Semestral Uni - RM semana 06

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SITUACIONES LÓGICAS
- Problemas sobre certezas
- Verdades y mentiras
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Introducción
Denominamos certeza al conocimiento seguro y claro que se
tiene de algún acontecimiento y que no deja lugar a dudas.
En el tema de verdades y mentiras usaremos nuestro
razonamiento lógico para descubrir a partir de las
condiciones dadas si las proposiciones que se dan en el
enunciado son verdaderas o falsas.
En ambos temas aprenderemos a :
• Potenciar la habilidad analítica. 
• Emplear de manera conveniente conceptos lógicos básicos.
• Evaluar, desarrollar e incrementar el ingenio, el análisis y la 
creatividad, es decir, desarrollar el pensamiento creativo
OBJETIVO
Aprender a identificar el caso mas favorable
para lograr obtener con certeza lo deseado.
Utilizar adecuadamente los criterios de
contradicción y suposición en problemas de
verdades y mentiras.
Verdades y mentiras
Problemas sobre certezas
SITUACIONES 
LÓGICAS
Se reconoce este tipo de problemas por tres palabras básicas que generalmente se encuentran
presentes en la formulación de las preguntas: “extraer al azar”, “como mínimo” y “con seguridad”.
Problemas sobre certezas
Lo que el problema nos pide
Para obtener un caso seguro
Para obtener al final
En un ánfora se tienen
6 esferas rojas, 8 azules y
5 verdes; ¿cuántas esferas
se tendrán que extraer al
azar como mínimo, para
obtener con certeza un par
de esferas del mismo color?
Aplicación 01 :
R6
V
A8
5
Resolución:
Se desea obtener 2 esferas del mismo color Entender lo que nos piden hallar
Nos debemos de poner en el
peor de los casos
Aquí obtengo situaciones contrarias a mis deseos 
extraeremos al inicio esferas de diferente color 
Como ya tenemos una esfera de cada color, al
extraer la siguiente esfera sin importar el color
que sea obtendremos con seguridad dos
esferas del mismo color.+ 1 = 4
∴ Se extraeran 4 esferas.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 15 E) 5
Aplicación 02 :
En una urna se tiene 7 esferas
blancas, 5 esferas rojas, 4 esferas
azules y 6 esferas verdes. Halle la
cantidad de esferas que se tienen
que extraer al azar y como mínimo
para tener la certeza de obtener:
Resolución:
I. Tres esferas del mismo color.
II. Una de cada color.
III. Un color completo.
De como respuesta la suma de los
resultados obtenidos en los tres
enunciados.
A) 42 B) 43 C) 54 D) 47 E)44
Según el enunciado se tiene:
Para tener la certeza debemos de ponernos en el peor de los casos:
I. Tres esferas del mismo color.
El peor de los casos sería extraer primero 2 de cada color.
B
B
R
R
A
A
V
V
+ 1
B R A V
= 9 
II. Una de cada color.
El peor de los casos sería extraer esferas del mismo color
+ + + A1 = 19 
III. Un color completo.
El peor de los casos sería extraer una esfera menos de cada color.
6 + 4 3+ A + 5 V + 1 = 19 
∴ Nos piden 9 + 19 +19= 47
Aplicación 03:
¿Cuántas personas, como
mínimo, deberán llegar a una
reunión, para tener la
seguridad de encontrar dos
personas con la misma fecha
de cumpleaños (día y mes)?
Resolución:
Nos piden : Tener 2 personas con la misma fecha de cumpleaños (día y mes)
366 personas
+
1 367= 
∴ 𝑫𝒆𝒃𝒆𝒏 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒓 𝟑𝟔𝟕 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐.
Para tener la seguridad o certeza debemos de ponernos en el peor de los casos:
1 enero 2 enero 3 enero
. . . . . .
30 diciembre 31 diciembre29 febrero
Basta que llegue una persona 
más para que cumpla lo 
pedido
Se necesita 367 personas para tener dos personas con la misma fecha de
cumpleaños
A) 360
B) 361
C) 366
D) 367
E) 365
Verdades y mentiras
Este tipo de problemas consiste en obtener conclusiones a partir de un conjunto de
proposiciones que en un primer momento se desconoce su valor de verdad.
¿Quién rompió 
la ventana?
Abel: Yo no fui
Beto: César fue
César: Soy inocente
David: Beto 
es culpable
Es un enunciado que tiene un único
valor de verdad, es decir, verdadero o
falso sin ambigüedad.
PROPOSICIÓN
Ejemplos:
• Hoy es domingo.
• Yo tengo 16 años.
• Mi nombre es Walter.
Son aquellas proposiciones que tienen
el mismo valor de verdad.
Andrés: Bruno se llevó el celular.
Bruno : Eso es verdad.
(V)
(V)
o
(F)
(F)
Son aquellas proposiciones que tienen al menos una
proposición falsa (las 2 proposiciones no pueden ser
verdaderas).
Carla: Hoy es lunes
María: Hoy es jueves
(contradicción parcial) 
Si fuese 
lunes
(V)
(F)
Si fuese 
jueves
(F)
(V)
Ni lunes, 
ni jueves
(F)
(F)
Dos proposiciones son contradictorias si una es falsa y la otra es
necesariamente verdadera.
(contradicción total)
Fernando: Mario fue.
Mario : Fernando miente.
V , F
Una es verdadera y
la otra falsa.
NOCIONES PREVIAS
PROPOSICIONES EQUIVALENTES
PROPOSICIONES CONTRARIAS
PROPOSICIONES CONTRADICTORIAS
“Negando una proposición falsa se puede obtener una conclusión correcta”~( ) ≡ 𝑉
- Yo tengo 20 años ………….. ( )F Se concluye correctamente: “Yo no tengo 20 años”
- Fue Carlos ………………….. ( )F Se concluye correctamente: “No fue Carlos”
- Betty miente ……………….. ( )F Se concluye correctamente: “Betty no miente”
~
~
~
- No soy culpable ……….….. ( )F Se concluye correctamente: “Soy culpable”~
IMPORTANTE
Métodos de resolución en verdades y mentiras
Proposición 1
Proposición 2
Proposición 3
¿Cuáles son verdades o 
cuáles son falsas?
Existen 2 métodos de resolución para 
determinar la veracidad o falsedad 
de dichas proposiciones
Por contradicción Por suposición
Encontrar 2 proposiciones 
opuestas (F , V)
Asumir el valor (V o F) de 
alguna de las proposiciones
Resolución por contradicción
Agrupamos proposiciones que se contradicen en forma parcial o total de esta manera se aseguran
proposiciones verdaderas y falsas; a partir de las cuales se obtiene su respectivo valor de verdad.
Aplicación 04 :
Tres amigos de la academia, Hugo, Paco y Luis, tienen la siguiente conversación: 
Hugo: Yo soy mayor de edad. 
Paco: Hugo miente. 
Luis: Paco es mayor de edad
Resolución:
De las declaraciones buscamos proposiciones contradictorias.
Datos: Una afirmación es falsa ( 1F y 2V )
Contradicción
Total
( 1F y 1V)
V
y solo uno es mayor de edad.
V
F
∴ Se concluye que Paco es mayor de edad y Hugo es quien miente.
Tres amigos de la academia,
Hugo, Paco y Luis, tienen la
siguiente conversación:
Hugo: Yo soy mayor de edad. 
Paco: Hugo miente. 
Luis: Paco es mayor de edad. 
Si se sabe que solo uno miente y
que solo uno es mayor de edad,
¿quién es mayor de edad y
quien miente?
A) Paco – Luis B) Hugo - Paco 
C) Paco – Hugo D) Paco - Paco
E) Luis – Paco 
Aplicación 05 :
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
A) 20 años B) 21 años C) 22 años 
D) 23 años E) 24 años
Resolución:
Ana, Betty, Carla, Daniela y Elena de 20; 21;
22; 23 y 24 años, respectivamente, son cinco
amigas sospechosas de haber introducido un
ultravirus en la red telemática de la
universidad, al ser capturadas e interrogadas
por la policía contestaron:
Ana: Betty participó.
Betty: La que tiene 22 años participó. 
Carla: Betty miente al decir que yo
participé. 
Daniela: Yo no participé.
Elena: Yo no participé.
Si la única que no es culpable es la única que
dice la verdad, ¿cuál es la edad de la
inocente?
Dato: La única que no es culpable es la única que dice la verdad → (4 F y 1 V)
Ana
(20)
Fue Betty
Betty
(21)
Fue Carla
Carla
(22)
Betty miente
Daniela
(23)
Yo no fui 
Elena
(24)
Yo no fui
Contradicción
F, V
F
Inocente
V F F F
∴ La edad de la inocente es 21 años
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
F
Aplicación 06:
En un pueblo lejano existen habitantes de 2
tipos: los de tipo A, quienes siempre mienten y
los del tipo B, quienes siempre dicen la verdad.
Cierto día se escuchó la siguiente conversación
entre algunos habitantes del pueblo.
Andrés : Benito miente.
Benito : César dice la verdad.
César : Diego miente.
Diego : Andrés y Benito son del mismo tipo.
¿Qué tipo de persona es Andrés y Benito
respectivamente?
Resolución
Datos:Andrés : Benito miente.
Benito : César dice la verdad.
César : Diego miente.
Diego : Andrés y Benito son
del mismo tipo.
Al no haber proposiciones que se contradigan 
utilizaremos el método general de la suposición
Supongamos que Andrés dice:
V
V
F
F
Hay contradicción 
no es V
F
V
V
F
Cumple con 
todas las 
condiciones
∴ Andres es tipo A y Benito es tipo B.
Se asigna convenientemente un valor de verdad a una proposición y se examina el valor de verdad de las demás. 
Luego, cuando se cumplan todas las condiciones, el problema se habrá solucionado.
Equivalentes
A) Tipo A - Tipo B D) Tipo A - Tipo A
B) Tipo B - Tipo A E) Tipo B - Tipo B
C) No se puede determinar
Tipo A siempre mienten (F) Tipo B siempre verdad (V)
Resolución por suposición
Aplicación 07:
La policía detuvo a tres
sospechosos del robo de un
celular. Al ser interrogados
respondieron:
Andrés: Bruno se llevó el celular
Bruno: Eso es verdad
Carlos: Yo no me llevé el celular
Pero gracias a la información
brindada por los testigos en el
lugar de los hechos, se llegó a
determinar que al menos uno de
los sospechosos mentía y al menos
uno decía la verdad; además que
solo uno cometió el robo.
¿Quién es el culpable?
Resolución
Dato : 
Supongamos que Andrés y Bruno dicen la verdad
Al no haber proposiciones que se contradigan utilizaremos la suposición
Observamos también que Andrés y Bruno tienen proposiciones equivalentes 
Andrés: Bruno se llevó el celular
Bruno: Eso es verdad
Carlos: Yo no me llevé el celular
V
V
F
Equivalentes
Supongamos que Andrés y Bruno mienten
Andrés: Bruno se llevó el celular
Bruno: Eso es verdad
Carlos: Yo no me llevé el celular
F
F
V
Equivalentes
Se deduce que Carlos y
Bruno son inocentes,
entonces:
Andrés es culpable
∴ El culpable es Andres.
A) Andrés o Bruno B) Bruno
C) Andrés D) Carlos
E) Ninguno
Se presentan dos posibilidades (2 V y 1 F) o (2 F y 1 V)
Se deduce que Bruno y 
Carlos serían culpables 
Se deduce que Bruno y
Carlos serían culpables
(sólo hay un culpable)
No es posible
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e