Semestral Uni - Álgebra semana 10

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FUNCIONES REALES
ÁLGEBRA
SEMANA 10
INTRODUCCIÓN
Las funciones determinan las relaciones que existen entre distintas magnitudes tanto en Matemáticas, como en: 
Física Química
Estadística
Ingeniería
Permiten entre otras muchas cosas, poder calcular
los valores de cada una de ellas en función de otras
de las que depende.
Medicina
𝒇: 𝑨 ⟶ 𝑩 o
FUNCIÓN 
Definición 
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos no vacíos.
La función 𝑓 de 𝐴 en 𝐵 es un conjunto de pares
ordenados 𝑥; 𝑦 tal que para cada elemento
𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde un único elemento 𝑦 ∈ 𝐵.
Notación 𝑨
𝒇
𝑩
𝑨 es el conjunto de partidaDonde 
𝑩 es el conjunto de llegada
Ejemplos
𝑨 𝑩
𝒇
3
5
6
9
4
7
9
10
𝑓 = 3; 4 ; 5; 7 ; 6; 9 ; 9; 10
Representación en pares ordenados
𝑨 𝑩
0
2
5
4
3
6
7
𝒈
¿ 𝒈 𝐞𝐬 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧?
SI, pues los elementos de
𝐴 se relacionan, con un
solo elemento de 𝐵.
❖ El conjunto formado por las primeras componentes, se le 
llama DOMINIO 𝐃𝐨𝐦𝒈
Dom𝒈 = 0; 2; 5 = 𝑨
❖ El conjunto formado por las segundas componentes, se le 
llama RANGO 𝐑𝐚𝐧𝒈
Ran𝒈 = 4; 3; 7 ⊂ 𝑩
𝑔 = 0; 3 ; 2; 4 ; 5; 7
Representación en pares ordenados
𝑨 𝑩
−1
3
7
8
2
𝒉
¿ 𝒉 𝐞𝐬 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧?
SI, pues los elementos de
𝐴 se relacionan, con un
solo elemento de 𝐵.
Dom𝒉 = −1; 3; 7 Ran𝒉 = 8; 2
𝑨 𝑩
𝑭
2
4
6
0
5
8
¿ 𝑭 𝐞𝐬 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧?
NO, pues al elemento 4
de 𝐴, le corresponde no
uno, sino dos elementos
de 𝐵 (5 y 8).
Dom𝑭 = 2; 4; 6 Ran𝑭 = 0; 5; 8
CONDICIÓN DE UNICIDAD DE LA FUNCIÓN
Sea 𝑓 una función.
Si 𝒙; 𝒚 ∈ 𝒇 ∧ 𝒙; 𝒛 ∈ 𝒇 → 𝒚 = 𝒛
Ejemplos
❑ Si 𝟔; 𝑚 ∈ 𝑓 ∧ 𝟔; 4 ∈ 𝑓 → 𝑚 = 4
Sean las funciones 𝑓, 𝑔 y ℎ una función.
❑ 𝑔 = 𝟐; −3 ; 7; 9 ; 𝟐; 𝑛 → 𝑛 = −3
2
𝑨 𝑩
ℎ
7
4 − 𝑝
𝑝 − 8
5
❑ .
→ 𝑝 − 8 = 4 − 𝑝
𝑝 = 6
REGLA DE CORRESPONDENCIA
Sea 𝑓: 𝑨 → 𝑩 una función tal que 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓.
La regla de correspondencia de 𝒇 es la igualdad
que relaciona 𝒙 e 𝒚.
Definición 
Notación 𝒚 = 𝒇 𝒙
𝑥: variable independiente
𝑦: variable dependiente
Ejemplo
𝑨
La igualdad entre “𝑥 e 𝑦" o regla de correspondencia es: 
𝑦 = 𝒙𝟐 + 1
𝑩
= 12+1
𝑓 𝒙 = 𝒙
2 + 1o
𝟐 es imagen del 𝟏𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝒙
⋮
2
5
10
17
𝑦
⋮
𝒇
⋮
= 22+1
= 32+1
= 42+1
⋮
= 𝒙2+1
= 𝑓 𝟏
= 𝑓 𝟐
= 𝑓 𝟑
= 𝑓 𝟒
= 𝑓 𝒙
𝟓 es imagen del 𝟐
𝟏𝟎 es imagen del 𝟑
𝟏𝟕 es imagen del 𝟒
⋮
𝒚 es imagen del 𝒙
Importante 
Una función está bien definida si se conoce su
dominio y su regla de correspondencia.
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
𝑓 es una función real de variable real, si su conjunto
de partida y llegada están incluidos en los reales.
Ejemplos
➢ 𝑓: ;2−ۦ ሿ7 ⟶ ℝ
𝑥 3𝑥 + 5⟶
Donde:
Dom𝑓 = ;2−ۦ ሿ7 ∧ 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 5
➢ 𝑔 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑥 ∈ [1; ሿ6 ∧ 𝑔 𝑥 = 𝑥
2 + 4
➢ ℎ 𝑥 = 𝑥 − 1; 𝑥 ∈ [3; +∞⟩
Donde: Dom𝑔 = 1; 6
Donde: Domℎ = [3; +∞⟩
CÁLCULO DEL DOMINIO
Debemos de hallar la variación de 𝒙 para que la función 
exista en ℝ.
Tener en cuenta las siguientes consideraciones en los reales 
𝐈𝐌𝐏𝐀𝐑 𝑎 ∈ ℝ No hay restricción para 𝒂
𝐏𝐀𝐑 𝑎 ∈ ℝ
𝐴 𝑥
𝐵 𝑥
existe 𝐵 𝑥 ≠ 0
𝑎 ∈ ℝ
𝑎 ≥ 0
Importante
Si solo se tiene la regla de correspondencia y
nos piden determinar el dominio, entonces
Dom𝒇 = 𝐂𝐕𝐀
Ejemplo
Calcule el dominio de la función 𝒇, tal que 
𝑓 𝑥 =
3
5 − 𝑥 − 4 − 𝑥 +
𝑥
𝑥 − 1
Resolución
⊛
3
5 − 𝑥 No hay restricción para 𝒙
⊛ 4 − 𝑥 4 − 𝑥 ≥ 0 4 ≥ 𝑥
𝑥 ≤ 4 −4 ≤ 𝑥 ≤ 4
𝑥
𝑥 − 1
⊛ 𝑥 − 1 ≠ 0 𝑥 ≠ 1
−𝟒 𝟒 +∞−∞ 𝟏
Graficando
Dom𝒇 = −4; 4 − 1
También Dom𝒇 = [−4; 1⟩ ∪ ;1ۦ 4ሿ
CÁLCULO DEL RANGO
Debemos de hallar la variación de 𝒚, 𝒇 𝒙 , 𝒈 𝒙 , 𝒉 𝒙 . . .
Por lo general se construye el 𝒚 = 𝒇 𝒙 a partir
de la variación de 𝒙 (𝐃𝐨𝐦𝒇), para ello se utiliza
los teorema de las desigualdades
Importante
Ejemplos
Calcule el rango de las siguientes funciones
⧆ 𝑓 𝑥 = 𝑥
2 − 6𝑥 + 11; 𝑥 ∈ ;2ۦ 6ሿ
Completamos cuadrados en 𝑓 𝑥 = 𝑥
2 − 6𝑥 + 11
𝑓 𝑥 = 𝑥
2 − 6𝑥 + 𝟗 + 𝟐
𝐓𝐂𝐏
= 𝑥 − 3 2 + 2
𝑥 ∈ ;2ۦ 6ሿ 2 < 𝑥 ≤ 6
−𝟑
−1 < 𝑥 − 3 ≤ 3
( )𝟐
0 ≤ 𝑥 − 3 2 ≤ 9
+𝟐
2 ≤ 𝑥 − 3 2 + 2 ≤ 11
𝒇 𝒙 Ran𝑓 = 2; 11
⧆ 𝑔: [10; ⟩24 → ℝ
𝑥 →
2𝑥 + 1
𝑥 − 3
𝑔 𝑥 =
2𝑥 + 1
𝑥 − 3
Dom𝑔 = [10; ⟩24
𝑔 𝑥 =
2𝑥 + 1
𝑥 − 3
− 𝟐 + 𝟐 =
7
𝑥 − 3
+ 2
Dom𝑔 = [10; ⟩24
0 ≤ 𝑥 − 3 2 ≤ 9
10 ≤ 𝑥 < 24
−𝟑
7 ≤ 𝑥 − 3 < 21
𝐈𝐍𝐕.1
7
≥
1
𝑥 − 3
>
1
21
𝐏𝐨𝐫 𝟕 𝐲 + 𝟐
3 ≥
Ran𝑔 =
7
𝑥 − 3
+ 2 >
7
3
𝒈 𝒙
ൽ ൨
7
3
; 3
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe