Semestral Uni - Aritmética semana 02

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Magnitudes Proporcionales 
- Directamente Proporcionales
- Inversamente Proporcionales
ARITMÉTICA – SEM 2
Objetivos
• Conocer el concepto de Magnitud y Cantidad
• Conocer y aplicar las relaciones entre magnitudes:
Directa e Inversa
• Aplicar las propiedades de las magnitudes en
situaciones diversas de nuestro contexto TiempoRapidez
N° de artículos Gasto 
MAGNITUD CANTIDADIntroducción
Durante nuestra experiencia cotidiana,
encontramos varias magnitudes a nuestro alrededor, por
ejemplo: el tiempo que dormimos durante la noche, la
velocidad del bus donde nos desplazamos, la temperatura del
medio ambiente, etc. La mayoría de las magnitudes que
podemos identificar son susceptibles de ser medidas y
cuantificadas.
Se define como MAGNITUD MATEMÁTICA, a todo
aquello que tiene la propiedad de aumentar o disminuir y de
poder ser medido.
Se define como CANTIDAD al valor que toma la
magnitud en un determinado momento de análisis, es decir es
la cuantificación o medida de la magnitud.
Longitud
Peso
Volumen
N° de alumnos
10 m 30 cm 8 km
7 kg 450 gr 63 mg 
50 L
50 60
285 mL 
70
Algunos ejemplos de MAGNITUD NO
MATEMÁTICA, son: el dolor, la alegría, el cariño,
etc, dado que pueden variar de intensidad pero
no pueden ser medidos.
NOTA:
RELACIONES ENTRE DOS MAGNITUDES
1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE 
PROPORCIONALES (DP).
Dos magnitudes serán DP si al aumentar o disminuir
los valores de una de ellas, los valores de la otra
magnitud también aumentan o disminuyen en la
misma proporción.
Ejemplo Ilustrativo:
Carlos sale a pasear en su auto durante 2horas cada
día, si sus velocidades (rapidez) por día fueron de 10
km/h, 40 Km/h, 20 Km/h y 60 Km/h. ¿Qué distancia
recorrerá Carlos cada día?
𝑽 (Km/h)
2 horas
𝑫 (Km)
Del enunciado se tiene:
Distancia (Km)
Velocidad (Km/h)
x 4 ÷ 2
20
10
12040
60
x 4
80
40
÷ 2
20
x 3
x 3
Se observa que: Velocidad Distancia DP
En el cuadro se cumple:
Distancia:
Velocidad:
20
10
=
80
40
=
40
20
=
120
60
= 𝟐
En general:
Cuando 2 magnitudes son DP, la razón entre dos
valores correspondientes es igual a la razón de otros
dos valores correspondientes.
Es decir:
Si: A DP B (𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝐴")
(𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝐵")
= 𝑘(𝐶𝑡𝑒)
D (Km)
20
40
60
80
V (Km/h)10 20 6040
Graficando:
30 50
100
120
Se concluye que:
La gráfica de 2 magnitudes DP siempre es una recta
que pasa por el origen de coordenadas.
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA :𝒇 𝒙
Sabemos que:
𝑓(𝑥)
𝑥
= 𝑘 𝑓 𝑥 = 𝑘. 𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ
Siendo 𝑓 𝑥 una función de proporcionalidad directa se
tendría:
(𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝐴")
(𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝐵")
= 𝐶𝑡𝑒
Hacemos un cambio de variable:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒"A": 𝑓(𝑥)
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒"𝐵": 𝑥
𝐶𝑡𝑒: 𝑘
Costo (S/) Almacenamiento
Aplicación 1
El precio de una MEMORIA USB es proporcional a su
capacidad de almacenamiento. Así, un USB de 8 GB
cuesta S/25. ¿Qué capacidad tendrá un USB que cuesta
S/100?
Resolución
Se Deduce que:
DP
Piden: La capacidad del USB de S/80
Nota: Proporcional <> DP
(𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜)
(𝐴𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜)
= 𝑘(𝐶𝑡𝑒)
25
8
=
100
𝑥
→ x = 32
∴ La capacidad del USB de S/80 es de 32GB
25 8
𝑥100
Aplicación 2
Si 𝑓(𝑥)es una función de proporcionalidad directa y
además : 𝑓 2 + 𝑓 5 = 21; calcule H = 𝑓 3 . 𝑓
2
3
Resolución
Como 𝑓 𝑥 es función de 
proporcionalidad directa
𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥
Del dato:
𝑓 2 + 𝑓 5 = 21
→ 𝑘 = 3
Nos Piden:
∴
2𝑘 + 5𝑘 = 21
𝑓(𝑥) = 3𝑥
H = 𝑓 3 . 𝑓
2
3
H =
H = 9 × 2
= 𝟏𝟖
(3 × 3)(3 ×
2
3
)
𝐇
RELACIONES ENTRE DOS MAGNITUDES
2. MAGNITUDES INVERSAMENTE 
PROPORCIONALES (IP).
Dos magnitudes serán IP si al aumentar o disminuir
los valores de una de ellas, los valores de la otra
magnitud también disminuyen o aumentan en la
misma proporción.
Ejemplo Ilustrativo:
Pedro y Vilma están separados 120m, si él se dirige
hacia ella con velocidades (rapidez) de 1 m/s, 4 m/s, 2
m/s y 6 m/s. ¿Qué tiempo tardará Pedro, en cada caso
en estar junto a Vilma?
𝑽 (m/s)
T segundos
𝟏𝟐𝟎 (m)
Del enunciado se tiene:
Tiempo (s)
Velocidad (Km/h)
÷ 4 x 2
120
1
2060
6
x 4
30
4
÷ 2
2
x 3
÷ 3
Se observa que: Velocidad TiempoIP
En el cuadro se cumple:
(Veloc.)(Tiempo): (120x1)=(30x4) =(60x2)=(20x6)= 𝟏𝟐𝟎
En general:
Cuando 2 magnitudes son IP, el producto entre dos
valores correspondientes es igual al producto de otros
dos valores correspondientes.
Es decir:
Si: A IP B 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑑𝑒 "𝐴"
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑑𝑒 "𝐵"
= 𝑘(𝐶𝑡𝑒)
T (s)
V (m/s)
Graficando:
1 2 643 5
20
40
60
80
100
120
Se concluye que:
La gráfica de 2 magnitudes IP siempre es una rama de
Hipérbola Equilátera, que es cóncava al origen de
coordenadas.
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA : 𝒈 𝒙
Sabemos que:
(𝑔 𝑥 )(𝑥) = 𝑛 𝑔 𝑥 =
𝑛
𝑥
; ∀𝑥 ∈ ℝ
Siendo 𝑔 𝑥 una función de proporcionalidad inversa se
tendría:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑑𝑒 "𝐴"
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑑𝑒 "𝐵"
= 𝐶𝑡𝑒
Hacemos un cambio de variable:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒"A": g(𝑥)
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒"𝐵": 𝑥
𝐶𝑡𝑒: 𝑛
Bonificación N° de Faltas
Aplicación 3
La bonificación que recibe un empleado es inversamente
proporcional al número de faltas que tuvo durante el primer
semestre. Se sabe que Juan recibió S/ 1200 y faltó 5 veces,
¿Cuánto recibirá Bruno, si él tuvo solo 4 faltas?
Resolución
Se Deduce que:
IP
Piden: Cuanto recibirá Carlos
(Bonificación)(N° de faltas)= 𝑘(𝐶𝑡𝑒)
1200 x 5 → B =1500
∴ Bruno recibirá S/ 1500
S/ 1200 5
4B
Aplicación 4
Si 𝑔(𝑥)es una función de proporcionalidad inversa y
además : 𝑔 4 = 9; calcule E = 𝑔 3 + 𝑔 6
Resolución
Como 𝑔 𝑥 es función de 
proporcionalidad directa
𝑔 𝑥 =
𝑚
𝑥
Se tiene 𝑔 4 =
𝑚
4
= 9 𝑚 = 36 𝑔 𝑥 =
36
𝑥
Nos piden:
∴
= B x 4
Juan:
Bruno: E = 𝑔 3 + 𝑔 6
E =
36
3
+
36
6
E = 12 + 6
𝐄 =𝟏𝟖
CONCLUSIÓN:
Evaluando los 2 ejemplos anteriores
𝑽 (Km/h)
2 horas
𝑫 (Km)
Velocidad Distancia DP
¡El tiempo no varía!
(El tiempo es cte.)
𝑽 (m/s)
T segundos
𝟏𝟐𝟎 (m)
¡La distancia no varía!
Velocidad Tiempo IP (La distancia es cte.)
PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES.
Sean las magnitudes A, B, C y D, además: n ∈ ℝ
A DP B ↔ B DP A C IP D ↔ D IP Ci)
ii) A DP B ↔ 𝐀𝐦 DP 𝐁𝐦 C IP D ↔ 𝐂𝐧 IP 𝐃𝐧
iii)
Ejemplos 
A DP B ↔ A DP B2
Elevamos al cuadrado
• C
4 IP D2 ↔
Extraemos raíz cuadrada
• C
2 IP D
A DP B ↔ A IP
𝟏
𝐁
C IP D ↔ C DP
𝟏
𝐃
A IP B (C y D no varían)
A DP C (B y D no varían)
A DP D (B y C no varían)
A
C
B
D
×
×
cte.=
iv)
Aplicación 5
Resolución
Se sabe que A es proporcional a B , cuando C es constante y C
es inversamente proporcional a B, cuando A es constante.
Halle el valor de x + y, en el siguiente cuadro:
A x 8 4
B 54 y 12
C 2 16 4
Del enunciado:
A DP B
C IP B 
↔ A2 DP B B C×
cte. =
A2
12 4×
=
42
54 2×
=
x2
y 16×
=
82
3 
Reemplazando los valores:
Resolviendo: x = 3 y = 12
∴ x + y = 15
Aplicación 6
El sueldo de un empleado es proporcional a su eficiencia y a su
número de años de servicio. Luis tiene un sueldo mensual de
S/2400 con una eficiencia como 5 y cuenta con 6 años de servicio.
Determine cuál es el sueldo de Marco si la eficiencia de este es
como 8 y entró a trabajar 2 años después que Luís.
Resolución
Del enunciado:
Sueldo DP Eficiencia
Sueldo DP N° Años de servicio
(Sueldo)
(Eficiencia)(N° años de S.)
cte. =
Reemplazando los valores:
2400
5 6×
=
S
8 4×
80 =
S
32
∴ S = 2560
APLICACIONES DE LAS MAGNITUDES
1. RELACIÓN DE ENGRANAJES.
i) PARA RUEDAS ENGRANADA:
DA dientes
VA vueltas
A B
DB dientes
VB vueltas
DAxVA = DBxVB
ii) PARA RUEDAS UNIDAS POR UN MISMO EJE:
C
D
VC = VD
Aplicación 7
Una rueda A de 80 dientes engrana con otra rueda B de
60 dientes, fija al eje de B hay otra rueda C de 32
dientes. Si la rueda C da 100 vueltas, ¿cuántas vueltas
dará la rueda A?
Resolución
A B
C
80 dientes
60 dientes
32 dientes
100 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
100 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
VA vueltas
Para las ruedas A y B, se cumple:
80 x VA = 60 x 100
VA = 75n∴
VC vueltas
VD vueltas
=
B2
6
APLICACIONES DE LAS MAGNITUDES
2. REPARTO PROPORCIONAL. Aplicación8
Se reparte una bonificación de S/ 2900 en forma DP a los
años de servicios de tres trabajadores , las cuales son 8, 6
y 2 años, e IP al número de faltas durante el primer
semestre, los cuales son 6, 15 y 10. ¿Cuánto le
corresponderá a cada uno?
Es un procedimiento aritmético que consiste en repartir
una cantidad en partes que sean DP y/o IP a ciertos
números llamados índices. Así tenemos:
Repartir 600 en partes que sean DP a 5; 3 y 2:
i) REPARTO DIRECTO
→ 600 = P1 +P2 + P3
→
P1
5
=
P2
3
=
P3
2
=
600
10
= 60
P1 = 300
P2 = 180
P3 = 120
iI) REPARTO INVERSO
Repartir 600 en partes que sean IP a 15; 10 y 6:
→ 600 = PA +PB + PC
→ = PB× 10 = PC× 6PA × 15
30 30 30
→
PA
2
=
PB
3
=
PC
5
=
600
10
= 60
PA = 120
PB = 180
PC = 300
Resolución
→ 2100 = B1 +B2 + B3
→
B1
8
=
B3
2
× 6 × 15 × 10
× 𝟏𝟓 × 𝟏𝟓 × 𝟏𝟓
→
B1
20
=
B2
6
=
B3
3
=
2900
29
= 100
=
B2
2
→
B1
4
=
B3
1
× 3 × 5 × 5
B1 = 2000
B2 = 600
B3 = 300
APLICACIONES DE LAS MAGNITUDES
3. REGLA DE COMPAÑÍA.
Es un procedimiento aritmético que consiste en repartir
las utilidades (o pérdidas) que se obtiene al formar un
negocio, una empresa o una compañía, considerando el
capital aportado de cada socio y/o el tiempo que
estuvieron los capitales aportados. Se cumple que:
(GANANCIA Y/O PÉRDIDA)
(CAPITAL) (TIEMPO)
= CTE
Aplicación 9
Tres amigos se asocian para formar un negocio. El primero
aportó S/ 5000 y permaneció 6 meses, el segundo aportó
S/6000 y permaneció 8 meses y el tercero aportó S/9000 y
permaneció 10 meses. Si se obtuvo una ganancia de S/56000,
¿cuánto le corresponde a cada uno de ellos?
Resolución
Se tienen los datos:
SOCIO CAPITAL TIEMPO
A 5000 6
B 6000 8
C 9000 10
Además: 𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 + 𝐺𝐶 = 𝟓𝟔𝟎𝟎𝟎
𝐺𝐴
5000 × 6
=
𝐺𝐵
6000 × 8
=
𝐺𝐶
9000 × 10
2 2 3
𝐺𝐴
10
=
𝐺𝐵
16
=
𝐺𝐶
30
=
𝟓𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟔
= 𝟏𝟎𝟎𝟎
∴ 𝐺𝐴 = 10000 𝐺𝐵 = 10006
𝐺𝐶 = 30000
= CTE
APLICACIONES DE LAS MAGNITUDES
4. REALIZACIÓN DE UNA OBRA.
Es un procedimiento aritmético, en el cual se realiza una obra,
en determinadas condiciones (n° de días, n° de horas diarias de
trabajo, dificultad de la obra, etc.)
Se observa:
N° de obreros N° de días
Obra
Eficiencia de los obreros
Dificultad de la obra
N° de obreros
N° de obreros
N° de obreros
IP
DP
IP
DP
Se Cumple que:
N° de obreros N° h/dIP
(N° de obreros) (N° de días)(N° h/d)
(Obra) (Dificultad de la obra)
= CTE
(Eficiencia)
Aplicación 10
en 2horas el trabajo diario. ¿En cuántos días se termino
toda la obra?
Resolución
Un grupo de 20 obreros, trabajando 8h/d, pueden hacer una
obra en 45 días. Se sabe que cuando habían avanzado la tercera
parte de la obra, se contratan otros 5 obreros pero disminuyen
20 obreros 8h/d45 días
20 obreros 
8h/d
15 días 5 obreros 
25 obreros 
6h/d
T días
Como: (N° de obreros) (N° de días)(N° h/d)
(20)(45)(8) = (20)(8)(15) + (25)(6)(T)
T = 32
∴ La obra se terminó en 15+32 = 47
O B R A
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