Semestral Uni - Geometría semana 15

Vista previa del material en texto

POLIEDROS REGULARES
SEMANA 15
GEOMETRIA
• Conocer la definición y características de los poliedros regulares.
• Calcular las superficies y volúmenes de estos poliedros en función de la
longitud de su arista.
• Conocer los teoremas adicionales relacionados a estos poliedros regulares.
• Aplicar lo aprendido en los problemas tipo examen de admisión.
OBJETIVOS:
INTRODUCCIÓN
Los poliedros regulares son también llamados
sólidos platónicos, debido a que Platón en su obra
Timeo escribió sobre ellos y asoció a cada sólido un
respectivo elemento que consideraba conformaban al
universo, en ese sentido al tetraedro lo asociaba al
fuego, al hexaedro a la tierra, al octaedro el aire, al
icosaedro el agua y al dodecaedro lo asoció con el
universo, la divinidad; éstos sólidos presenta una
armonía y simetría en la disposición de sus caras.
Éstos sólidos se aprovechan en muchas
expresiones artísticas como tallados en piedra, en las
estructuras químicas, inspiró el estudio de grandes
personajes, uno de ellos Kepler que estructuró un
modelo de sistema planetario basado en los poliedros
regulares.
Son aquellos poliedros cuyas caras son regiones
poligonales regulares y congruentes entre si, tal que en
cada vértice concurren igual número de aristas.
DEFINICIÓN
 Solo existen cinco poliedros regulares. Los cuáles
vamos a estudiar y son los siguientes:
 Tetraedro regular
 Hexaedro regular
 Octaedro regular
 Dodecaedro regular
 Icosaedro regular 
TETRAEDRO REGULAR
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
Es el poliedro regular, cuyas cuatro
caras son regiones triangulares
equiláteras.
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
• Del gráfico: 𝐶 = 4
𝑉 = 4
𝐴 = 6
• Notación:
Tetraedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷
• Además:
𝒂: Longitud de la arista
𝑩𝑯: Altura
𝑯: Baricentro de la cara 𝐴𝐶𝐷
Se cumple:
𝒉 =
𝑎 6
3
 Área de la superficie total
𝔸𝑺.𝑻 = 𝑎
2 3
 Volumen
𝕍 =
𝑎3 2
12
 Longitud de la altura
𝐻
ℎ
TEOREMAS
TETRAEDRO 
REGULAR
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐻
𝐿𝑂
• 𝐵𝐻 y 𝐴𝐿 son alturas
𝐵𝐻 ∩ 𝐴𝐿 = 𝑂
𝑶 es el centro del ABCD
El centro divide a cada altura 
en la razón de 1 a 3
𝑩𝑶 = 𝟑(𝑶𝑯)
𝑨𝑶 = 𝟑(𝑶𝑳)
𝑏
3𝑏
𝑏
3𝑏
NOTA:
El tetraedro regular tiene cuatro alturas, las
cuales son concurrentes en el centro. Además
el centro equidista de los vértices y de las caras.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀
• En el gráfico:
▲𝐷𝐵𝑀 es una sección de simetría
Ten en cuenta que la sección
de simetría contiene a la
altura del tetraedro regular.
𝐻
𝐿
• Si L es punto medio de la altura
𝑚
𝑚
𝜶
Se cumple:
𝜶 = 𝟗𝟎°
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟓 − 𝑰EXAMEN UNI Piden 𝑥
∴ 𝒙 =
𝒂 𝟔
𝟒
Clave 𝑫
El punto 𝑃 se encuentra situado sobre la
altura de un tetraedro regular de lado 𝑎. Si 𝑃
equidista de cada vértice, calcule esta
distancia.
𝐴)
𝑎 3
4
𝐵)
𝑎 2
3
𝐶)
𝑎 3
3
𝐷)
𝑎 6
4 𝐸)
𝑎 2
2
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐻
𝑃
• Sea 𝐵𝐻 una de las alturas 
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑎
(𝑃 ∈ 𝐵𝐻)
• Por condición del problema:
𝑷 es el centro del tetraedro
regular 𝐴𝐵𝐶𝐷.
→ 𝑃𝐻 =
𝑥
3
𝒙
𝟑
• Por longitud de la altura del
tetraedro regular, sabemos:
𝐵𝐻 =
𝑎 6
3
𝑥 +
𝑥
3
Ten presente:
𝐻
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
HEXAEDRO REGULAR (cubo)
Es el poliedro regular, cuyas seis caras
son regiones cuadradas.
• Del gráfico: 𝐶 = 6
𝑉 = 8
𝐴 = 12
• Notación:
Hexaedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
• Además:
𝒂: Longitud de la arista
𝑨𝑮: Diagonal
𝑂
𝑶: Centro de 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻
Se cumple:
𝑨𝑮 = 𝑩𝑯 =𝑎 3
 Área de la superficie total
𝔸𝑺.𝑻 = 𝑎
26
 Volumen
𝕍 = 𝑎3
 Longitud de la diagonal
NOTA:
El cubo tiene cuatro diagonales, las
cuales son concurrentes en el
centro. Ten en cuenta que el centro
equidista de los vértices y de las
caras.
Planos diagonales
HEXAEDRO 
REGULAR
• Las regiones rectangulares en los cubos mostrados son los planos diagonales (secciones), así mismo ellos son
considerados secciones de simetría, pero ten en cuenta que no son las únicas secciones de simetría.
TEOREMAS
HEXAEDRO 
REGULAR
𝐷
𝐹
𝐻
𝐴
𝐵
𝐶
𝐸
𝐺
• ∆𝐸𝐵𝐷 y ∆𝐹𝐶𝐻 son equiláteros, congruentes y paralelos.
𝐺1
𝐺2
• 𝐴𝐺 ⊥ 𝑅𝐸𝐺𝐼𝑂𝑁𝐸𝑆∆𝐸𝐵𝐷 𝑦 ∆𝐹𝐶𝐻
• 𝐺1 y 𝐺2 son baricentros de ∆𝐸𝐵𝐷 y ∆𝐹𝐶𝐻 respectivamente. 
𝐷
𝐹
𝐻
𝐴
𝐵
𝐶
𝐸
𝐺
• Al unir E, B y D con el vértice G se tiene que:
𝑮𝑬𝑩𝑫 es un tetraedro regular
𝐺1 𝑦 𝐺2 𝑡𝑟𝑖𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛 𝑎 𝐴𝐺
𝑑
𝑑
𝑑
Si en un exaedro regular, la distancia de un
vértice a una de las diagonales que no
contenga a este vértice es 2 𝑚, entonces la
longitud de esta diagonal es:
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟐 − 𝑰EXAMEN UNI Piden 𝑑
∴ 𝒅 = 𝟗
Clave 𝑬
𝐴) 5 𝐵) 6 𝐶) 7
𝐷) 8 𝐸) 9
𝐻
𝐴
𝐵
𝐶
𝐸
𝐹
𝐺
𝐷
2
𝑑
• Sea 𝑎 la longitud de la arista
𝑎
𝑎
𝑎
→ 𝑑 = 𝑎 3
 
𝑎 3
En el cubo:
Plano 
diagonal
• Se tiene que:
𝑚∢𝐴𝐵𝐺 = 90°
• Trazamos 𝐵𝐺 para
aprovechar al plano
diagonal.
• En ⊿𝐴𝐵𝐺 por producto de
catetos:
𝑎 𝑎 2 = ( 2)(𝑎 3)
→ 𝑎 = 3
…(𝐼)
• Reemplazamos en 𝐼 :
𝑁
𝑀
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
OCTAEDRO REGULAR
Es el poliedro regular, cuyas ocho
caras son regiones triangulares
equiláteras.
• Del gráfico: 𝐶 = 8
𝑉 = 6
𝐴 = 12
• Notación:
Octaedro regular 𝑀 −𝐴𝐵𝐶𝐷 −𝑁
𝑎
𝑎
𝑎𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
• Además:
𝒂: Longitud de la arista
𝑴𝑵: Diagonal
𝑂
𝑶: Centro de 𝑀 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑁
Se cumple:
𝑴𝑵 = 𝑎 2
 Área de la superficie total
𝔸𝑺.𝑻 = 𝑎
2 32
 Volumen
𝕍 =
𝑎3 2
 Longitud de la diagonal
NOTA:
En el octaedro regular las tres
diagonales son concurrentes en el
centro y perpendiculares entre sí.
Además dicho centro equidista de los
vértices y de las caras.
3
• 𝑨𝑩𝑪𝑫
• 𝑩𝑴𝑫𝑵
• 𝑨𝑴𝑪𝑵
Cuadrados (éstos son
algunos de las
secciones de simetría)
TEOREMAS
OCTAEDRO 
REGULAR
𝐴
𝐵
𝐶
𝐿
𝑀
𝑁
• Las caras MNL y ABC se denominan opuestas.
Se cumple:
▲𝑀𝑁𝐿 ∥▲ 𝐴𝐵𝐶
𝐺
𝐴
𝐵
𝐶
• Si G es el baricentro de la cara ABC
Se cumple:
𝐿
𝑀
𝑁
𝑮𝑴𝑵𝑳: Tetraedro regular
𝐻
𝑎
NOTA:
Si 𝑎 es la longitud de la
arista del octaedro
regular, podemos
concluir que, la
distancia entre dos
caras opuestas es igual
a:
𝒂 𝟔
𝟑
𝒂 𝟔
𝟑
𝑎 6
3
𝑎
𝑎
𝑎
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟏 − 𝑰EXAMEN UNI Piden 𝑂𝐻
∴ 𝒅 = 𝟔
Clave 𝑩
La arista de un octaedro regular mide 6 𝑚.
Calcule la distancia (en 𝑚) del centro del
octaedro a una cara.
𝐴) 5 𝐵) 6 𝐶) 7
𝐷) 8 𝐸) 3
𝑁
𝑀
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑂
• Como se requiere trabajar con el centro
del octaedro regular, vamos aprovechar
trazar las diagonales.
Recordar:
𝟏
𝒉𝟐
=
𝟏
𝒂𝟐
+
𝟏
𝒃𝟐
+
𝟏
𝒄𝟐
Se cumple:
6
𝑑
= 𝑑
• Notamos que 𝑂 −𝑀𝐷𝐶 es un triedro
trirrectángulo.
𝐻
• Por diagonales del octaedro regular:
𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 = 𝑀𝑂 = 𝑂𝑁 = 𝐵𝑂 = 𝑂𝐷= 3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
• De lo recordado en
𝑂 −𝑀𝐷𝐶
1
𝑑2
=
1
3 2
2 +
1
3 2
2 +
1
3 2
2
1
𝑑2
=
1
6
Se muestra el desarrollo de la superficie total de un
poliedro convexo, la cual esta formada por 6
regiones cuadradas y 8 regiones equiláteras, cuyos
lados miden 6 2 . Halle el volumen del solido
limitado por la superficie generada al unir las aristas
del desarrollo mostrado.
A) 1200 B) 1224 C) 1344 D) 1440 E)
1540
𝑉𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 - 8(𝑉𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
)
6 2
6 2
6 2
6
6
6
6
66
6
6
6
6
6
6
6
6
6
− 8𝑉𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 =
Aplicación
Se muestra el desarrollo de la superficie total de un
poliedro convexo, la cual esta formada por 6 regiones
cuadradas y 8 regiones equiláteras, cuyos lados
miden 6 2. Halle el volumen del solido limitado por la
superficie generada al unir las aristas del desarrollo
mostrado.
A) 1200 B) 1224 C) 1344 D) 1440 E) 1540
𝑉𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 −
(12)3 −
12
12
12
∴ 𝑉𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 1440
𝑉𝑜𝑐𝑡𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜
𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑉𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 =
(6 2)3. 2
3
𝑉𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 1728 − 288
𝑉 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜
𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
= −
Aplicación
6 2
6 2
6 2
DODECAEDRO REGULAR
Es el poliedro regular, cuyas docecaras son regiones pentagonales
regulares.
• Del gráfico: 𝐶 = 12
𝑉 = 20
𝐴 = 30
𝑎
• Además:
𝒂: Longitud de la arista
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
NOTA:
El dodecaedro regular tiene cien
diagonales.
Se cumple:
 Área de la superficie total
𝔸𝑺.𝑻 =15𝑎
2
5 + 2 5
5
 Volumen
𝕍 =
5𝑎3
2
47 + 21 5
10
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷𝐸
𝐽
𝐹
𝐺 𝐻
𝐼
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ∥ 𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽
 En el dodecaedro regular,
encontramos regiones pentagonales
paralelas.
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷𝐸
𝐽
𝐹
𝐺
𝐻
𝐼
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
𝐻
TEOREMAS
DODECAEDRO 
REGULAR
• 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 y 𝑭𝑮𝑯𝑰𝑱 son pentágonos regulares congruentes y paralelos.
𝑬𝑭𝑮𝑯− 𝑨𝑩𝑪𝑫 es un hexaedro regular.
Regiones 
paralelas
Piden 𝑚∢(𝐴𝐵; 𝐶𝐷)
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟕 − 𝑰EXAMEN UNI
∴ 𝑚∢ 𝐴𝐵;𝐶𝐷 = 𝟕𝟐°
Clave 𝑬
La figura mostrada es un dodecaedro regular. 
Calcule la medida del ángulo entre 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷.
𝐴) 30°
𝐵) 36°
𝐶) 45°
𝐷) 60°
𝐸) 72°
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝐿 𝑀
𝑁
• Reconocemos que las líneas
en cuestión son alabeadas.
• Además 𝐶𝑀𝐷𝑁𝐿 es una
región pentagonal regular
que contiene al segmento
𝐶𝐷 y es paralela a la cara
𝐸𝐵𝐹𝐴𝐺.𝐺
𝐸
𝐹
Ten presente: Dodecaedro 
regular
Planos 
paralelos
• Con ello:
𝐶𝐷 ∥ 𝐿𝑁
𝐿𝑁 ∥ 𝐺𝐴
𝐶𝐷 ∥ 𝐺𝐴
→ 𝑚∢(𝐴𝐵; 𝐶𝐷)= 𝑚∢(𝐴𝐵;𝐴𝐺)108°
36°
36°
• Pero 𝑚∢ 𝐴𝐵;𝐴𝐺 =72°
𝟕𝟐°
Aplicación
Se muestra un dodecaedro regular , halle la 
medida del ángulo entre 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷.
A
B
C
D
A
B
C
D
Resolución
Nos piden m∡(𝐴𝐵 y 𝐶𝐷).
Paralela a 𝐶𝐷
Paralela a 𝐴𝐵
x
Cuadrado
∴ x = 90°
ICOSAEDRO REGULAR
Es el poliedro regular, cuyas veinte
caras son regiones triangulares
equiláteras.
𝑎
• Además:
𝒂: Longitud de la arista
• Del gráfico: 𝐶 = 20
𝑉 = 12
𝐴 = 30
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎 𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
NOTA:
El icosaedro regular tiene
treinta y seis diagonales.
Se cumple:
 Área de la superficie total
𝔸𝑺.𝑻 = 5𝑎
2 3
 Volumen
𝕍 =
5𝑎3
6
7 + 3 5
2
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷𝐸
𝐽
𝐹
𝐺 𝐻
𝐼
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ∥ 𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽
 En el icosaedro regular, encontramos
regiones pentagonales regulares,
congruentes y paralelas.
TEOREMAS
ICOSAEDRO 
REGULAR
𝐴
𝐵𝐶
𝐿
𝑀
𝑁
• Se cumple:
▲𝑨𝑩𝑪 ∥▲𝑴𝑵𝑳
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶 • En el gráfico:
𝑨𝑩𝑪𝑫 es un rectángulo
Ten en cuenta la
importancia de poder
conocer algunas
regiones que se
determinan dentro de
los poliedros regulares,
para poder
aprovecharlas en los
problemas.
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e