Semestral Uni - Aritmética semana 16

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MCD – MCM 
- Definición de MCD y MCM
- Métodos de cálculo del MCD y MCM
- Propiedades del MCD y MCM
ARITMÉTICA – SEM 16
OBJETIVOS DE LA SESIÓN 
INTRODUCCIÓN
En el proceso de lotizar terrenos o parcelas de cultivo considerando los lados del
terreno bajo ciertas condiciones; será importante la aplicación del MCD.
Al igual que para poder fabricar cajas para envasar jabones u otros productos es
importante tener en cuenta las dimensiones de los mismos y las medidas de la
caja que se podría utilizar para el envase; en cuyo caso se utilizara el MCM.
Máximo Común Divisor ( MCD )
El Máximo Común Divisor de un grupo de números cumple 
las dos condiciones siguientes :
 Es un divisor común de dicho grupo de números
 Es el mayor posible de dichos divisores comunes
Ejemplo: Calcular el máximo común divisor de 12 y 18
Resolución
12 :
18 :
1,2,3,4,6,12
1,2,3,6,9,18
divisores
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠
: 1 , 2 , 3 , 6
mayor
MCD(12;18) = 𝟔
Se observa:
1. EL MCD es un número que esta contenido en los números
12= 6.(2)
18= 6.(3)
∴
• Por Descomposición Simultánea
Ejemplo: Calcule el MCD de 48 y 132.
Resolución:
Métodos para calcular el MCD:
48 − 132 2
24 66− 2
12 33− 3
4 11−
Son PESI
∴
MCD 48 ; 132 = 2 2 3xx
MCD 48 ; 132 = 12
→
2. (divisores comunes) <> (divisores del MCD)
×
• Por Descomposición Canónica
Para el MCD se considera: 
48
132
 Divisores primos comunes
 Elevados a sus menores exponentes
𝑀𝐶𝐷 48,132 = 2
2
= 12
Ejemplo: Calcule el MCD de 48 y 132.
Resolución:
= 24 31×
= 22 31 111× ×
× 3
1
…(D.C)
…(D.C)
Aplicación 1
Se requiere hacer un falso techo con piezas cuadradas de
drywall, todas de igual dimensión, para un salón de baile
rectangular de 12 m de largo por 10 m de ancho. ¿Cuál es
la mínima cantidad de piezas de drywall que se deberán
usar de modo que solo se utilicen piezas enteras en el
falso techo?
10 𝑚
12 𝑚
𝑑 𝑑 𝑑 𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
Resolución:
Se observa :
 𝑑 es un divisor común de 10 y 12
 𝑑 es máximo (porque la cantidad de piezas es mínima)
𝑑 = MCD(10 ; 12) = 𝟐
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠
=
10
2
12
2
× = 5 6× = 30
Luego :
. . .. . .
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Mínimo Común Múltiplo(MCM)
El Mínimo Común Múltiplo de un grupo de números cumple 
las dos condiciones siguientes :
 Es un múltiplo común Ζ+ , de dicho grupo de números
 Es el menor posible de dichos múltiplos comunes Ζ+
Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de 12 y 18
Resolución
12 :
18 :
12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,…
18,36,54,72,90,108,126,144,…
Múltiplos Ζ+
36 , 72 , 108 , 144 , …
menor
MCM(12;18) = 𝟑𝟔
Se observa:
2. (múltiplos comunes) <> (múltiplos del MCM)
Múltiplos
𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠
∶
∴
36= 12.(3)
36= 18.(2)
• Por Descomposición Simultánea
Ejemplo: Calcule el MCM de 48 y 132.
Resolución:
Métodos para calcular el MCM:
48 − 132 2
24 66− 2
12 33− 3
4 11−
∴ MCM 48 ; 132 = 528
→
2
2 11− 2
1 11− 11
1 1−
MCM 48 ;132 = 2 2 3 2 2 11xx xx x
×
1. EL MCM es un número que contiene a los números
• Por Descomposición Canónica
Para el MCM se considera: 
48
132
 Todos los divisores primos
 Elevados a sus mayores exponentes
𝑀𝐶𝐷 48,132 = 2
4
= 528
Ejemplo: Calcule el MCM de 48 y 132.
Resolución:
= 24 31×
= 22 31 111× ×
× 3
1
…(D.C)
…(D.C)
× 11
1
En un aeropuerto, hay dos líneas aéreas que
realizan vuelos a Cartagena, en Colombia. Una de
las líneas realiza vuelos cada 45 minutos y la otra
cada 30 minutos. Si a las 8:00 a.m. coinciden en la
hora de despegue por primera vez, ¿a qué hora
volverán a coincidir en la hora de despegue?
Aplicación 2
. . .
30 30 30 30 30
. . .45 45 45𝐴:
𝐵:
1𝑟𝑎 coincidencia 2𝑑𝑎 coincidencia
𝑡
8: 00 𝑎𝑚
Resolución:
Se observa :
 𝑡 es un múltiplo común de 30 y 45
 𝑡 es mínimo (para que vuelvan a coincidir)
𝑡 = MCM(30 ; 45) = 90∴
ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑜𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
= 9: 30 𝑎𝑚
minutos <> 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
9: 30 𝑎𝑚
¿?
• Por Divisiones Sucesivas
Calcule el MCD de 280 y 128
𝟏𝟐𝟖𝟐𝟖𝟎
 Solo para el MCD de 2 números
 También se le denomina el Algoritmo de Euclides
2 5 3
24
24
8
8
0
cocientes
residuos
𝑀𝐶𝐷 280,128 = 8
Ejemplo:
𝑀𝐶𝐷
∴
÷
Aplicación 3
Se tienen 2 números A y B. Al calcular el MCD de A y B
por el algoritmo de Euclides se obtuvo los cocientes 1,
3 y 4. Halle el menor de dichos números, dado que A +
B = 1350.
Resolución:
Piden: El menor de dichos números.
Sabemos que: 
𝑩𝑨
1 3 4
4𝑑
4𝑑
𝑑
𝑑
0
𝑀𝐶𝐷 𝐴;𝐵 = 𝑑
= 13𝑑= 17𝑑
Además : 
𝐴 + 𝐵 = 1350
17𝑑 + 13𝑑 = 1350
30𝑑 = 1350
𝑑 = 45
𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑙𝑜𝑠
= 𝐵 = 13(45)
= 585
×
+
Propiedades
MCM 𝐴 ;𝐵 = 𝑑 𝒑 𝒒xx
xx→ 𝐴 = 𝑑 𝒑 y 𝐵 = 𝑑 𝒒 ; 𝒑 y 𝒒 son PESI
Además :
Si MCD 𝐴 ;𝐵 = 𝑑
Para dos números enteros positivos 𝑨 y 𝑩
MCD 𝐴 ;𝐵 MCM 𝐴 ;𝐵𝐴 𝐵 =x x
Si 𝐴 y 𝐵 son PESI, se cumple que:
MCM 𝐴 ;𝐵MCD 𝐴 ;𝐵 = 𝐴 𝐵x1 y =
Si MCD 𝐴 ; 𝐵 ; 𝐶 = 𝑑
Se cumple que:
MCD 𝐴 𝒌 ;𝐵 𝒌 ; 𝐶 𝒌 = 𝑑 𝒌x xx x ; 𝒌 ∈ ℤ+
MCD
𝐴
𝒏
;
𝐵
𝒏
;
𝐶
𝒏
=
𝑑
𝒏
; 𝒏 ∈ ℤ+
Para dos o más números enteros positivos 
𝐴
Si:
Se cumple que:
MCD 𝐴 ;𝐵 ; 𝐶 = 𝑘
MCD( 𝛼 ; 𝛽 ; 𝛾 )
− 1
𝐴 = 𝑘 − 1; 𝐵 = 𝑘 − 1 y 𝐶 = 𝑘 − 1
𝛼 𝛽 𝛾
Aplicación 5
Sean 𝐴 = 333…37
20 cifras
𝐵 = 333…37
30 cifras
y
Calcular la suma de cifras del MCD de A y B al ser
expresado en la base 7
Resolución:
Piden: calcular la suma de cifras del MCD(A,B)
Sea:
𝐻 = 𝑀𝐶𝐷(𝐴,𝐵)
2𝐻 = 𝑀𝐶𝐷(2𝐴, 2𝐵)
2𝐻 = 𝑀𝐶𝐷(720 − 1, 730 − 1)
2𝐻 = 7𝑀𝐶𝐷(20,30) − 1
2𝐻 = 710 − 1
2𝐻 = 666…67
10 cifras
𝐻 = 333…37
Por lo tanto, la suma de cifras es 30
2𝐻 = 𝑀𝐶𝐷(66…67, 66…67)
20 cifras 30 cifras
10 cifras
Aplicación 4
Si 𝑀𝐶𝐷 𝑛 − 1 ; 𝑛 + 1 ; 𝑛 = 𝑛 − 33 ; determine la
suma de cifras de 𝑛.
Resolución:
Piden: la suma de cifras de 𝑛.
𝒏 − 𝟏 ; 𝒏 ; 𝒏 + 𝟏 por ser consecutivos son PESI.
Propiedad:
𝑀𝐶𝐷 𝑛 − 1 ; 𝑛 + 1 ; 𝑛 = 𝑛 − 33
1
𝑛 = 34
Por lo tanto, la suma de cifras de 𝒏 es 7
Sabemos que: 
BIBLIOGRAFÍA
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
 Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e