Semestral Uni - Geometría semana 05(1)

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FIGURAS INSCRITAS Y 
CIRCUNSCRITAS
GEOMETRÍA 
SEMANA 05 
OBJETIVOS
1 Resaltar la importancia de relacionar y estudiar las posiciones de una figura respecto de otra.
3 Fortalecer en el estudiante los criterios que debe tener encuenta para la resolución de problemas tipo admisión . 
2
Reconocer de manera gráfica ,mediante relaciones 
angulares y/o métricas a una figura inscrita o circunscrita 
y sus respectivos teoremas .
La posición relativa de un
objeto respecto de otro, suele
generalmente tener una importancia
fundamental, quizás para la misma
estructura del objeto como pieza dentro
de alguna maquinaria, por ejemplo esto
se aprecia en los sistemas de relojes.
En otras ocasiones se debe su
importancia en la capacidad de sostener
o sujetar un objeto a otro.
FIGURAS INSCRITAS Y CIRCUNSCRITAS
Si un cuadrilátero 
tiene 
circunferencia 
inscrita 
y circunscrita ¿Es 
necesariamente 
un cuadrado?
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITARESPECTO A LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITA
CIRCUNFERENCIA 
INSCRITA.
También :El polígono está 
circunscrito.
CIRCUNFERENCIA 
CIRCUNSCRITA.
También :El polígono está 
inscrito.
CIRCUNFERENCIA 
EXINSCRITA.
También :El polígono está 
exinscrito.
Dado un polígono 
¿Siempre es 
posible inscribir 
una 
circunferencia en 
él?
Falso, en el rectángulo
no es posible.
Falso, existe el 
cuadrilátero 
Bicéntrico.
Falso(ver 
imagen 
adjunta)
¿Todo polígono 
exinscrito es 
convexo?
ANÁLISIS DEL CUADRILÁTERO INSCRITO.
TEOREMAS
θ θ
θ
α
θ + α = 180°
θ
TEOREMA
PRACTIQUEMOS:
Si m ෢PQ=50°,calcule m ෢AB
A
B
P
Q
Resolución
𝟓𝟎°
Piden:m ෢AB = 𝐱
𝒙
R
• Trazamos AR y BR
m∡ARB =
𝐱
𝟐
𝒙
𝟐
Trazar
𝟐𝟓°
m∡PHQ = 25°
H
• Trazamos QH
• RBPH :Inscrito
P
𝜃
𝜃
• RAQH :Inscrito
m∡PHR = m∡ABR = θ
T
m∡QHR = m∡TAR = θ + 25°
• ∆ABR : θ +
𝐱
𝟐
= ϴ + 25°
∴ 𝒙 = 𝟓𝟎°
UNI 2001-II
Del gráfico BF =a ,FE=b y la m∢BAD + m∢CDA = 90°
entonces el valor de la longitud del segmento BC es
𝐴) 𝑎 B) 𝑏2 + 𝑎2 C) 𝑏 − 𝑎
D)
𝑎+𝑏
4
E)
𝑏
3
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷𝐹
𝐸
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐹
𝐸
Resolución
Clave 𝑪
𝒂
𝒃
𝛽 𝜃
Dato: β + θ = 90°
Piden: BC= 𝐱
𝒙
• Prolongamos DC y FB
𝐻
• La m∡FHD = 𝛃
𝜷
• En el ABCD :Inscrito
m∡BCH = 𝛃𝜷
• HB = BC = 𝐱
𝒙
• En el EBCD :Inscrito
m∡BED = 𝛃
𝜷
• En el ∆HDE se nota 
que: HF=FE
∴ 𝒙 = 𝒃 − 𝒂
Anton ReimImportante
P
Q
C
D
A
B
𝜶
𝜷
𝜽
𝝎
AC // BD
En el gráfico se 
cumple que:
𝛂 + 𝛃 = 𝚹 + 𝛚
A continuación te 
presentamos algunas
variantes gráficas de
este teorema .
UNI 1995-II
En la figura la PT es tangente común a las dos
circunferencias secantes. Si el ángulo ABC mide 
38° ,calcular la medida del ángulo MQN.
𝐴) 148° B)142° C) 133°
D)152° E) 128°
𝐴
𝐵
𝐶
𝑀
𝑃 𝑄
𝑇
𝑁
Resolución
𝐴
𝐵
𝐶
𝑀
𝑃
𝑄
𝑇
𝑁
38°
Piden: m∡MQN = 𝒙
𝒙
• Trazamos las rectas MA y NC 
para aprovechar el teorema 
de Anton Reim
𝜷
𝜽
• En el PQT : 𝛃 +𝛉+𝒙=180°
𝜽
𝜽
𝜷
𝜷
Como m∡MAP = 𝛉
y m∡NCT = 𝛃
• Usando las paralelas :
𝛃 +𝛉=38°
∴ 𝒙 = 𝟏𝟒𝟐°
Clave 𝑩
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITATEOREMAS ESPECIALES.
PONCELET PITOT
STEINER
𝑐 + 𝑎 = 𝑏 + 2𝑟 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑
𝑎 − 𝑐 = 𝑑 − 𝑏
A
B
C
a
b
c
r
A
B
C
D
a
b
c
d
𝑎
b
𝑐
𝑑
A
B
C
D
• r : Inradio del ∆ ABC
IMPORTANTE
c + a = b + 2rcot(
𝜃
2
)
a
b
c
θ
r
𝑅 = 𝑘
4𝑘
5𝑘
3𝑘
𝑅
𝐴1
𝐴3
𝐴4
𝐴5
𝐴𝑛−1
𝐴2
𝐴𝑛
𝑎𝑛
𝑎4
𝑎3
𝑎2
𝑎1
𝑎𝑛−1
෍
𝑖=1
𝑖=𝑛
𝑎2𝑖=෍
𝑖=1
𝑖=𝑛
𝑎2𝑖−1
n:par
UNI 2009-I
se tiene un polígono convexo de 8 lados
Circunscrita a una circunferencia , si las 
longitudes de sus lados están en progresión
geométrica de razón r. Determine r2 + 3r.
𝐴) 1 B)4 C) 10
D)18 E) 28
Resolución
𝐹
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐺
𝐸
𝐻
𝒂
𝒂𝒓𝟐
𝒂𝒓
𝒂𝒓𝟑
𝒂𝒓𝟒𝒂𝒓
𝟓
𝒂𝒓𝟔
𝒂𝒓𝟕
Piden: r2 + 3r • Por el teorema de Pitot
𝑎 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟4 + 𝑎𝑟6 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟3 + 𝑎𝑟5 + 𝑎𝑟7
𝑎(1 + 𝑟2 + 𝑟4 + 𝑟6) =
𝑎𝑟(1 + 𝑟2 + 𝑟4 + 𝑟6)
• factorizamos
r = 1
∴ r2 + 3r = 4
Teorema de Pitot generalizado
En un polígono circunscrito cuyo número
de lados es par ,se cumple que la suma de 
longitudes de lugar par es igual a la suma
de longitudes de lugar impar. Clave 𝑩
TEOREMA
θ αθ
α
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITAOTROS RESULTADOS INTERESANTES.
.
A
B
CH
R
𝑅2𝑅1
• Si las circunferencias 
están inscritas a los ⊿s:
BH = R + 𝑅1 + 𝑅2
ABH : AH+BH=AB+2𝑅1
• Aplicando el teorema de poncelet
BHC : BH+HC=BC+2𝑅2
ABC : AB+BC=AC+2𝑅
+
2(BH)=2(𝑅+ 𝑅1+ 𝑅2)
∴ BH=R+ R1+ R2
A
B
CH
R
P Q
• Si BP y BQ son bisectrices:
X = 2r
x
Para un cuadrilátero 
bicéntrico.
θ
θ = 90°
𝐴
𝐵
𝐶
𝑦 = p − 𝐴𝐶
𝑥 = p − 𝐵𝐶
𝑥
𝑦
𝑧
z= p − 𝐴𝐵
𝐴
𝐵
𝐶
𝑥
𝑥 = p
Sea p el semiperímetro del triángulo ABC tenemos:
UNI 2009-I
En la figura ,EF es tangente a la circunferencia 
inscrita en el triángulo ABC. Halle el perímetro 
en metros del triángulo EBF si AB=10m,BC=12m 
y AC=11m 
𝐴) 8 B)9 C) 10
D)11 E) 13
𝐴
𝐵
𝐶
𝐸
𝐹
Resolución
𝐴
𝐵
𝐶
𝐸
𝐹
10
12
11
Piden: 2 P∆EBF
• En el ∆ABC se sabe que:
P∆EBF=
11
2
P∆EBF=
10+12+11
2
−11
∴ 𝐏∆𝐄𝐁𝐅 = 𝟏𝟏
Clave 𝑫
D
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITACUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUNFERENCIA.
Es aquel por cuyos vértices se puede
trazar una circunferencia.
Casos para reconocer un cuadrilátero inscriptible.
𝛼
180°-α
𝛼
α
θ θ
En este cuadrilátero se cumplen los teoremas 
del cuadrilátero inscrito.
INSCRIPTIBLES MÁS USUALES EN ALGUNOS PROBLEMAS.
A
B
C
D
E
ADEC es inscriptible
A
B
C
ABCD es inscriptible
𝜷
𝜷
𝜷
UNI 2004-II
En un triángulo ABC se traza la altura BH ,luego 
Se trazan HP y HQ perpendiculares a los lados AB
y BC respectivamente .Si m∢BAQ = 51°; halle la 
medida del ∢PCQ.
𝐴) 36° B)39° C) 49°
D)51° E) 56°
Resolución
𝐴
𝐵
𝐶
𝐻
𝑃
𝑄
51°
Piden: m∡PCQ = 𝒙
𝒙
Al trazar PQ se nota que: 
APQC es Inscriptible
∴ 𝒙 = 𝟓𝟏°
Clave 𝑫
m∡PAQ = m∡PCQ
A
B
C
D
E
ADEC es inscriptible
TEOREMA
𝐴
𝐵
𝐶
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITAALGUNOS ANEXOS.
APLICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES PARA DEMOSTRAR LA COLINEALIDAD DE PUNTOS.
Demuestre que los pies de las perpendiculares trazadas desde 
un punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo hacia
los lados son colineales .
𝑃
• Sea P un punto que pertenece a la circunferencia circunscrita al ∆ABC
𝐸
𝐹
𝐺
Demostraremos que E,Fy G son colineales.
• Sea la m∡EFP= α
α
y la m∡GFC= 𝛃
• Bastará con demostrar que α + 𝛃 =90°
• BEPF :Inscriptible
α
m∡EBP = α
• Trazamos PC
𝜷
• FPCG :Inscriptible m∡GPC = 𝛃
𝜷
• ABPC :Inscrito m∡ACP = α
α
• GPC : α + 𝛃 =90°
∴ 𝐄, 𝐅 𝐲 𝐆 𝐬𝐨𝐧 𝐜𝐨𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥𝐞𝐬
Recta 
de Simson.
CIRCUNFERENCIA INSCRITA ,CIRCUNSCRITA Y EXINSCRITAALGUNOS ANEXOS.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝑃
𝐹
ANÁLISIS PREVIO
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
x
b
b
b
c
c
c
60°
60°
𝜽
• ∆ECB≅ ∆ACD (LAL)
m∡EBC = m∡ADC = 𝛃
𝜷
𝜷
𝐹
PBFA :Inscriptible
60°
m∡BFD = 𝟔𝟎°
∴x= 120°
𝒙 = 𝟏𝟐𝟎°
También 
AFCE :Inscriptible
• De lo anterior: m∡EBC =120°
120°
60°
60°
60°
FBDC :Inscriptible
60°
60° m∡PFB = 𝟔𝟎°
• sabemos que: 
FBDC 
es Inscriptible
m∡BFC = 𝟏𝟐𝟎°
120°
∴ 𝐏, 𝐅 𝐲 𝐂 𝐬𝐨𝐧 𝐜𝐨𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥𝐞𝐬
En un triángulo ABC se construyen exteriormente los triángulos
equiláteros BCD,AEC y ABP, tal que BE interseca a AD en F ,
demuestre que los puntos P,F y C son colineales.
m∡BDC+ m∡BFC=180°
60°
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e