Semestral Uni - Aritmética semana 14

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TEORÍA DE DIVISIBILIDAD II
- Ecuaciones Diofánticas
- Restos Potenciales
- Criterios de Divisibilidad
ARITMÉTICA – SEM 14
Objetivos
• Recordar como resolver una ecuación Diofánticas
usando conceptos de divisibilidad
• Recordar como calcular los restos potenciales de
un entero respecto a un módulo
• Aplicar los criterios de divisibilidad en la resolución
de problemas.
Introducción
Diofanto de Alejandría tuvo renombre gracias a
la publicación de su Obra Aritmética, en la cual mostró el
estudio de como resolver ecuaciones racionales usando
la teoría de divisibilidad, motivo por el cual, este
procedimiento de solución lleva su nombre.
Un método para resolver algunas ecuaciones
exponenciales, es usando el concepto de los restos
potenciales, los cuales se apoyan en la teoría de
divisibilidad para encontrar un conjunto solución.
Los criterios de divisibilidad son importantes
en la teoría del número ya que es uno de sus pilares,
fundamentales. En este capitulo recordaremos estos
conceptos y como aplicarlos en situaciones reales de
nuestro contexto
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Son aquellas ecuaciones cuyas constantes son
números enteros y cuyas variables (incógnitas) también
representan números enteros. En particular trataremos
ecuaciones lineales de hasta con tres incógnitas.
Ecuación Diofánticas con dos incógnitas. 
Es de la forma:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶
en la cual 𝐴; 𝐵; 𝐶; 𝑥; 𝑦 ⊂ ℤ
APLICACIÓN 1 
Luís es un comerciante y desea adquirir dos
prendas de vestir cuyos costos son S/31 y S/13 cada
una. Si quiere invertir S/ 1320 en la compra, ¿con
cuantas opciones de compra contará Luís?. Considere
que invierte todo su dinero.
RESOLUCIÓN 
Sea lo que compró:
N° de prendas: 𝑎 𝑏
Costo de c/u: 𝑆/ 31 𝑆/ 13
Del enunciado se tiene:
31𝑎 + 13𝑏 = 1320
Lo expresamos en función del módulo 13:
13 + 5 𝑎
°
+ 13
°
= 13 + 7°
5𝑎 = 13 + 7° + 𝟏𝟑 (÷ 𝟓)
𝑎 = 13 + 4°
Evaluando:
31𝑎 + 13𝑏 = 1320
4 92
17 61
30 30
Por lo tanto hay sólo 3 opciones de 
compra
RESTOS POTENCIALES (R.P.)
Son los diferentes residuos positivos que se obtiene al
analizar las potencias consecutivas de un número entero
positivo, con respecto a cierto módulo
Ejemplo:
Evaluemos los Restos potenciales de 4 respecto al módulo 7:
42 = 7 + 2°
41 = 7 + 4°
40 = 7 + 1°
45 = 7 + 2°
44 = 7 + 4°
43 = 7 + 1°
G = 3
G = 3
Se concluye
43k =
43k+1 = 
43k+2 =
⁞
Así tenemos
4301 = 7 + 4°
4602 = 7 + 2°
4900 = 7 + 1°
GAUSSIANO
46 = 7 + 1°
47 = 7 + 4°
APLICACIÓN 2 
Si se cumple que 3ab = 13 + 9°
Calcule: E = abmá𝑥 − abmí𝑛
RESOLUCIÓN 
30 = 13 + 1°
31 = 13 + 3°
32 = 13 + 9°
33 = 13 + 1°
G = 3
⁞
Se concluye
33K = 13 + 1°
33K+1 = 13 + 3°
33K+2 = 13 + 9°
Se observa que:
Reemplazando: abmín =
abmá𝑥 =
E = 98 – 11 = 87
Evaluemos los R.P. de 3 respecto al módulo 13:
ab = 3k + 2
3 3 + 2 = 11
3 32 + 2 = 98
7 + 1
°
7 + 4
°
7 + 2
°
OBSERVACIONES
1. Todo número que termina en 5 elevado a un
exponente entero positivo, siempre terminará en 5
(. . . 5)𝐾= . . . 5 ; K∈ Ζ+
2. Todo número que termina en 6 elevado a un
exponente entero positivo, siempre terminará en 6
(. . . 6)𝐾= . . . 6 ; K∈ Ζ+
3. Todo número impar que no termina en 5 al ser
elevado a una potencia entero positiva y múltiplo de 4 ;
terminará en cifra 1.
(. . . 𝑛)4𝐾= . . . 1 ; K∈ Ζ+ y 𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑛 ≠ 5
4. Todo número par al ser elevado a una potencia entero
positiva y múltiplo de 4 ; terminará en cifra 6.
(. . . 𝑛)4𝐾= . . . 6 ; K∈ Ζ+ y 𝑛: 𝑝𝑎𝑟
5. Todo número impar al ser elevado a un exponente par
positivo; será 8 + 1.
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟= 8 +1
APLICACIÓN 3 
Determine en que cifra termina :
E = 73 95 + 10813 + 20122013 + 𝑎𝑏𝑐15𝑠𝑐𝑣2021 +𝑚𝑛𝑝356𝑢𝑛𝑖2021
RESOLUCIÓN 
Teniendo en cuenta las observaciones tendremos
• 7395 = 7392 × 733 = . . . 1 × . . . 7 = . . . 7
• 10813 = 10812 × 1081 = (. . . 6) × (. . . 8) = . . . 𝟖
• 20122013 = 20122012 × 20121 = . . . 6 × . . . 2 = . . . 𝟐
• 𝑎𝑏𝑐15𝑠𝑐𝑣2021 = . . . 𝟓
• 𝑚𝑛𝑝36𝑢𝑛𝑖 2021 = . . . 𝟔
Reemplazando en E
E = . . . 7 + . . . 8 + . . . 2 + . . . 5 +. . . 6 = . . . 𝟖
Por lo tanto E termina en cifra 𝟑
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
2° abcd = 2 + 𝑑°
4° abcd = 4 + cd
°
8° abcd = 8 + bcd°
5° abcd = 5 + 𝑑°
25° abcd = 25 + cd
°
125° abcd = 125 + bcd°
3° abcd = 3 + a + b + c + d
°
9° abcd = 9 + a + b + c + d
°
11° abcd =
- + - +
7°
abcdef =
-2-3-1 2 3 1
7 + f + 3a + 2d – c – 3b - 2°
13° abcdef =4 3 -1-4-3 1
13 + f – 3e – 4d – c + 3b + 4a
°
33° abcde = 33 + de + bc +a°
99° abcde = 99 + de + bc + a°
(n-1)
° = n − 1 + e + d + c + b + a°abcden
(n+1)
° = n + 1 + e – d + c – b + a°abcden
+ - + - +
9 + d − c + b − a
°
APLICACIÓN 4 
Si los números abc ; b2b y bcc son divisibles por
11, 9 y 7 respectivamente, halle a x b + c
RESOLUCIÓN 
Del segundo número: b2b
∘
= 9 9 
∘
=2b + 2 
9 
∘
=2b − 2 
9 
∘
=b − 1
8=b 
En el tercer número: 7 8 c c
∘
=
132
7 
∘
=4c + 16 
7 
∘
=4c − 16 
7 
∘
=c − 4 
3 =c 
En el primer número: 11a 8 3 =
+-+
∘
11 
∘
=a − 5
5=a 
Por lo tanto: a x b + c = 5 x 8 + 3 es 43
APLICACIÓN 5 
Calcule la suma del mayor y menor número de la forma
𝑚𝑛𝑛𝑚 ,si se sabe que es múltiplo de 28.
RESOLUCIÓN 
Se sabe que: 𝑚𝑛𝑛𝑚= 28
4
=
7
• Si 𝒏 = 0 𝑚 0 0 𝑚 4=
4
8
𝑚𝑛𝑛𝑚 = 4004 
𝑚𝑛𝑛𝑚 = 8008 mayor
• Si 𝒏 = 7 𝑚 7 7 𝑚 4=
2
6
𝑚𝑛𝑛𝑚 = 2772
𝑚𝑛𝑛𝑚 = 6776 
menor
Por lo tanto la suma del mayor y menor valor 
es: 
8008 + 2772 = 
Se observa que: 
10 780
10 780
APLICACIÓN 6 
RESOLUCIÓN 
Determine cuantos números de tres cifras que son
divisibles por 11, tienen por suma de sus cifras igual a 15
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Del enunciado: ab𝑐 = 11
°
+ - +
a + c – b = 11°
a + b + c = 15Por dato: a + c = 15 – b
. . . ( α )
. . . ( β )
( β ) en ( α ) : 15 – 2b = 11°
b = 2
En (β ) : a + c = 13
4 9
5 8
6 7
7 6
8 5
9 4
6 valores
4 – 2b = 11°
2 – b = 11°
Por lo tanto existen 𝟔 números que cumplen la condición
(EXAMEN UNI 2018 – II) APLICACIÓN 7 
Halle un número de la forma ab1ba tal que sea 44. Dar
como respuesta el residuo que se obtiene al dividir dicho
número entre 5.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
°
RESOLUCIÓN 
Del enunciado: ab1ba = 44°
4
°
11
°
* ab1ba = 11°
“a” es PAR
+ - + - +
1+2a – 2b = 11°
2a – 2b = 11 – 1 ° + 11 (÷ 2)
a – b = 11 + 5 °
Evaluando: a – b = – 6 a – b = 5
2 8 6
8
1
3
ba = 82 ba = 16
ba = 38
ba = 44°
Finalmente: ab1ba = 5 + r°
5 + 1
°
Reemplazando: 61116 =
Por lo tanto el residuo es 𝟏
(EXAMEN UNI 2019 – I)
BIBLIOGRAFÍA
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
 Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
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