Semestral Uni - Geometría semana 03

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SEMANA 03
GEOMETRIA
CUADRILÁTEROS
OBJETIVOS
- Analizar como se pueden ampliar los conceptos dados para el
triángulo, a figuras poligonales de 4 lados o más.
- Clasificar a los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados y conocer sus
diferentes teoremas.
- Aplicar lo aprendido en la resolución de problemas tipo examen de
admisión.
El cuadrilátero, es quizás de todos los
polígonos, despúes del triángulo, el que
presenta mayor importancia por su utilidad, y
es que se encuentra presente en todo, por
ejemplo en las formas de las construcciones,
en la forma de optimización de espacios. Sus
diferentes tipos como el trapecio, presentan
especial interés no solo por su forma artística
sino también por sus propiedades físicas como
la de soportar una carga considerable al ser
usado en las construcciones.
EL CUADRILÁTERO
Es aquella figura geométrica determinada por cuatro puntos no colineales denominados vértices y que se forma al unirlos 
mediantes segmentos de línea recta conocidos como lados del cuadrilátero, de modo que encierran una única región plana.
EL CUADRILÁTERO
A
B
C
D
𝜀2
𝜀3𝜀4
𝜀1
θ
β
α 𝛾
LADOS
𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 ,𝐷𝐴
VÉRTICES
A, B, C, D
DIAGONALES
𝐴𝐶, 𝐵𝐷
MEDIDAS ANGULARES
Interiores: 
𝛼, 𝛽, 𝜃, 𝛾
Exteriores: 
𝜀1, 𝜀2, 𝜀3, 𝜀4
Región interior
Región cuadrangular
{Reg. Interior}∪{𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 ,𝐷𝐴}
TEOREMA
𝛼 + 𝛽 + 𝜃 + 𝛾 = 360°
TEOREMA
𝜀1+ 𝜀2+ 𝜀3+ 𝜀4 = 360°
TRAPEZOIDE
A
B
C
D
𝐴𝐵 ∦ 𝐶𝐷
𝐵𝐶 ∦ 𝐴𝐷
Trapezoide Simétrico
D
C
B
A
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑚
𝑚
Una diagonal es mediatriz de la 
otra diagonal
DUDENEY
Una cartulina tiene la forma de una región triangular equilátera,
¿ puede usted realizar cortes rectos en ella, de modo que con
todas las piezas obtenidas se pueda armar una región
cuadrada?
cortar
ubicar
El autor de este rompecabezas fue el matemático ingles Henry 
Dudeney 1857 - 1930
UNI 2010-I
𝐴) 90° B) 100° C) 105°
D) 110′ E) 115
SOLUCIÓN
En un cuadrilátero ABCD, las prolongaciones
de los lados BA y CD se intersecan en M (A ∈
BM) y las prolongaciones de los lados AD y BC
se intersecan en N (C ∈ BN). Si los ángulos BAD
y BCD miden 70° y 80° respectivamente,
determine el ángulo que forman las bisectrices
interiores de los ángulos AMC y ANC.
CLAVE: C
Piden: 𝑥
Teorema A
B
C
D
M
N
𝜃
𝜃
𝛼
𝛼
70°
80°
𝑥
a
b
En 𝐴: 𝑎 = 110°
En C: 𝑏 = 100°
Observamos la figura
𝐴𝑀𝐷𝐶𝑁:
𝑥 =
𝑎 + 𝑏
2
𝑥 = 105°∴
𝑥 =
110° + 100°
2
Es aquel cuadrilátero que tiene únicamente dos lados paralelos
EL TRAPECIO
A
B C
D
BASES
LATERALES
ALTURA
BASE MEDIA
𝐵𝐶 𝑦 𝐴𝐷
𝐴𝐵 𝑦 𝐶𝐷
ℎ
𝑀𝑁
ℎ𝑀 𝑁
𝑛 𝑚
𝑚𝑛
El Trapecio escaleno El Trapecio rectángulo El Trapecio isósceles
A
B C
D
𝑎 ≠ 𝑏
𝑎 𝑏
A
B C
D
𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶 𝑦 𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐷
𝑚
𝑚
𝑎
𝑏
𝑎 =b
A
B C
D
𝑎 𝑏
𝜃𝜃
𝑎 = 𝑏
TEOREMA
de la base media
A
B C
D
x
𝑎
𝑏
𝑚
𝑚
𝑛
𝑛
𝑥 =
𝑎 + 𝑏
2
Del segmento que une los puntos medios de las 
diagonales 
A
B C
D
x
𝑎
𝑏
𝑚
𝑚
𝑛
𝑛
𝑥 =
𝑏 − 𝑎
2
TEOREMA
DEMOSTRACIÓN PUNTOS MEDIOS DE LAS DIAGONALES
A
B C
D
x
𝑏
𝑚
𝑚
𝑛
𝑛
Trazamos CL
L
NM
∆𝐵𝐶𝑁 ≅ ∆𝐷𝐿𝑁 (A-L-A)
𝑎
CN = NL y LD = a
𝑥 =
𝐴𝐿
2
∆𝐴𝐶𝐿: MN es base media
De allí: 
𝑥 =
𝑏 − 𝑎
2
𝑎𝑏 − 𝑎
UNI 2001-I
𝐴) 3 B) 6 C) 12
D) 9 E) 15
SOLUCIÓN
Sea ABCD un cuadrilátero, donde
𝐵𝐶//𝐴𝐷; sea P∈ 𝐵𝐶, 𝐴𝑃 es bisectriz del
ángulo BAD; suponga también que 𝐷𝐶 es
bisectriz exterior del ángulo ෡𝐷 del
triángulo ABD. Si 𝐵𝐷 - 𝐴𝐵=3; determine
la longitud de 𝑃𝐶.
Teorema
P
D
CB
A
𝑏 𝑥
𝜃
𝜃
𝛼
𝛼
𝛼
𝜃
Dato: 𝒂 − 𝒃 = 𝟑
𝑎
𝑏
Ya que: 𝐵𝑃 ∥ 𝐴𝐷 𝑚∢𝐵𝑃𝐴 = 𝑚∢𝑃𝐴𝐷 = 𝛼
∆𝐴𝐵𝑃: 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 𝐵𝑃 = 𝐵𝐴 = 𝑏
Ya que: 𝐵𝑃 ∥ 𝐴𝐷 𝑚∢𝐵𝐶𝐷 = 𝜃
∆𝐷𝐵𝐶: 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 = 𝑎
𝑎
Se sigue que 𝑥 = 𝑎 − 𝑏
CLAVE: A
𝑥 = 3∴
Es aquel cuadrilátero que tiene sus pares de lados opuestos paralelos entre sí
EL PARALELOGRAMO
A
B C
D
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
O
𝜃
𝛼
LADOS OPUESTOS 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷
ÁNGULOS OPUESTOS 𝛼 = 𝜃
DIAGONALES 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂 = 𝐶𝑂 = 𝑂𝐷
O: centro geométrico del 
paralelogramo
El Rectángulo
Es un cuadrilátero equiángulo
A
B C
D
𝑎
𝑎 𝑎
𝑎
Sus diagonales tienen igual longitud
Se determinan triángulos isósceles
El Rombo
A
B
C
D
𝑎
𝑚
𝑎
𝑚
Es un cuadrilátero equilátero
𝑎
𝑎
Sus diagonales son mediatrices entre sí
𝑛𝑛
Sus diagonales son bisectrices
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
El Cuadrado
Es un cuadrilátero equilátero y equiángulo
Las diagonales son perpendiculares entre sí
A
B C
D
45°
45°
Sus diagonales son bisectrices
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
TEOREMA
CUADRADO
A
B C
D
P
Q
M
NMN = 𝑃𝑄
TEOREMA
CUADRADO
𝜃
𝜃
B
A
C
D
P
PB =PD
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A)
B)
Si un cuadrilátero tiene diagonales
perpendiculares, necesariamente
limitará una región convexa.
Romboide es el paralelogramo que
no es equilátero ni equiángulo.
todo cuadrilátero equilátero no es
un rombo.
Si un cuadrilátero tiene dos lados
ubicados en rectas paralelas,
entonces es un trapecio.
C)
D)
Falso : todo cuadrilátero equilátero es un 
rombo.
Falso, un cuadrilátero de región no 
convexa puede también tener diagonales 
mutuamente perpendiculares.
Verdadero: ya que sus parejas de lados 
serán diferentes así como sus medidas 
angulares serán distintas de 90°
Falso. Ya que dichos lados deben ser 
diferentes
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
UNI 1999-I
𝐴) 40 B) 25 C) 30
D) 23 E) 20
SOLUCIÓN
Halle el menor perímetro posible para un
rectángulo si se quiere que dicho
rectángulo tenga área 100 𝑢2.
CLAVE: A
Piden: 2 𝑎 + 𝑏 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑎
𝑏
Por condición: 𝑎𝑏 = 100
Sabemos que: 𝑀. 𝐺.≤ 𝑀. 𝐴.
𝑎𝑏 ≤
𝑎 + 𝑏
2
Se sigue : 20 ≤ 𝑎 + 𝑏 40 ≤ 2(𝑎 + 𝑏)
2 𝑎 + 𝑏 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 40∴
Teorema
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
2
𝑎 𝑏
𝑎𝑏 ≤
𝑎 + 𝑏
2
SUGERENCIAS 
ADICIONALES
Recomendaciones a situaciones frecuentes
En todo trapecio isósceles:
Se verifica que:
Las diagonales determinan ángulos
congruentes con las bases.
Sugerencia:
SEMESTRAL UNI 2021
A
B C
D
𝑎 𝑎
A
B C
D
𝑎
𝑎
𝜃𝜃
𝜃𝜃
Sugerencia:
En todo trapecio isósceles:
Se recomienda:
A
B C
D
𝑎
𝑎
x y
A
B C
D
𝑎 𝑎
𝑇𝑟𝑎𝑧𝑎𝑟
Ya que ambas perpendiculares de-
terminan congruencia: 𝑥 = 𝑦
Sugerencia:
ABCD: Cuadrado
A
B C
D
ℒ
Es recomendable trazar las perpendiculares
Las regiones sombreadas son congruentes
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
www.a cadem i a ce s a r v a l l e j o . e du . pe