
En 1539 publicó su primera obra,
la Práctica de matemáticas y
mediciones individuales, en la que
recogió el contenido de sus clases.
En 1543, realiza la primera descripción
clínica de la fiebre tifoidea.
Dos años después publicó su obra
científica más importante, el Ars
magna, donde se recoge un exhaustivo
estudio de las ecuaciones de tercer
grado.
Ecuaciones Polinomiales de grado 
superior 
Sea el polinomio 𝑃 𝑥 de grado 3 o más, una
ecuación polinomial de grado superior es :
𝑃 𝑥 = 0
• 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 4 = 0
Ejemplos:
Ecuación cúbica o de grado 3 
• 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 − 3 = 0 Ecuación cuártica o de grado 4.
• 𝑥5 + 2𝑥3 + 𝑥 + 4 = 0 Ecuación de grado 5.
1. Su resolución
Se sugiere tratar de factorizar el polinomio (factor
común, aspa doble especial, divisores binómicos, … )
hasta obtener factores lineales o cuadráticos, de donde
será fácil hallar las soluciones.
Ejercicio 1
Resolver la siguiente ecuación 
𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0
𝑥2 𝑥 + 3 −4 𝑥 + 3 = 0
𝑥 + 3 𝑥2 − 4 = 0
𝑥 + 3 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −2
∴CS= −3; 2;−2
Resolución
𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0
0 0 0
Soluciones o raíces de la ecuación 
Ejercicio 2
Resolver la siguiente ecuación 
𝑥4 − 5𝑥3 + 5𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0
Resolución
Como la suma de coeficientes es cero, entonces 𝑥 = 1
es raíz, luego aplicamos divisores binómicos. 
1 −5 5 5 − 6
1
1
1
−4
−4
1
1
6
6
0
2
1
2
−2
−4
−3
−6
0
𝑥 − 1 𝑥 − 2 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0
𝑥
𝑥
−3
1
𝑥 − 1 𝑥 − 2 𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0 ∴CS= 1; 2; 3;−1
2. Teorema de Cardano 
Las raíces de una ecuación polinomial se puede
relacionar numéricamente con sus coeficientes.
2.1 Sean 𝑥1 y 𝑥2 las raíces de la ecuación. 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎; 𝒂 ≠ 𝟎
𝒃
𝒂
−𝒙𝟏+𝒙𝟐 = 𝒙𝟏. 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
2.2 Sea 𝑥1, 𝑥2 y 𝑥3 las raíces de la ecuación 
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 + 𝑑 = 0; 𝑎 ≠ 0
• 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 =
𝒃
𝒂
−
• 𝒙𝟏 𝒙𝟐 + 𝒙𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟑𝒙𝟏 =
𝒄
𝒂
• 𝒙𝟏𝒙𝟐 𝒙𝟑 =
𝒅
𝒂
−
2.3 Sea 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 y 𝑥4 las raíces de la ecuación 
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 +𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0; 𝑎 ≠ 0
• 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 =
𝒃
𝒂
−
• 𝒙𝟏 𝒙𝟐 + 𝒙𝟐𝒙𝟑 +⋯+ 𝒙𝟑𝒙𝟒 =
𝒄
𝒂
• 𝒙𝟏𝒙𝟐 𝒙𝟑 +⋯+ 𝒙𝟐𝒙𝟑 𝒙𝟒 =
𝒅
𝒂
−
• 𝒙𝟏𝒙𝟐 𝒙𝟑𝒙𝟒 =
𝒆
𝒂
Ejercicio 3
Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son raíces de la ecuación 
2𝑥3 + 5𝑥 − 6 = 0
Calcula el valor de 
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Resolución
Como 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son raíces de la ecuación 
2𝑥3 + 0𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0
Aplicando el teorema de Cardano
• 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =
0
2
−
• 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 =
5
2
• 𝑎𝑏𝑐 =
−6
2
−
Piden:
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
=
Como 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
Se cumple:
➢ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 =−2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐
➢ 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐
3𝑎𝑏𝑐
−2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐
=
3 3
−2
5
2
∴
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
=
9
5
−
= 3
3. Teoremas: (paridad de raíces)
Sea un polinomio de grado mayor o igual a 2 de 
coeficientes racionales tal que si 
una raíz es 
𝑎 + 𝑏 ↔
otra raíz es 
𝑎 − 𝑏 Donde 𝑎 ∈ ℚ y 𝑏 ∈ 𝐼
Sea un polinomio de grado mayor o igual a 2 de 
coeficientes reales tal que si 
una raíz es 
↔
otra raíz es Donde 
𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ − 0𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖
Sea un polinomio de grado mayor o igual a 4 de 
coeficientes racionales tal que si 
una raíz es 
↔
otras raíces son 
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 ; − 𝑎 + 𝑏 ; − 𝑎 − 𝑏
Donde 𝑎 y 𝑏 ∈ 𝐼
𝟑. 𝟏
𝟑. 𝟐
𝟑. 𝟑
Ejercicio 4
Si 2 + 3 es raíz de la ecuación cúbica 
𝑥3−5𝑥2 +𝑚𝑥 + 𝑛 = 0; 𝑚; 𝑛 ⊂ ℚ.
Dar su conjunto solución.
Resolución
Se tiene la ecuación
𝑥3 − 5𝑥2 +𝑚𝑥 + 𝑛 = 0; de coeficientes racionales
⟶ ൞
𝑥1
𝑥2
𝑥3
= 2 + 3
= 2 − 3
por paridad
de raíces
Por el Teorema de Cardano:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
൝
4
→ 𝑥3 = 1•
= ?
∴ 𝐶. 𝑆 = 2 + 3; 2 − 3; 1
Ecuación 
Fraccionaria
Esta ecuación se caracteriza por presentar a la incognita como parte del denominador.
Ejemplos:
2𝑥 + 3
5
=
1
𝑥 + 1
•
1
𝑥 − 1
+
1
𝑥 − 2
= 1• Obs. :
Para que exista una fracción, 
su denominador debe ser 
distinto de cero.
Ejemplo:
Resuelva la ecuación
4
𝑥 − 1
+
1
𝑥 − 2
= 3
Resolución
Existencia de la fracción
𝑥 − 1 ≠0 ∧ 𝑥 − 2 ≠0
4
𝑥 − 1
= 3 −
1
𝑥 − 2
4
𝑥 − 1
=
3𝑥 − 7
𝑥 − 2
4 𝑥 − 2 = 𝑥 − 1 3𝑥 − 7
4𝑥 − 8 = 3𝑥2 − 10𝑥 + 7
0 = 3𝑥2 − 14𝑥 + 15
3𝑥 − 5 𝑥 − 3 = 0
𝑥 =
5
3
∨ 𝑥 = 3
∴ 𝐶𝑆 =
5
3
; 3
Ecuación Fraccionaria
𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ 2
Ahora Despejando 𝑥
Como los valores obtenidos 
no están prohibidos por la 
existencia entonces:
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe