Semestral Uni - Álgebra semana 17

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SUCESIONES REALES
ÁLGEBRA
SEMANA 17
INTRODUCCIÓN
 Leonardo da Pisa , también conocido como Fibonacci, fue un
matemático italiano nacido en 1175 y fallecido en el año 1240.
 Uno de sus mayores logros es el de ser uno de los pioneros en
introducir el sistema de numeración arábigo en Europa, y por
lo tanto, también introdujo el número 0.
 Aparte de ello, fue el descubridor de la denominada sucesión
de Fibonacci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
 La historia dice que Fibonacci se fijó en esta secuencia
mediante la reproducción de los conejos. El problema dice
así: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año, si
comenzamos con una pareja que produce cada mes otra
pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?
Una sucesión es una función cuyo dominio es el
conjunto de los números naturales y su rango es un
subconjunto de los números reales, es decir:
ℕ
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
.
.
.
ℝ
𝒇
𝒇(𝟏)
𝒇(𝟐)
𝒇(𝟑)
𝒇(𝟒)
.
.
.
= 𝒂𝟏
= 𝒂𝟐
= 𝒂𝟑
= 𝒂𝟒
.
.
.
Donde
𝑎1; 𝑎2; 𝑎3 ; 𝑎4 ; . . . : Términos de la sucesión.
Notación
Una sucesión se puede denotar de la forma:
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 𝑛≥1= 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ= 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; 𝑎4; . .
Ejemplos
1
𝑛
1. =
1
1
;
1
2
;
1
3
;
1
4
; . . .
sucesión armónica
𝑛22. = 12; 22; 32; 42; . . .
Cos𝑛 𝑛≥13. = Cos1; Cos2; Cos3; Cos4; . . .
(−1)𝑛
𝑛∈ℕ
4. = −1; 1;−1; 1; . . .
45. = 4; 4; 4; 4; . . .
SUCESIONES REALES
Término 𝒏 −ésimo
Llamado también término general o ley de formación.
Es la expresión que nos indica cómo se relacionan los
elementos del dominio con su rango, denotado por lo
general como 𝑎𝑛.
Ejemplos
1. = 2; 4; 6; 8; . . .𝑎𝑛 𝑎𝑛 =2𝑛
2. = 1; 2; 6; 24; . . . 𝑏𝑛 = 𝑛!𝑏𝑛 𝑛∈ℕ
𝑥𝑛3. =
1
2
;
1
4
;
1
8
;
1
16
; . . . 𝑥𝑛 =
1
2
𝑛
𝑦𝑛 𝑛≥14. = 1; 4; 27; 256; . . . 𝑦𝑛 = 𝑛
𝑛
𝒏 + 1
2𝒏 + 1
Aplicación 
2
3
;
3
5
;
4
7
;
5
9
; . . .
Determine el vigésimo término de la siguiente sucesión.
Hallaremos el término general.
Resolución 
𝑎𝟏 =
2
3
𝑎𝟐 =
3
5
𝑎𝟑 =
4
7
𝑎𝟒 =
5
9
=
𝟏 + 1
2. 𝟏 + 1
=
𝟐 + 1
2. 𝟐 + 1
=
𝟑 + 1
2. 𝟑 + 1
=
𝟒 + 1
2. 𝟒 + 1
𝑎𝒏 =
Entonces el vigésimo término será:
𝑎𝟐𝟎 =
𝟐𝟎 + 1
2. 𝟐𝟎 + 1
=
𝟐𝟏
𝟒𝟏
CLASES DE SUCESIONES
I. Sucesión acotada
Una sucesión es acotada si todos sus términos están entre
dos números reales, es decir:
(𝑎𝑛) es acotada ↔ 𝑝 < 𝑎𝑛 < 𝑞; ∀ 𝑛 ∈ ℕ , tal que 𝑝 y 𝑞 ∈ ℝ
Ejemplos
1
𝑛
1. =
1
1
;
1
2
;
1
3
;
1
4
; . . . ¿Es acotada?
Si, porque 0 <
1
𝑛
< 2; ∀ 𝑛 ∈ ℕ
Sen𝑛 𝑛≥12. = Sen1; Sen2; Sen3; Sen4; . . . ¿Es acotada?
Si, porque −1 ≤ Sen𝑛 ≤ 1; ∀ 𝑛 ∈ ℕ
𝑛2 = 12; 22; 32; 42; . . . ¿Es acotada?
No, porque 0 < 𝑛2; ∀ 𝑛 ∈ ℕ.
Pero, es acotada inferiormente.
5. = −2;−4;−8;−16; . . .−2𝑛 𝑛∈ℕ ¿Es acotada?
No, porque −2𝑛 < −1;∀ 𝑛 ∈ ℕ.
Pero, es acotada superiormente.
(−1)𝑛. 𝑛
𝑛∈ℕ
6. = −1; 2;−3; 4; . . . ¿Es acotada?
No es acotada, ni siquiera es acotada
superiormente e inferiormente (es no
monótona).
4.
Importante
⧆ Para que una sucesión sea acotada, debe tener las dos cotas.
⧆ Si en la sucesión existen cotas, no son únicas.
II. Sucesión monótona
Una sucesión 𝑎𝑛 es monótona si es uno de los siguientes tipos:
Sucesión
Creciente
Decreciente
NO creciente
NO decreciente
Definición
𝒂𝟏 < 𝒂𝟐 < 𝒂𝟑 < 𝒂𝟒< . . . 
o 𝒂𝒏 < 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ
𝒂𝟏 > 𝒂𝟐 > 𝒂𝟑 > 𝒂𝟒> . . . 
o 𝒂𝒏 > 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ
Ejemplo
𝑛2 = 12; 22; 32; 42; . . .
12 < 22 < 32 < 42 < . . . Es creciente porque,
−3𝑛 = −3;−6;−9;−12; . . .
−3 > −6 > −9 > −12 > . . . Es decreciente porque,
𝒂𝟏 ≥ 𝒂𝟐 ≥ 𝒂𝟑 ≥ 𝒂𝟒≥ . . . 
o 𝒂𝒏 ≥ 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ
2; 2; 5; 7; 7; 7; 8; . . .
2 ≤ 2 ≤ 5 ≤ 7 ≤ 7 ≤ 7 ≤ 8 ≤ . . . Es NO decreciente porque,
𝒂𝟏 ≤ 𝒂𝟐 ≤ 𝒂𝟑≤ 𝒂𝟒≤ . . . 
o 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ
9; 5; 4; 4; 0; −2 . . .
9 ≥ 5 ≥ 4 ≥ 4 ≥ 0 ≥ −2 ≥ . . . Es NO creciente porque,
CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA 
DE UNA SUCESIÓN
Sea la sucesión 𝑎𝑛 donde: lim𝑛→+∞
𝑎𝑛= 𝐿
Si 𝐿 ∈ℝ, la sucesión 𝑎𝑛 converge a 𝐿. 
Ejemplos
lim
𝑛→+∞
1
𝑛
1.
la sucesión 𝑎𝑛 es divergente.Si 𝐿 es 
+∞
∄
−∞
Indique si las sucesiones son convergentes o 
divergentes
1
𝑛 = 0
1
𝑛
converge a 0
lim
𝑛→+∞
3𝑛 + 1
4𝑛 − 1
2.
3𝑛 + 1
4𝑛 − 1
=
3
4
3𝑛 + 1
4𝑛 − 1
converge a
3
4
·
lim
𝑛→+∞
2𝑛3. 2𝑛 𝑛∈ℕ = +∞ 2𝑛 𝑛∈ℕ diverge al +∞.
lim
𝑛→+∞
−𝑛44. −𝑛4 = −∞ −𝑛4 es divergente al − ∞.
5.
1
2
;
1
4
;
1
8
;
1
16
; . . . 𝑎𝑛 =
1
2
𝑛
lim
𝑛→+∞
1
2
𝑛
= 0
1
2
𝑛
converge a 0.
TEOREMAS
I. Si una sucesión es ACOTADA y MONÓTONA
entonces la sucesión es CONVERGENTE.
𝑥𝑛 =
1
𝑛
Ejemplo
=
1
1
; >
1
2
; >
1
3
; >
1
4
; . . .
Es monótona 0 < 𝑥𝑛 < 2y también es acotada ya que
Entonces es convergente
𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞 𝐚 𝐜𝐞𝐫𝐨
Observación 
Lo contrario no necesariamente se cumple.
−𝟏 𝒏
𝒏
= −𝟏;
𝟏
𝟐
; −
𝟏
𝟑
;
𝟏
𝟒
; …
La sucesión es CONVERGENTE pero NO MONÓTONA.
II. Toda sucesión CONVERGENTE es ACOTADA.
Ejemplo
=
1
2
;
1
22
;
1
23
;
1
24
; …𝑏𝑛 =
1
2𝑛
lim
𝑥→+∞
1
2𝑛
Notamos que = 0 entonces es acotada
0 < 𝑏𝑛 < 1
Observación 
Lo contrario no necesariamente se cumple.
−𝟏 𝒏 = −𝟏; 𝟏;−𝟏; 𝟏;…
Es ACOTADA −𝟐 < 𝒙𝒏< 𝟐, pero NO CONVERGE.
III. Sea la sucesión 𝒂𝒏 que converge a 𝑳 ∈ ℝ, se cumple:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
𝒂𝒏 = ⋯ = 𝑳= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
𝒂𝒏+𝟐= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
𝒂𝒏+𝟏
Aplicación
Se aplica principalmente cuando se tiene la relación
de recurrencia.
Si la sucesión convergente 𝑎𝑛 está definida por la
forma recursiva 𝑎1 = 0 y 2𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 1. Determine
el punto de convergencia de la sucesión.
Resolución 
Aplicando el teorema tres, tomaremos limite a la
forma recursiva.
2𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 1
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
2𝑎𝑛+1 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
𝑎𝑛 + 1
2 lim
𝑥→+∞
𝑎𝑛+1 = lim
𝑥→+∞
𝑎𝑛 + 1
= 𝐿 + 1
𝐿 = 1
∴ La sucesión converge a 1
2 𝐿
www.a c adem ia c e sa r v a l l e j o . e du . p e