Semestral Uni - Álgebra semana 11

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GRÁFICA DE FUNCIONES 
ÁLGEBRA
OBJETIVO
01
02
03
Conocer como graficar cualquier función y sus 
propiedades. 
Conocer las gráficas de las funciones notables 
e identificar elementos a partir de la gráfica.
Resolver problemas con apoyo del 
marco teórico estudiado.
Gráfica de funciones 
Las gráficas permiten representar la
información de manera muy visual. Pero
hay que saber mirarlas e interpretar los
datos que ofrecen.
En campos como ciencia, ingeniería y
negocios, a menudo se usa una función
para describir los fenómenos.
A fin de interpretar y utilizar datos, es
útil representar estos datos en, forma
de gráfica.
Definición de gráfica de una función 
Sea 𝑓 una función.
La gráfica de 𝑓 es la representación en el
plano cartesiano de todo los pares ordenados
que pertenece a 𝑓
Ejemplo: La gráfica de la función 
𝑓 = 2; 3 ; −3;−1 ; 4; 0 ; 0; 1 es la siguiente
𝑦
𝑥
2 3 −1−3 4 0 1
Ejemplo: Graficar la función 
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 1; 𝑥 ∈ ℝ
Resolución :
Tabularemos algunos puntos para inducir la gráfica 
𝑦
𝑥
𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 1
−4
−4 −4 −4
1
−3
−3 −3 −3
1
−2
−2 −2 −2
1
1
v1 1 1
3
2
v v v2 22
5
Para reconocer que una gráfica, corresponde a una 
función, trazamos rectas verticales y estas deben 
intersecarlo en un solo punto a dicha gráfica. 
1.
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
Esta gráfica es de una
relación, no corresponde
a una función
Esta gráfica es de una
relación, y si corresponde
a una función
2. A partir de la gráfica de una relación,
podemos determinar su dominio y rango.
Proyección de la gráfica al eje 𝑥 = Dominio
Proyección de la gráfica al eje 𝑦 = Rango
𝑦
𝑥
−3
2
𝑓
Dom𝑓 = −3; 2
𝑦
𝑥
1
3
−2
𝑔
Ran𝑔 = −2; 3
Propiedades
Para encontrar el punto de intercepto de dos gráficas,
igualamos su regla de correspondencia, al resolver la
ecuación formada se obtendrá el valor de 𝑥 (abscisa)
3.
𝑦
𝑥
Al resolver esta ecuación se 
obtiene el valor de 𝑥 = 𝑥0
𝑓
𝑔
𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥
Para obtener el valor de 𝑦0
evaluamos en cualquiera de
las funciones el 𝑥0
𝑦0 = 𝑓 𝑥0 = 𝑔 𝑥0
𝑥0; 𝑦0
Ejemplo: Determine el punto de intercepto (punto 
común ) entre las dos grafica 
𝑦
𝑥−1
5
5
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1
𝑔 𝑥 = 5 − 𝑥
Resolución: 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥
𝑥 + 1 = 5 − 𝑥 De elevar al cuadrado tenemos
0 = 𝑥2 − 11𝑥 + 24 Factorizamos 
0 = 𝑥 − 8 𝑥 − 3 ↔ 𝑥 = 8 ∨ 𝑥 = 3
No cumple Si cumple
Entonces 𝑦 = 𝑓 3 = 𝑔 3 = 2
∴El punto de intercepto es 3; 2
Para hallar los puntos de corte, de la gráfica de la 
función con los ejes se realiza lo siguiente: 
• Con el eje 𝑥, asignamos 𝑦 = 0
• Con el eje 𝑦, asignamos 𝑥 = 0
Ejemplo:
𝟒.
𝑦
𝑥
𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥
Hallemos el punto de 
corte con el eje 𝑥
𝑦 = 4 − 𝑥
0 = 4 − 𝑥
𝑥 = 4
∴ el punto de corte con el 
eje 𝑥 es 4; 0
4; 0
Hallemos el punto de corte con el eje 𝑦
𝑦 = 4 − 𝑥
𝑦 = 4 − 0
𝑦 = 2
∴el punto de corte con el eje 𝑦 es 0; 2
0; 2
𝐈. Gráfica de una función constante
Su gráfica es una recta horizontal
Ejemplo:
𝑦
𝑥
𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 = 2
−4
−4
2
−3
−3
2
−2
−2
2
1
1
2
2
v2
2
𝑓 𝑥 = 2
Del gráfico podemos deducir:Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = 2
2
Gráficas Notables
II. Gráfica de un polinomio lineal o función afín 
Su gráfica es una recta inclinada (no horizontal)
Ejemplo:
𝑦
𝑥
𝑥 𝑦
−3 −1
−1 1
0 2
1 3
2 4
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2
Del gráfico podemos deducir: Dom𝑓 = ℝ
2
∧ Ran𝑓 = ℝ
Observación :
Para trazar una recta solo se necesita dos puntos.
En general: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏; 𝑎 ≠ 0
𝑎 > 0
𝑦
𝑥
𝑏
 −𝑏 𝑎
T.I.
Raíz
Función creciente
𝑎 < 0
𝑦
𝑥
𝑏
 −𝑏 𝑎
T.I.
Raíz
Función decreciente
Ejemplo: Determine la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 6
𝑦
𝑥
T.I.= −6
−6
Raíz = 2
2
Pendiente de la recta
Es la tangente del ángulo formado por la recta
inclinada y el eje 𝑥, en posición normal.
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏; 𝑎 ≠ 0
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝜃
𝜃
tanθ = 𝑎
Observación: El producto de sus pendientes de dos
rectas perpendiculares es −𝟏.
𝐈𝐈𝐈. Gráfica de la función valor absoluto
Grafiquemos 𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑥 𝑦
𝑦
𝑥
−2 2
−1 1
0 0
1 1
2 2
Continuando con la tabulación 
Observación :
La gráfica de 𝑓 𝑥 = − 𝑥 es
Vértice
𝑦
𝑥
Vértice
En general: 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ +𝑘 𝑎 ≠ 0
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
𝑎 > 0
Vértice
𝑎 < 0
Vértice
Observación :
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ +𝑘 𝑎 ≠ 0
Si 𝑎 = 1 90°
90°
Ejemplo: Grafique 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 1 +3
vértice: 1; 3
𝑦
𝑥1
3
• Hallemos el punto de corte con el eje 𝑦 𝑥 = 0
𝑓 0 = −2 0 − 1 +3= 1
1
• Hallemos el punto de corte con el eje 𝑥 𝑦 = 0
𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 1 +3𝑦0 ↔ 𝑥 − 1 = 3 2
↔ 𝑥 = 5 2 v 𝑥 = −1 2
−1
2
5
2
Si 𝑎 = 1
𝐈𝐕. Gráfica de la función cuadrática
𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 − 𝒉
𝟐 + 𝒌; 𝑎 ≠ 0, a su gráfica se le denomina 
parábola
Coordenadas del Vértice: ℎ; 𝑘
𝑎 > 0
Vértice
𝑎 < 0
Vértice
Observación :
Si 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Completando cuadrados
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
−
Δ
4𝑎
entonces el Vértice= −
𝑏
2𝑎
; −
Δ
4𝑎
Es equivalente a:
donde 𝑥1 y
𝑥2 son las 
raíces 
Ejemplo: Grafique 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
2 −4
Vértice: 1;−4
𝑦
𝑥
1
−4
• Hallemos el punto de corte con el eje 𝑦 𝑥 = 0
𝑓 0 = 0 − 1
2 −4 = −3
−3
• Hallemos el punto de corte con el eje 𝑥 𝑦 = 0
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
2 −4𝑦0 ↔ 𝑥 − 1 2 = 4
↔ 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 3
−1 3
Vértice=
𝑥1+𝑥2
2
; 𝑓 𝑥1+𝑥2
2
Observación :
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
La ordenada del punto de corte con el eje 𝒚, es el T.I.
Las abscisas del punto de corte con el eje 𝒙, son las 
raíces reales (considerando que presenta raíces reales) 
𝑦
𝑥
T.I.
Raíz real Raíz real
Propiedades :
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
Δ > 0
Las raíces son 
reales diferentes
𝑥
𝑥1 𝑥2
𝑎 > 0
𝑥𝑥1 𝑥2
𝑎 < 0
Δ = 0
Las raíces son 
reales e iguales
𝑥1 =𝑥2
𝑎 > 0
𝑥1 = 𝑥2
𝑎 < 0
Δ < 0
Las raíces no son 
reales
𝑎 > 0
𝑥 𝑥
𝑥
𝑎 < 0
𝑥
Eje de simetría 
Si trazamos una recta vertical que pasa por el vértice, 
divide a la parábola en partes simétricas. 
𝑑 𝑑
Nota :
Si ∧ Dom𝒇 = ℝ𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
𝑎 > 0
Vértice 𝑥1+𝑥2
2
; 𝑓 𝑥1+𝑥2
2
∧
𝑥1+𝑥2
2
=
−𝑏
2𝑎
−𝑏
2𝑎
𝑓 −𝑏
2𝑎
mín𝑓 = Ran𝑓 = mín𝑓; +∞
𝑎 < 0
−𝑏
2𝑎
𝑓 −𝑏
2𝑎
máx𝑓 =
Ran𝑓 = máx𝑓; +∞
𝐕. Gráfica de un polinomio, de grado mayor a 2
Su gráfica es una curva suave y continua (es decir no 
tiene esquinas)
Ejemplo: Grafiquemos 𝑓 𝑥 = 𝑥
3 − 4𝑥= 𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2
Presenta como raíces a : 0; 2;−2 (puntos de corte con el eje 𝑥) 
𝑦
𝑥2−2
𝑥 𝑦
3 15
3
15
1 −3
1
−3
−1 3
−1
3
−3 −15
−3
−15
Forma de la gráfica de un polinomio cerca de una raíz 
de cierta multiplicidad 
Si 𝛼 es una raíz de 
multiplicidad impar
𝛼 𝑥
𝛼 𝑥
Si 𝛼 es una raíz de 
multiplicidad par
𝛼 𝑥
𝛼 𝑥
Ejemplo: Grafique 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2
3 𝑥 − 1 𝑥 − 3 2
Igualando a cero para encontrar sus raíces, se obtiene
Resolución:
• −2 es una raíz de multiplicidad 3
• 1 es una raíz simple ( “multiplicidad 1”)
• 3 es una raíz de multiplicidad 2
𝑦
𝑥−2 1 3
Si el coeficiente 
principal es 
positivo
Si el coeficiente 
principal es 
negativo
www.a c adem ia c e sa r v a l l e j o . e du . p e