Semestral Uni - Trigonometría semana 18

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Transformación de coordenadas
Trigonometría
La traslación y rotación de ejes puede
usarse para simplificar la identificación de
las ecuaciones y el trazo de las gráficas de
las cónicas que no están en posición normal
Veamos el siguiente caso:
La circunferencia mostrada
en el sistema XY tiene por
ecuación:
𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 3 2 = 1
3
4
Y
X
1
Pero si trasladamos el sistema al centro de la
circunferencia notaremos que la ecuación de la
circunferencia se reduce considerablemente.
Y’
X’
En el nuevo sistema
La ecuación será
𝑥′ 2 + 𝑦′ 2 = 1
(4; 3)
Traslación y rotación de 
ejes
Considerando el nuevo origen del sistema (h; k)
X
Y
X’
Y’
P(x; y) P′(x′; y′)<>
O′(h; k)
𝑦′
𝑥′
𝑦
𝑥
Del gráfico
𝐱 = 𝐱′ + 𝐡
𝐲 = 𝐲′ + 𝐤
𝐱′ = 𝐱 − 𝐡
𝐲′ = 𝐲 − 𝐤
∨
θ
P(x; y) P′(x′; y′)<>
X
X’
Y
𝑦′
𝑥
y = rsenα
O
En el gráfico
PK = x′ = rcos(α − θ)
PH = y′ = rsen(α − θ)
r
= rsen(α − θ)
H
K
x = rcosα
x′ = rcosα
x
cosθ + rsenα
y
senθ
y′ = rsenα
y
cosθ − rcosα
x
senθ
Y’
En consecuencia:
𝐱′ = 𝐱𝐜𝐨𝐬𝛉 + 𝐲𝐬𝐞𝐧𝛉
𝐲′ = 𝐲𝐜𝐨𝐬𝛉 − 𝒙𝐬𝐞𝐧𝛉
Traslación de ejes
Rotación de ejes
Además
𝒙 = 𝐱′𝐜𝐨𝐬𝛉 − 𝐲′𝐬𝐞𝐧𝛉
𝒚 = 𝐲′𝐜𝐨𝐬𝛉 + 𝒙′𝐬𝐞𝐧𝛉
Ejercicio 1
Hallar las ecuaciones de las tangentes a la
circunferencia 𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 10𝑦 − 14 = 0 que
son perpendiculares a la recta 𝐿1: 𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0
Resolución
Completando cuadrados tenemos
(𝑥 + 1)2+(𝑦 + 5)2= 40
Haciendo: 𝑥′ = 𝑥 + 1 e 𝑦′ = 𝑦 + 5
En el nuevo sistema X’O’Y’ la circunferencia tiene como
ecuación:
(𝑥′)2+(𝑦′)2= 40
Las ecuaciones de las tangentes a C que son 
perpendiculares a 𝐿1 tienen la forma
𝑦′ = 3𝑥′ + 𝑏
40
Y’
X’
→ 3𝑥′ − 𝑦′ + 𝑏 = 0
(0; 0)
3 0 − 0 + 𝑏
32 + 1
= 40
Distancia de un punto 
a una recta
𝑏 = 20
→ 3𝑥′ − 𝑦′ ± 20 = 0
Restableciendo las ecuaciones al sistema original
→ 3(𝑥 + 1) − (𝑦 + 5) ± 20 = 0
Por tanto:
3𝑥 − 𝑦 + 18 = 0 3𝑥 − 𝑦 − 22 = 0∨
Ecuación 
general
y2 + Dx + Ey + F = 0 𝐴x2 − 𝐶y2 + Dx
+ Ey + F = 0
𝐴𝐶 > 0
x2 + Dx + Ey + F = 0 𝐶x2 − 𝐴y2 + Dx
+ Ey + F = 0
𝐴𝐶 > 0
Gráfica en 
el plano 
cartesiano
Eliminación del término xy en una ecuación de segundo 
grado
Ecuación general de segundo grado o cuadrática, en
dos variables
Ax2 + Bxy + cy2 + Dx + Ey + F = 0
Para identificar la gráfica de la ecuación cuando 𝐵 ≠ 0,
Se puede emplear una rotación de ejes para obtener
una ecuación sin el término 𝑥’𝑦’
cot2θ =
A − C
2
; 0 < θ < 90o
Para determinar el ángulo de rotación consideramos 
la ecuación
A′ x′ 2 + 𝐶′ y′ 2 + D′x′ + E′y′ + F′ = 0
Ecuación 
general
x2 + y2 + Dx + Ey + F
= 0
𝐴x2 + 𝐶y2 + Dx
+ Ey + F = 0
𝐴𝐶 > 0
Gráfica en 
el plano 
cartesiano
NOTA
Ejercicio 2
Mediante una rotación de ejes identificar la gráfica de 
la ecuación x2 + 6xy + 9y2 + 12 10x − 4 10y = 0. 
Hacer un esquema de dicha gráfica
Resolución
Determinamos el ángulo de rotación
tan 2𝜃 = −
3
4
→ 𝜃 =
143°
2
Ecuaciones de rotación
𝒙 = 𝐱′𝐜𝐨𝐬
143°
2
− 𝐲′𝐬𝐞𝐧
143°
2
𝐲 = 𝐱′𝐬𝐞𝐧
143°
2
+ 𝐲′𝐜𝐨𝐬
143°
2
𝒙 =
𝒙′ − 𝟑𝒚′
𝟏𝟎
𝒚 =
𝟑𝒙′ + 𝒚′
𝟏𝟎
Sustituyendo en la ecuación general, tenemos
(𝒙′)𝟐= 𝟒(𝐲′)
Y
X
OBSERVACIÓ
N
Para reconocer la gráfica de una ecuación de segundo
grado con dos variables analizamos dos elementos
Indicador (I) y el discriminante (△)
Sea:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0; B ≠ 0
• I = 0, ∆< 0; ∆> 0 es una parábola 
• I < 0, ∆< 0 es una elipse
• I > 0, ∆< 0; ∆> 0 es una hipérbola
Donde
I = B2 − 4AC
∆= 4𝐴𝐶𝐹 + 𝐵𝐷𝐸 − 𝐴𝐸2 − C𝐷2
NOTA
(x; y): coordenadas de P en el sistema XY
(x’; y’): coordenadas de P en el sistema trasladado X’Y’
(x’’; y’’): coordenadas de P en el sistema rotado X’’Y’’
𝐱 = 𝐱′ + 𝐡
𝐲 = 𝐲′ + 𝐤
𝒙′ = 𝐱′′𝐜𝐨𝐬𝛉 − 𝐲′′𝐬𝐞𝐧𝛉
𝒚′ = 𝐲′′𝐜𝐨𝐬𝛉 + 𝒙′′𝐬𝐞𝐧𝛉
𝒙 = 𝐱′′𝐜𝐨𝐬𝛉 − 𝐲′′𝐬𝐞𝐧𝛉 + 𝐡
𝒚 = 𝒚′′𝐜𝐨𝐬𝛉 + 𝒙′′𝐬𝐞𝐧𝛉 + 𝐤
También 
Dada la ecuación general de la cónica
𝒞: Ax2 + By2 + Cx + Dy + F = 0 con A, B, C, D, F constantes
Arbitrarias, se tiene que:
I. Si A = B ≠ 0, entonces siempre tenemos la ecuación de una 
circunferencia.
II. Si B = 0 y A ≠ 0, entonces siempre tenemos la ecuación de 
una parábola.
III. Si 𝐴 ∙ 𝐵 < 0 y D2 − 4B2F > 0, entonces siempre tenemos
la ecuación de una hipérbola.
Luego son verdaderas:
A) Solo I B) II y III C) solo II D) solo III E) I y III
UNI 2017-
1
Resolució
n
www.a c adem ia c e sa r v a l l e j o . e du . p e