Semestral Uni - RM semana 05

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LÓGICA DE CLASES
- Proposiciones categóricas
- Representación gráfica del silogismo
- Cuantificadores
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Introducción
La Lógica es una parte de la ciencia que estudia el razonamiento.
Más concretamente, la Lógica estudia:
Entre las formas más sencillas de razonar que estudia la Lógica están la
lógica proposicional y la lógica de clases. Cada una de estas dos ramas
de la lógica elemental es independiente de la otra: diferentes fórmulas,
diferentes conceptos básicos y diferentes técnicas de demostración de la
validez o invalidez de los razonamientos. Debemos emplear una u otra
dependiendo del tipo de razonamiento que debamos analizar.
• Cómo definir el concepto de consecuencia
• Las formas de los razonamientos válidos.
• Los métodos que permiten distinguir a los razonamientos válidos de
los inválidos.
• Las falacias lógicas: razonamientos inválidos que parecen válidos.
OBJETIVO
Potenciar la capacidad deductiva
para obtener conclusiones correctas
a partir de premisas dadas.
Para todo ( ∀ ) y 
existencia ( ∃ ).
Silogismo mediante 
diagramas de Venn.
Representación 
gráfica, negación y 
equivalencias.
LÓGICA 
DE CLASES
PROPOSICIONES 
CATEGÓRICAS
SILOGISMOS
CUANTIFICADORES
Estudia la estructura interna de cada proposición.
Para deducir la conclusión analiza las relaciones
entre las clases que hay en una proposición
categórica.
CLASE
Agrupación o colección de elementos
u objetos concretos o abstractos que
tienen propiedades comunes.
- La clase de estudiantes.
- La clase de los ingenieros.
- La clase de los automóviles.
Considere que una clase nunca queda vacía
Ejemplos:
Ejemplo:
Toda gaseosa es líquida
sujeto predicado
cuantificador verbo
Ninguna
Alguna
A este tipo de proposiciones que en su
estructura relacionen categorías (clase
gaseosas y clase líquidos) se les conoce
como proposiciones categóricas. En este
caso se relacionan como una inclusión total
de una clase en otra.
¿Cuántos tipos de 
proposiciones categóricas 
hay y como se relacionan 
las clases en cada caso?
¿Hay equivalencias 
entre proposiciones 
categóricas?
2 Clases → 1 proposición categórica
2 proposiciones categóricas → ????
LÓGICA 
DE CLASES
Ejemplos:
Todo educado es atento.(Universal afirmativa)
Algún peruano es cantante.(Particular afirmativa)
Ningún futbolista es lento. (Universal negativa)
Algún lápiz no es comprado.(Particular negativa)
X X
Existen cuatro formas típicas de proposiciones categóricas: 
SEGÚN SU CUALIDAD SEGÚN SU CANTIDAD
Afirmativa: expresa relaciones de inclusión de una
clase (total o parcial) respecto de otra.
Negativa: expresa relaciones de exclusión de una
clase (total o parcial) respecto de otra.
Universal: se refiere a todos los elementos de la
clase designada por el sujeto.
Particular: se refiere a algunos de los elementos
de la clase designada por el sujeto.
X
Representación 
del vacío
Representación 
del existencia 
de elementos
Representación gráfica de las proposiciones categóricas
Observación : CUANTIFICADOR NO EXPLICITO O FORMAS ATÍPICAS
Los cuantificadores lógicos tienen sus expresiones equivalentes
Todo hombre es sociable.
Ningún universitario es escolar.
Algunos jueces son justos.
Los hombres son sociables.
Cada hombre es sociable.
Cualquier hombre es sociable.
No hay universitario que sea escolar.
No existe universitario que sea escolar.
Nunca un universitario es escolar.
Varios, muchos, pocos, existe por lo 
menos uno, hay, la mayoría ,casi todos. 
X
Hombres Sociables
Universitario Escolar
Donde corresponda
UNIVERSAL AFIRMATIVA
Todo S es P
S P
UNIVERSAL NEGATIVA
Ningún S es P
S P
PARTICULAR AFIRMATIVA
X
Algún S es P
S P
PARTICULAR NEGATIVA
XAlgún S no es P
S P
NEGACIÓN
NEGACIÓN
NEGACIÓN
RELACIONES DE NEGACIÓN Y OTRAS EQUIVALENTES
Ningún S es P ≡ Ningún P es S Algún S es P ≡ Algún P es S
Algún S no es P ≡ Algún S es no P
NEGACIÓN
 (universal)  particular con cualidad cambiada
 (particular)  universal con cualidad cambiada
Aplicación 01: Resolución:
La negación de Todos los
rectángulos son paralelogramos es
A) Todos los rectángulos son
paralelogramos.
B) Todos los no rectángulos no
son paralelogramos.
C) Algunos rectángulos no son
paralelogramos.
D) Algunos rectángulos son
paralelogramos.
E) Ningún rectángulo es no
paralelogramo
Nos piden : la negación de la proposición categórica
Todo rectángulo es paralelogramo
rectángulos paralelogramos
NEGACIÓN
rectángulos paralelogramos
X
∴ Algunos rectángulos no son paralelogramos
≡ Todo A es BNingún A es no B
≡ Ningún A es BTodo A es no B
I. Cuando el predicado está negado: Se traduce como el cambio del cuantificador universal
Ningún hombre es inmortal ≡ Todo hombre es mortal no mortal
Todo estudiante es incautono cauto ≡ Ningún estudiante es cauto 
II. Cuando el verbo está negado : Se traduce como la negación de la proposición categórica
Todo A no es B ≡ No (Todo A es B)
Ningún A no es B ≡ No (Ningún A es B)
Todos los jueces no son imparciales 
≡ No ( Todos los jueces son imparciales )
≡ Algunos jueces no son imparciales
EQUIVALENCIAS ESPECIALES : Para cuantificadores universales
Resolución: 
El equivalente de Todos los futbolistas son desorganizados es
Halle el equivalente de:
Todos los futbolistas son desorganizados.
A) Todos los desorganizados son futbolistas.
B) Algunos futbolistas son organizados.
C) Ningún futbolista es organizado.
D) Ningún desorganizado es futbolista.
E) Algunos futbolistas no son organizados.
Nos piden: el equivalente de “Todos los futbolistas son desorganizados”
Recordando:
Todo S es no P ≡ Ningún S es PEntonces:
Todos los futbolistas son desorganizados ≡ Ningún futbolista es organizado
Otra forma de resolver es analizando la gráfica de la proposición :
organizados desorganizados
futbolistas
Observamos que 
Ningún 
futbolista es 
organizado
∴Ningún futbolista es organizado
Aplicación 02:
Silogismos (inferencia de dos o más premisas)
INFERENCIA
Es una estructura de proposiciones conformada por una o más premisas y una conclusión. Los tipos de inferencias son: 
INFERENCIA INMEDIATA INFERENCIA MEDIATA
Es toda aquella inferencia compuesta por una
premisa y su respectiva conclusión.
Ejemplo:
Todos los futbolistas son deportistas
Universal 
afirmativa 
Se puede concluir que 
Algún futbolista es deportista 
Particular 
afirmativa 
Son aquéllas inferencias que están conformadas por
dos o más premisas y su conclusión. La estructura de
proposiciones conformada solo por dos premisas y una
conclusión se denomina silogismo categórico.
Ejemplo:
Toda persona nacida en Lima es peruano.
Jorge nació en Lima
PREMISAS
Jorge es peruano CONCLUSIÓN
Ejemplo:
- Algunos abogados son honestos.
- Todos los honestos son triunfadores.
Reconocemos de las dos premisas, las clases que intervienen.
Las 3 clases se grafican de manera general y se sugiere que
la clase que se repite se ubique en la parte inferior.
Se gráfica cada premisa comenzando por la proposición
universal.
Del gráfico final se obtiene la conclusión teniendo en
cuenta que la clase se repite no aparezca en la conclusión.
ABOGADOS TRIUNFADORES
HONESTOS
X
∴ Algunos abogados son triunfadores.
SILOGISMO CATEGÓRICO
ABOGADOS TRIUNFADORES
X
Estrategia de solución:
Aplicación 03: Resolución:
¿Cuál es la negación de la conclusión de las
siguientes proposiciones?
- La mayoría de las personas son honestas.
- Ningún honesto es corrupto
A) Ciertos honestos son justos.
B) Muchos corruptos no son honestos.
C) Algunas personas no son corruptas.
D) Todas las personas son corruptas.
E) Algunos corruptos no son personas.
Algunas personas son honestas
personas honestas
x
Ningún honesto es corrupto
honesto corrupto
personas corruptos
X
Luego:
honestos
personas
X
corruptos
negación
personas corruptos
∴ Todas las personas son corruptas.
conclusión
Nos piden : La negación de la conclusión
Es el elemento que hace posible y garantiza que ninguna clase sea vacía.
RECUERDA:Debemos tener en cuenta que utilizaremos el elemento existencial sólo cuando no haya una conclusión inmediata,
en ese sentido se podría en algunos casos inferir sobre la información que se conoce.
A B
Todo A es B 
Cada clase debe tener por 
lo menos un elemento
X
Algún A es B
Ejemplo: ¿Qué proposición particular se deduce del siguiente gráfico?
OBSERVACIÓN : elemento existencial
Aplicación 04:
A) Ningún responsable tienen éxito.
B) Algunos responsables tienen éxito.
C) Todos los responsables tienen éxito.
D) Algunos responsables no tienen éxito.
E) Algún irresponsable tiene éxito.
Halle la conclusión de las siguientes premisas:
- Todo ingeniero es responsable.
- Todos los ingenieros tienen éxito.
Resolución:
RESPONSABLE TIENEN ÉXITO
INGENIEROS
Cada clase debe tener por lo 
menos un elemento.
X
∴Algunos responsables tienen éxito.
Nos piden : ¿Qué se puede concluir?
Dada la afirmación
∀ n ∈ N; ∃ y ∈ R / ny ∈ Z
Elija la alternativa que expresa
la negación de esta afirmación.
A) ∀ n ∈ N; ∃ y ∈ R / ny ∉ Z
B) ∀ n ∈ N; ∀ y ∈ R / ny ∈ Z
C) ∃ n ∈ N; ∃ y ∈ R / ny ∉ Z
D) ∀ n ∈ N; ∃ y ∈ R / ny ∈ Z
E) ∃ n ∈ N; ∀ y ∈ R / ny ∉ Z
De la información tenemos:
Aplicación 05:
Resolución: 
La negación de esta afirmación es:
negación
Nos piden la negación de la afirmación.
∀ n ∈ N; ∃ y ∈ R / ny ∈ Z
DEBEMOS TENER EN CUENTA:
Cuantificador 
universal
Cuantificador 
particular
∃ n ∈ N
+
Condición a 
cumplirse
Lo opuesto de 
la condición+
negación
Cuantificador 
particular
Cuantificador 
universal+
Condición a 
cumplirse
Lo opuesto de 
la condición+
negación
∃ n ∈ N; ∀ y ∈ R / ny ∉ Z
CUANTIFICADORES: ∀ y ∃
; ∀ y ∈ R / ny ∉ Z
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e