Semestral Uni - Aritmética semana 10

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ANÁLISIS COMBINATORIO
- Principios de Conteo
- Técnicas de Conteo
- Permutación
ARITMÉTICA – SEM 10
Objetivos
• Recordar los principios de conteo y su aplicación
en situaciones concretas.
• Recordar y aplicar las diversas técnicas de conteo,
como la permutación.
• Resolver problemas aplicando adecuadamente los
principios y las técnicas de conteo .
Introducción
La combinatoria (o análisis combinatorio) es
una rama de las matemáticas perteneciente al área de
las matemáticas discretas, que estudia las distintas
formas de agrupar y ordenar los elementos de un
conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos
elementos.
Para desarrollar esta parte teórica es
importante conocer los principios de conteo tales como
el principio de adición y el principio de multiplicación,
posteriormente, debemos diferenciar y aplicar las
diversas técnicas de conteo, como son la permutación y
la combinación.
¿De cuantas maneras diferentes se
podrán sentar 4 personas en una banca?
En el presente capítulo resolveremos
situaciones como las indicadas a continuación:
¿De cuantas maneras
diferentes se podrán sentar
4 personas alrededor de
una mesa circular?
PRINCIPIOS DE CONTEO
1. PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si un acontecimiento A ocurre de “m” maneras
diferentes y otro acontecimiento B ocurre de “n”
maneras diferentes, entonces el acontecimiento A o B
( de manera excluyente) ocurrirá de:
“m + n” maneras diferentes
EJEMPLO :
Para el mes de julio del próximo año Luís desea viajar
al Cuzco, para lo cual dispone de 3 líneas aéreas
diferentes y 4 líneas terrestres diferentes. De cuantas
maneras diferentes Luís podrá realizar su viaje.
Número de 
maneras 
diferentes
= 3 4 + = 7
Por lo tanto , Luís tiene 7 maneras diferentes de realizar
dicho viaje.
Son eventos excluyentes, es decir 
o viaja por aire o viaja con tierra.
PRINCIPIOS DE CONTEO
2. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si un acontecimiento A ocurre de “m” maneras
diferentes y para cada uno de ellos otro
acontecimiento B ocurre de “n” maneras diferentes,
entonces el acontecimiento A y B ( de manera
simultánea o consecutiva) ocurrirá de:
“m x n” maneras diferentes
EJEMPLO :
Para salir a trabajar, la Srta. Jimena dispone para
vestirse de 4 blusas diferentes, 3 pantalones
diferentes y 2 pares de zapatos diferentes. De
cuantas maneras diferentes podrá vestirse Jimena
para salir a trabajar.
Número de 
maneras 
diferentes
= 4 3x = 24x 2 
Son eventos consecutivos y/o 
simultáneo
Por lo tanto , la Srta. Jimena tiene 24 maneras
diferentes de vestirse para ir a trabajar.
TÉCNICAS DE CONTEO
PERMUTACIÓN
Consiste en ordenar todos o parte de los elementos (u
objetos) de un conjunto, es decir en una permutación,
siempre INTERESA EL ORDEN de los elementos.
Se pueden presentar 3 casos:
1. PERMUTACIÓN LINEAL
Si tenemos n objetos distintos, P(n; r) o Pr
n
representa el numero de permutaciones de estos n
objetos tomados de r en r (r≤n) el cual se calcula
como:
Esta determinado por los diferentes ordenamientos en
forma LINEAL (horizontal o vertical).
Pr
n =
n!
n−r ! 1 ≤ r ≤ n
EJEMPLO 
Si tenemos 5 libros, de cuantas maneras se pueden
ordenar 3 de estos libros en un estante.
Sean A, B , C , D y E los libros.
Veamos algunas formas de como se pueden ubicar 3
libros en el estante:
A B C C D E D A B A C B . . .
=
N° formas de 
ordenar P
5
3
= 5!
2!
= 60
NOTA: Si tenemos n objetos distintos, P(n) representa el
numero de permutaciones de estos n objetos, el
cual se calcula como:
Pn
n =
n!
n−n !
= n!
Además se cumple:
APLICACIÓN 1
Una familia formada por papá (P), mamá (M) y sus 4
hijos: Abel (A), Benjamín (B), Carlos (C) y Dana (D) van al
cine y encuentran una fila de 6 asientos vacíos. De
cuantas maneras diferentes se podrán sentar….
1. … sin restricciones.
2. … si papá y mamá desean sentarse juntos.
3. … si papá y mamá no desean sentarse juntos.
4. … si papá y mamá desean sentarse a los extremos.
5. … si los 4 hermanos desean sentarse juntos.
6. … si sólo Dana desea sentarse entre sus padres.
RESOLUCIÓN
1. … sin restricciones.
P , M , A , B , C , D
N° MAN. =P6
6 =
6!
6−6 !
= 6! = 720
2. … si papá y mamá desean sentarse juntos.
Se ordenan 6 
elementos de 
6 en 6
P , M , A , B , C , D
N° MAN. =P5
5P2
2 = 5! 𝑥 2! = 240
Se ordenan 5 
elementos, luego 
se ordenan P y M
juntos
3. … si papá y mamá no desean sentarse juntos.
N° MAN. = = 6! – 5!2! = 480
4. … si papá y mamá desean sentarse a los extremos.
A , B , C , D
N° MAN. =P2
2x = 2! 𝑥 4! = 48
P6
6 – P5
5 P2
2
N° de casos 
totales
P y M se ubican 
a los extremos
P M
N° de casos en 
el que P y M se 
sientan juntos
P4
4
Se ordenan los 
hijos en el centro
5. … si los cuatro hermanos desean sentarse juntos.
P , M , A , B , C , D
N° MAN. = P3
3
xP4
4
= 3! x 4! = 144
6. … si sólo Dana desea sentarse entre sus padres.
Se ordenan 3 
elementos, luego 
se ordenan A, B, 
C y D
P , D , M , A , B , C
N° MAN. =P4
4xP2
2 = 4! x 2! = 48
Se ordenan 4 
elementos, luego 
se ordenan sólo P 
y M
2. PERMUTACIÓN CIRCULAR
Está determinado por los diferentes ordenamientos
de los elementos (u objetos) de un conjunto en forma
CIRCULAR.
El número de permutaciones de n objetos alrededor
de un circulo o cualquier figura cerrada (donde uno de
ellos se mantiene fijo), se calcula como:
Pn
c = n − 1 !
3 ≤ n
EJEMPLO 
De cuantas maneras diferentes se podrán sentar 4
personas A, B, C y D alrededor de una mesa circular.
B
C
A
D
P4
c = 4 − 1 ! = 3! = 6
APLICACIÓN 2
Una familia formada por papá (P), mamá (M) y sus 4
hijos: Abel (A), Benjamín (B), Carlos (C) y Dana (D) se van
de campamento. De cuantas maneras diferentes se
podrán sentar alrededor de una fogata….
1. … sin restricciones.
2. … si papá y mamá desean sentarse juntos.
3. … si papá y mamá no desean sentarse juntos.
4. … si los 4 hermanos desean sentarse juntos.
5. … si Dana y sus padres se sientan juntos.
6. … si sólo Dana desea sentarse entre sus padres.
RESOLUCIÓN
Además se cumple:
1. … sin restricciones.
N° MAN. = P6
𝑐 = 5! = 120
Se considera 
un elemento 
fijo de 
referencia
P
M
A
B
C
D
Se ordenan 5
elementos en
forma lineal
2. … si papá y mamá desean sentarse juntos.
P
M
A
B
C
D
Se ordenan 4
elementos en
forma lineal
N° MAN. = 4! = 48
Se ordenan 
P y M
JUNTOS
Se considera 
un elemento 
fijo de 
referencia
3. … si papá y mamá no desean sentarse juntos.
4. … si los 4 hermanos desean sentarse juntos.
P
M
A
B
C
D
Se ordenan 2
elementos en
forma lineal
N° MAN. = 2! = 48
Se ordenan 
A, B, C y D
JUNTOS
Se considera 
un elemento 
fijo de 
referencia
N° MAN. = = 725! – 4! X 2!
N° de casos 
totales
N° de casos en 
el que P y M se 
sientan juntos
= 120 – 48
x 2! x 4!
5. … si Dana y sus padres se sientan juntos.
N° MAN. = 3! x 3! = 36
Se considera 
un elemento 
fijo de 
referencia
P
M
A
B
C
D
Se ordenan 3 
elementos en 
forma lineal
6. … si sólo Dana desea sentarse entre sus padres.
D
M
A
B
C
P
Se ordenan 3
elementos en
forma lineal
N° MAN. = 3! = 12
Se ordenan 
P y M
D entre 
M y PSe considera 
un elemento 
fijo de 
referencia
JUNTOS
6 x 6 =
3. PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS
Está determinado por los diferentes ordenamientos de n
elementos en los cuales hay elementos repetidos.
El número de permutaciones diferentes de n
objetos tomados todos a la vez; de los cuales, hay m
objetos iguales entre si y otros q objetos iguales entre si,
se calculará como:
P(m;q)
n =
n!
m!x q!
Además se cumple:
m + q = n
EJEMPLO
¿Cuántas palabras con sentido o no se pueden obtener
con todas las letras de la palabra PAPELERA?
El total de letras de la palabra papelera son 8, de los
cuales 2 son P, 2 son A, 2 son E, 1 es L y 1 es R, entonces:
Numero de 
palabras
8!
2!× 2! × 2!
=
× 1! × 1!
= 5040
x 2!
APLICACIÓN 3
Juan tiene 9 esferas del mismo tamaño y textura: 4 rojas,
3 amarillas y 2 verdes. Si los desea ordenar todas en fila
sobre una repisa, de cuantas maneras diferentes lo podrá
hacer….
1. … sin restricciones.
2. … si las esferasverdes deben estar a los extremos.
3. … si las cuatro esferas rojas deben estar juntas.
4. … si dos de las esferas amarillas deben estar a los extremos.
5. … si dos esferas rojas no deben estar una al lado de la otra.
RESOLUCIÓN
1. … sin restricciones.
9 esferas
N° MAN. =
4 rojas 3 amar. 2 verdes
9!
4!x 3!x 2!
= 1260
N° MAN. =
4 rojas y 3 amarillas
7!
4!x 3!
= 35
Esferas verdes
2. … si las esferas verdes deben estar a los extremos.
C U R S O D E A R I T M É T I C A
R A Z . 
6 elementos
N° MAN. = 60
N° MAN. =
4 rojas y 1 amarilla y 2 verdes
7!
4!x 1!x2!
= 105
Esferas amarillas
4. … si dos de las esferas amarillas deben estar a los extremos.
3. … si las cuatro esferas rojas deben estar juntas.
6!
1!x 3!x 2!
=
juntas
5. … si dos esferas rojas no deben estar una al lado de la otra.
Se ordenan las 5 esferas
Se ordenan las 4 esferas rojas en esos 6 lugares
N° MAN. =
5!
3! x 2!
x
6!
4! x 2!
= 10 x 15 = 150
BIBLIOGRAFÍA
❑ Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
❑ Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
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