Semestral Uni - Álgebra semana 09

Vista previa del material en texto

VALOR ABSOLUTO
ÁLGEBRA
La noción de distancia entre dos puntos en la recta es un caso
particular de la noción de distancia entre dos puntos en el plano
toda vez que la recta esta en el plano. La distancia entre dos puntos
𝑃 y 𝑄, se simboliza con 𝑑 𝑃, 𝑄 y aplicando el Teorema de Pitágoras
en el gráfico, es:
𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑥1 − 𝑥0
2 + 𝑦1 − 𝑦0
2
y
x
P
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
Q
𝑥0 𝑥1
𝑦0
𝑦1
(𝑥1; 𝑦1)
(𝑥0; 𝑦0)
Si se aplica esta fórmula de distancia entre dos puntos del plano a
los dos puntos (𝑥; 0) y (0; 0), que tambien son puntos de la recta
real (que corresponden al número 𝑥 y al numero cero), se obtiene:
𝑑 𝑥, 0 = 𝑑 (𝑥; 0), (0; 0) = 𝑥 − 0 2 + 0 − 0 2 = 𝑥2
𝑑 𝑥, 0 = |𝑥|
ℝ
0 𝑥−𝑥
(0; 0) (𝑥; 0)
|𝑥||−𝑥|
El concepto de valor absoluto es muy importante, por ejemplo, se
aplica en la ingeniería civil para representar las distancias
horizontales y verticales de un punto a otro punto en un plano
cartesiano, en física cuando se habla del módulo o magnitud de un
vector.
VALOR ABSOLUTO
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real 𝑥 denotado
por 𝑥 se define de la siguiente manera
Ejemplos
• 8 = 8 • −6 =
• −𝜋 = − −𝜋
= 6− −6
• 0 = 0 = 𝜋
𝑥 = ൞
𝑥 ; 𝑥 > 0
0 ; 𝑥 = 0
−𝑥 ; 𝑥 < 0
𝑥 En forma práctica, las
barras se eliminan.positivo
= 𝑥ሼ
𝑥 En forma práctica, le
cambiamos de signo.negativo
= −𝑥ሼ
• 𝑥2 + 𝜋
• 3𝑥2 − 𝑥 + 4
• 𝑒𝑥 + 2
siempre positivo
siempre es (+)
= 𝑥2 + 𝜋
= 𝑒𝑥 + 2
= 3𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑥2≥ 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ
𝑒𝑥 > 0
→ 𝑒𝑥+2 ≥ 2
Como
→ 𝑥2 + 𝜋 ≥ 𝜋
Como
• ∆ = −1 2 − 4 3 4
∆ =
siempre positivo
−47 < 0
• Coef. princ. = 3 > 0
Por el Teorema del trinomio 
Positivo:
• 𝑥 + 1
siempre positivo
= 𝑥 + 1 𝑥 ≥ 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝComo
→ 𝑥 + 1≥ 1
PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO
Considere que cada expresión este bien definida en los reales.
1. 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
• 𝑥 − 2 ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
• 𝑥3 + 𝑥 ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
𝟐. 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦
• 2𝑥 = 2 𝑥 = 2 𝑥
• 𝑥2 + 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 1
3𝑥 − 6 =
Consecuencia :
3 𝑥 − 2
−4𝑥 − 20 = 4 𝑥 + 5
3. −𝑥 = 𝑥
• −3 = 3 = 3
• 2 − 𝑥 = − 𝑥 − 2
= 𝑥 − 2
𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎
𝟓. 𝑥 2 = 𝑥2 = 𝑥2
𝑥 − 2 2 = 𝑥 − 2 2
𝑥 + 3 2 =
6. 𝑥2 = 𝑥
𝑥 − 4 2 = 𝑥 − 4
−7 = 7𝑥 + 3 2 −7 2 =
𝟒.
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
; 𝑦 ≠ 0
𝑥 + 3
𝑥 − 2
=
𝑥 + 3
𝑥 − 2
𝑥
𝑥 + 4
=
𝑥
𝑥 + 4
2𝑛
𝑥2𝑛 = 𝑥 ; 𝑛 ∈ ℕ
•
4
𝑥 − 3 4 = 𝑥 − 3
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Son ecuaciones donde la incógnita este afectado del 
valor absoluto.
Ejemplos:
• 2𝑥 − 1 + 𝑥 = −6
• 3𝑥 − 2 = 5
• 𝑥 − 2 + 2𝑥 − 4 = 6
• 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 2𝑥 + 4
• 𝑥 + 3 = −5
Como 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ, entonces estas ecuaciones son 
incompatibles y tienen C. S = ∅
Resolución de ecuaciones con valor absoluto 
Tener en cuenta la definición y propiedades del
valor absoluto en el proceso de la resolución de la
ecuación para dar el conjunto solución (CS).
Aplicación: Resuelva la ecuación siguiente 
3𝑥 − 1 = 8
Resolución:
El valor absoluto de 8 o de −8 se sabe que es 8, entonces 
3𝑥 − 1 = 8 ∨ 3𝑥 − 1 = −8
𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −
7
3
∴ 𝐶𝑆 = 3;−
7
3
Teoremas:
𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑎 ≥ 0 ∧ (𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎)
𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎
Aplicación: Resuelva la ecuación siguiente: 
𝑥 + 3 = 2𝑥
Resolución:
• 2𝑥 ≥ 0
• 𝑥 + 3 = 2𝑥 ∨ 𝑥 + 3 = −2𝑥
𝑥 = 3 𝑥 = −1
Si cumple No cumple
∴ 𝐶𝑆 = 3
Aplicación: Resuelva la ecuación siguiente: 
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 2𝑥 − 4
Resolución:
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 2𝑥 − 4 ∨ 𝑥2+𝑥 − 6 = − 2𝑥 − 4
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0
𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0 𝑥 − 2 𝑥 + 5 = 0
𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −1 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −5
∴ 𝐶𝑆 = 2;−1;−5
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Son inecuaciones en donde la incógnita se
encuentra afectada por el valor absoluto.
• 𝑥 − 7 ≤ 3
Ejemplos
Para la resolución utilizaremos los siguientes 4
teoremas
Teorema 1
𝑥 < 𝑎 ↔ 𝑎 > 0 ∧ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
Aplicación:
→ −9 < 2𝑥 − 5 < 9
∴ CS = −2; 7• 2𝑥 + 1 > 𝑥 + 3
Resuelva la inecuación siguiente 
2𝑥 − 5 < 9
2𝑥 − 5 < 9Tenemos:
Resuelva la inecuación siguiente 
2𝑥 − 11 ≤ 7 − 𝑥
Resolución
→ 7 − 𝑥 ≥ 0
Aplicando el teorema::
∧ −7 + 𝑥 ≤ 2𝑥 − 11 ≤ 7 − 𝑥
𝑥 ≤ 𝑎 ↔ 𝑎 ≥ 0 ∧ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
→ −4 < 2𝑥 < 14
→ −2 < 𝑥 < 7
→ 7 ≥ 𝑥 ∧ −7 + 𝑥 ≤ 2𝑥 −11 ∧ 2𝑥 − 11 ≤ 7 − 𝑥
4 ≤ 𝑥 𝑥 ≤ 6
+∞−∞ 4 76
∴ CS = 4; 6
→ 7 ≥ 𝑥
Aplicación:
Resolución
Teorema 2
𝑥 > 𝑎 ↔ 𝑥 > 𝑎 ∨ 𝑥 < −𝑎
Aplicación:
Resuelva la inecuación siguiente 
2𝑥 − 5 ≥ 7 − 𝑥
𝑥 ≥ 𝑎 ↔ 𝑥 ≥ 𝑎 ∨ 𝑥 ≤ −𝑎
Resolución
→ 2𝑥 − 5 ≥ 7 − 𝑥
Aplicando el teorema:
∨ 2𝑥 − 5 ≤ −7 + 𝑥
+∞−∞ 4−2
→ 3𝑥 ≥ 12 ∨ 𝑥 ≤ −2
→ 𝑥 ≥ 4
∴ CS = ۦ ሿ−∞;−2 ∪ ሾ ۧ4;+∞
Teorema 3
𝑥 ≶ 𝑦 ↔ 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 ≶ 0
Aplicación:
Resuelva la inecuación siguiente
3𝑥 − 2 ≤ 1 − 4𝑥
Resolución
→ 3𝑥 − 2 + 1 − 4𝑥
Aplicando el teorema::
Mantener mismo símbolo
−𝑥 − 1 7𝑥 − 3 ≤ 0
≤ 03𝑥 − 2 − 1 − 4𝑥
por (-1) : 𝑥 + 1 7𝑥 − 3 ≥ 0
−1
3
7
+−+
∴ 𝐶𝑆 = ;∞−ۦ ሿ−1 ∪ ቂ
3
7
; ۧ+∞
Observación :
Hay inecuaciones absurdas y otras
que siempre se cumple
• 𝑥 − 3 < −4 → CS = ∅
• 𝑥 < sen𝑥 − 2 → CS = ∅
• −5 < 𝑥 − 1 → CS = ℝ
• 0 ≤ 𝑥 − 3 → CS = ℝ
Teorema 4 : Desigualdad Triangular 
𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 ; ∀𝑥; 𝑦 ∈ ℝ
Consecuencias :
• 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ↔ 𝑥𝑦 ≥ 0
• 𝑥 + 𝑦 < 𝑥 + 𝑦 ↔ 𝑥𝑦 < 0
Ejemplos:
• 𝑥 + 4 ≤ 𝑥 + 4 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
• 2𝑥 + 1 ≤ 𝑥 − 2 + 𝑥 + 3 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
• 3𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 + 2𝑥 ↔ 𝑥 − 1 2𝑥 ≥ 0
• 2𝑥 − 3 < 𝑥 − 4 + 𝑥 + 1 ↔ 𝑥 − 4 𝑥 + 1 < 0
𝑎 𝑏𝑎 + 𝑏
𝑎 𝑏𝑎 + 𝑏
𝑎 𝑏𝑎 + 𝑏
Aplicación
Resuelva la siguiente inecuación
2𝑥 − 5 ≤ 𝑥 − 3 + 𝑥 − 2
Resolución
2𝑥 − 5 ≤ 𝑥 − 3 + 𝑥 − 2
𝑎 𝑏𝑎 + 𝑏
Tenemos:
se cumple para todo 𝑥 reales
∴ CS = ℝ
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe