Semestral Uni - Trigonometría semana 12

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Funciones trigonométricas II
Trigonometría
FUNCIÓN PERIÓDICA
Una función es periódica si existe un número real
𝑇 > 0, tal que para cualquier x de su dominio se
cumple:
f x + T = f x ; Para todo x, x + T ∈ Domf
Gráficamente tienen un patrón
Repetitivo a lo largo de su dominio
En la figura mostrada, se observa
𝑓 𝑥 + 3 = 𝑓(𝑥)
Entonces T = 3, 6, 9, …
Período mínimo = 3
𝒇
DETERMINACIÓN DEL PERÍODO MÍNIMO 
Si : F.T son sen, cos, tan, cot, sec y csc, además
y = f x = AF. Tn(Bx) 
A ∈ ℝ− 0
B ∈ ℝ − 0
n ∈ ℤ − 0
Donde su período es T, el cual solo depende de
“n” y “B”.
n
F.T
sen; cos; sec; csc
tan; cot
PAR IMPAR
T =
π
B T =
2π
B
T =
π
B
; B > 0
RESOLUCIÓN
Determine el período de la función 
f x = cos4x − sen4x
A)
π
16
B)
π
8
C)
π
4
D)
π
2
E)
3π
8
UNI 2012-I
APLICACIÓN 1
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN 
SENO
X
Y
𝑥1θ
𝑥2
π/2 1
−1
0
3π/2
3π
2
5π
2
π
2π
3π 4π
π
2
0
2π
𝑌
𝑋
sen𝑥2
𝑥1
π
sen𝑥1
𝑥2
sen𝑥2
sen𝑥1
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑜 = x; y ∈ ℝ2 y = senx; Para todo x ∈ ℝ
Domf = ℝ
Ranf = −1; 1
Creciente ∶ 2kπ −
π
2
; 2kπ +
π
2
Decreciente: 2kπ +
π
2
; 2kπ +
3π
2
; k ∈ ℤ
Es una función continua
Es una función impar:
𝐬𝐞𝐧 −𝐱 = −𝐬𝐞𝐧𝐱
T = 2π T = 2π
Es una función periódica
𝐓 = 𝟐𝛑
sen x + 2π = senx
CARACTERÍSTICAS
sinusoide
senθ
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
X
Y
𝑥1θ
𝑥2
π/2 1
−1
0
3π/2
3π
2
5π
2π
2π
3π 4π
π
20
2π
Y
𝑋
cos𝑥2
𝑥1
π
cos𝑥1
𝑥2
cosx2
cos𝑥1
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑e coseno = x; y ∈ ℝ2 y = cosx; Para todo x ∈ ℝ
Es una función continua 
Es una función par:
𝐜𝐨𝐬 −𝐱 = −𝐜𝐨𝐬𝐱
T = 2π T = 2π
Es una función periódica
𝐓 = 𝟐𝛑
cos x + 2π = cosx
CARACTERÍSTICAS
Domf = ℝ
Ranf = −1; 1
Creciente ∶ 2kπ − π; 2kπ
Decreciente: 2kπ; 2kπ + π ; k ∈ ℤ
cosθ
UNI 2012-I
¿Cuál de los gráficos mostrados representa
a la función y = cos 2x − π ? , en un intervalo
de longitud un período. 
APLICACIÓN 2
X
Y
−𝛑/𝟐 𝛑/𝟐
B)
X
Y
−𝛑/𝟐 𝛑/𝟐
C)
X
Y
−𝛑/𝟐 𝛑/𝟐−𝝅 −𝛑
D)
X
Y
−𝝅/𝟐 𝝅/𝟐
E)
Piden la gráfica de y = cos 2x − π
y = cos −(π − 2x)
y = cos(π − 2x)
y = −cos2x
A)
X
Y
−𝛑/𝟐 𝛑/𝟐
1
X
Y
−1
0−π ππ/2−π/2
y = −cos2x
y = cos2x
X
Y
0−π/2 π/2
Clave C
RESOLUCIÓN
0
Y
X
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES DE LA FORMA
y = Asen Bx + C + D; A > 0;B > 0; C > 0
−
𝐶
𝐵
−
𝐶
𝐵
𝐴
D
Ymáx
Ymín
T =
2π
B
Se establece que:
𝐃 =
𝐲𝐦á𝐱 + 𝐲𝐦í𝐧
𝟐
𝐀 =
𝐲𝐦á𝐱 − 𝐲𝐦í𝐧
𝟐
𝐓 =
𝟐𝛑
𝐁
Donde
A : amplitud de la función
D: número de desplazamiento vertical
T : período de la función.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
X
Y
𝑥2
π
2
0
3π
2
3π
2
π 2π0
𝑌
X
π
Gráfica de la tangente = x; y ∈ ℝ2 y = tanx; x ∈ ℝ −
2n + 1 π
2
; n ∈ ℤ
Domf = ℝ −
2n + 1 π
2
; n ∈ ℤ
Ranf = ℝ
Es decir: −∞ < tanx < +∞
Período ∶ 𝐓 = 𝛑
Es una función impar:
tan −x = −tan(x)
T = π
𝑥1
π
2
−
π
2
ASÍNTOTAS
tanx1
x1
tanx1
tanx2
tanx2
𝑥2
Recordar …! 
C.T
tangentoide
Creciente ∶ ∀x ∈ −
π
2
+ nπ;
π
2
+ nπ ; n ∈ ℤ
Es continua en su dominio ∀x ∈ −
π
2
+ nπ;
π
2
+ nπ;
APLICACIÓN 3
A partir del gráfico hallar la regla de correspondencia
A) 𝑓 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑥 +
𝜋
4
+ 1 B) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 +
𝜋
4
+ 1
C) 𝑓 𝑥 = −𝑡𝑎𝑛 𝑥 +
𝜋
4
+ 1 D) 𝑓 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑥 +
𝜋
4
− 1
E) 𝑓 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑥 −
𝜋
4
+ 1
−1
3
π
2
π
π
4
5π
4
f x = Atan Bx + C + D
X
Y
RESOLUCIÓN
Del gráfico, el periodo es: 𝑇 =
5𝜋
4
−
𝜋
4
Por otro lado: 𝑇 =
𝜋
𝐵
→ 𝐵 = 1
En el punto medio entre 
5𝜋
4
y 
𝜋
4
tenemos 𝑓
3𝜋
4
= 𝐷
𝐴 tan
3𝜋
4
+ 𝐶 + 𝐷
⇒ 𝒇 𝒙 = 𝑨 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝑪 +𝑫
→ tan
3𝜋
4
+ 𝐶 = 0 → 𝐶 =
𝜋
4
Evaluando en 
𝜋
2
y 𝜋 la función f toma valores -1 y 3 
respectivamente
𝑓
𝜋
2
= −1 → −𝐴 + 𝐷 = −1
⇒ 𝒇 𝒙 = 𝑨 𝐭𝐚𝐧 𝒙 +
𝝅
𝟒
+ 𝑫
𝑓 𝜋 = 3 → 𝐴 +𝐷 = 3
𝐴 = 2;𝐷 = 1
∴ 𝒇 𝒙 = 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 +
𝝅
𝟒
+ 𝟏
→ 𝑇 = 𝜋
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