Semestral UNI_Semana 19_TEORIA RACIONALES II

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RACIONALES II
- Números decimales exactos
- Números decimales inexactos: periódico 
puro y periódico mixto
- Cambio de base de números avales
ARITMÉTICA – SEM 19
OBJETIVOS DE LA SESIÓN 
INTRODUCCIÓN
Las antiguas civilizaciones no utilizaban las fracciones decimales,
Los egipcios se centraron en las fracciones unitarias y los
babilonios utilizaban un sistema sexagesimal manejando
fracciones cuyo denominadores eran potencias de 60.
Aunque las fracciones decimales eran conocidas y utilizadas por
árabes y chinos, se atribuye generalmente al científico y
matemático belga Simón Stevin (1548-1620), en sus obras la
Thiede y la Disme, la introducción de los decimales en el uso
común.
Stevin no utilizó nuestro actual sistema de anotación sino un
sistema propio , así donde nosotros escribimos 923,456 , él lo
hacia 923(0) 4(1) 5(2) 6(3) simbolizando 923 unidades, 4 décimas,
5 centésimas y 6 milésimas.
Son aquellos números que se obtienen al dividir los términos
de una fracción en la base 10.
NÚMEROS DECIMALES
Ejemplos:
9,125 = 13,0436•
5
27
= 0,185185…•
Pero estos números también se pueden expresar en una base
diferente de 10 , generando los números avales.
73
8
= 9,125•
En general:
A partir de ahora, se dará preferencia a los números menores que 1,
es decir, aquellos que se originan de una fracción propia ; ya que la
parte entera ha sido estudiada en el capitulo de Numeración.
… (Número exaval)
… (Número ternaval)0,185185… = 0,0123•
𝑁
𝐷
= 𝑎𝑏. . . 𝑝 , 𝑟𝑡. . . 𝑧𝑛
Parte 
entera
Parte 
n-aval
CLASIFICACIÓN:
49
8
= 6,125
7
12
= 0,58333333…
26
33
= 0,787878…



…(Número Decimal Exacto)
…(Número Decimal Inexacto
Periódico Puro) 
= 0,78
= 0,583 …(Número Decimal Inexacto
Periódico Mixto)
NÚMERO DECIMAL EXACTO
Fracción generatriz
Ejemplos:
17
125
=
17
53
• 0,136 =
11
40
=
11
23 × 51
• 0,275 =
Únicamente 5
Únicamente 2 y 5
275
1000
=
136
1000
=
EN OTRAS BASES:
El exponente indica la cantidad
de cifras en la parte decimal
El mayor exponente indica la
cantidad de cifras en la parte
decimal
Una fracción irreductible genera un número decimal
exacto, cuando el denominador tiene como únicos
divisores primos a 2 y/o 5.
El cantidad de cifras en la parte decimal es igual al mayor
exponente del factor primo 2 o 5 en la descomposición
canónica del denominador de la fracción irreductible.
• 0,248 =
248
1008
=
20
82
=
5
16
• 0,1349 =
1349
10009
=
112
93
Una fracción irreductible genera un número aval
exacto, cuando el denominador tiene como únicos
factores primos a los factores primos de la base.
La cantidad de cifras en la parte aval es igual al
exponente de la menor potencia de la base que
contiene al denominador de la fracción irreductible.
• 0,136 =
136
1006
=
9
62
=
1
4
Número Decimal Inexacto Periódico Puro
Fracción generatriz
Ejemplos:
=
54
99
=
6
11
=
6
9
0,185
0,54
0,6
=
5
27
=
185
999
=
2
3
Una fracción irreductible genera un número decimal
inexacto periódico puro, cuando el denominador no
contiene como factores primos al 2 y ni al 5.
Además, la cantidad de cifras en la parte periódica es igual
a la cantidad de cifras del menor numeral formado por solo
cifras nueve que contiene al denominador.
Tabla de los Nueves (cifras máximas)
9
99
999
9999
99999
999999
= 32
= 32 × 11
= 33 × 37
= 32 × 11× 101
= 32 × 41× 271
= 33 × 7 × 11× 13 × 37
No hay factor 2 ni 5
No hay factor 2 ni 5
No hay factor 2 ni 5
Contenido en 9; por lo tanto, 
tenemos 1 cifra periódica
Contenido en 99; por lo tanto, 
tenemos 2 cifras periódicas
Contenido en 999; por lo tanto, 
tenemos 3 cifras periódicas
Fracción Generatriz:
0, 𝑎𝑏𝑐 …𝑚
“k” cifras
999 … 9
=
𝑎𝑏𝑐 … 𝑚
“k” cifras
=
2
7
=
10
35
Contenido en 
2 cincos
=
19
43
Contenido en 
3 cincos
• 0, 146
• 0, 2356
=
3
5
=
36
56
Contenido en 
1 cinco
• 0, 36
=
145
556
=
95
215
=
2356
5556
EN OTRAS BASES:
Tabla de los Cincos
56
556
5556
55556
555556
5555556
= 5
= 5 × 7
= 5 × 43
= 5 × 7 × 37
= 52 × 311
= 5 × 7 × 31 × 43
EN BASE 6:
0, abc…mn
“k” cifras
𝑛 − 1 𝑛 − 1 …(𝑛 − 1)
𝑛
=
abc…m𝑛
“k” cifras
Fracción Generatriz:
No hay factor 2 ni 3
No hay factor 2 ni 3
No hay factor 2 ni 3
Una fracción irreductible genera un número aval inexacto
periódico puro, cuando el denominador no contiene como
factores primos a los factores primos de la base.
Además, la cantidad de cifras en la parte periódica es igual
a la cantidad de cifras del menor numeral formado por solo
cifras máximas de la base que contiene al denominador.
Inexacto Periódico Mixto
Una fracción irreductible genera un número decimal inexacto
periódico mixto, cuando el denominador tiene como factores
primos al 2 y/o al 5 y además otro u otros factores primos.
=
654 − 6
990
Fracción generatriz
La cantidad de cifras en la parte no periódica se determinara de
igual manera que en el decimal exacto y la cantidad de cifras en
la parte periódica de igual manera que en el periódico puro.
0,654 =
648
990
=
36
55
=
36
51 × 11
=
185 − 18
900
0,185 =
167
900
=
167
22 × 52 × 9
=
46 − 4
90
0,46 =
42
90
=
7
51 × 3
=
7
15
Número Decimal Aplicación 1
Resolución
Por dato: 
Por aspa:
74 = (…1)
Sabemos:
72019= 74+3
74 73
72019=
𝑓 =
2019
72019
𝑎𝑏𝑐 …𝑥𝑦𝑧
𝑧 = 7
=
𝑎𝑏𝑐…𝑥𝑦𝑧
999…999
Por lo tanto, la ultima cifra del período es 7
= 0, 𝑎𝑏𝑐 …𝑥𝑦𝑧
= (…1)
Determine la última cifra periódica que se obtiene al
hallar la expresión decimal equivalente a la fracción:
(UNI 2020-1)
𝑓 =
2019
72019
(…3)(…1) = (…3)
2019 9…99 = 72019 𝑎𝑏𝑐…𝑥𝑦𝑧× ×
×
Piden: El valor de 𝑧.
Luego:
× × (…3)
APLICACIÓN 2 RESOLUCIÓN: 
Para I:
…(𝐕𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐚)
Para II:
…(𝐕𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐚)
Para III:
…(𝐕𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐚)
1113 = 235
1 × 32 + 1 × 3 + 1 = 2 × 5 + 3
13 = 13
0,25 = 0,1 5
0,1 5 =
15
45
=
1
4
= 0,25
0, (10)11 = 0,4 5
10
10
=
4
4
Por lo tanto: La secuencia correcta es VVV
Señale la alternativa correcta después de determinar
si cada proposición es verdadera(V) o falsa(F):
(UNI 2018 - 2)
I. 111(3) = 23(5)
II. 0,25 = 0,1(5)
III. 0, a(11) = 0,4(5), donde a = 10.
A)FVF B)FVV C)VFF
D)VVF E)VVV
APLICACIÓN 3
RESOLUCIÓN:
Piden: El valor de “p + q + r + n”.
Por dato:
Si 𝑓 es irreductible, además:
Halle: p + q + r + n.
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
𝑓 =
𝑛 + 1
𝑛 − 1 𝑛 + 3
= 0, 𝑝𝑞𝑟
𝑓 =
𝑛 + 1
𝑛 − 1 𝑛 + 3
𝟐𝟕
𝒇 es irreductible
𝟑 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔
;
Reemplazando:
=
5
37
𝑝𝑞𝑟 = 135
𝑝 = 1 ; 𝑞 = 3 ; 𝑟 = 5
0, 𝑝𝑞𝑟 =
5
37
𝑝𝑞𝑟
999
𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑛 = 13
= 0, 𝑝𝑞𝑟
𝟑𝟕
ℴ
𝑛 = 4
∴
𝟐𝟕
CAMBIO DE BASE DE NÚMEROS AVALES
Ejemplo: Expresar 0,32415 a base 10 
1ra forma:
0,32415 =
32415
100005
=
446
54
×
𝟐𝟒
𝟐𝟒
=
7136
10000
= 0,7136
∴ 0,32415= 0,7136
2da forma:
0,32415=
3
5
+
2
52
+
4
53
+
1
54
0,32415 =
3
5
×
𝟓𝟑
𝟓𝟑
+
2
52
×
𝟓𝟐
𝟓𝟐
+
4
53
×
𝟓
𝟓
+
1
54
0,32415 =
446
54
×
𝟐𝟒
𝟐𝟒
=
7136
10000
= 0,7136
∴ 0,32415 = 0,7136
2) De Base 10 a Base ≠ 10
Ejemplo:
Expresar 0,46666… a base 7 
1ra forma:
= 0+
7
15
= 6+
1
15
= 1 +
13
15
= 0,4෠6 =
46 − 4
90
=
7
15
De aquí:
7
15
0,4666…
4
15
13
15
0,4666… = 0,3…7
0,4666… = 0,31…7
0,4666… = 0,316…7
1
15
0,4666… = 0,3160…7
0,4666… = 0,316031…7
× 7 =
49
15
= 3+
4
15
× 7 =
28
15
=
91
15
× 7
× 7 =
7
15
=
42
90
7
15
× 7 =
49
15
= 3+
4
15
⋮
1) De Base ≠ 10 a Base 10
∴ 0,46 = 0,31607
2da forma:
=
46 − 4
90
=
7
15
De aquí:
0,4666… =
42
90
7 15
0 ,45
4
15
13
31
⋱
6
90
1
03…(7)
45
4
= 49
= 28
= 91
= 49
0,4666… = 0,31603160…(7)
× 𝟕
× 𝟕
× 𝟕
× 𝟕 × 𝟕
∴ 0,46 = 0,31607
= 0,46
APLICACIÓN 4 
Sea: 
𝐴
𝐵
=
5
9
+
3
92
+
7
93
+
3
94
+
7
95
+⋯
Calcule el valor de B (en la base 10) ; si 
𝐴
𝐵
es una fracción irreductible.
RESOLUCIÓN: 
Por lo tanto: El valor de “B” es 360.
Por dato:
Piden: El valor de “B”.𝐴
𝐵
=
𝑭𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏
𝒊𝒓𝒓𝒆𝒅𝒖𝒄𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆
B = 360
𝐴
𝐵
=
5
9
+
3
92
+
7
93
+
3
94
+
7
95
+⋯
𝐴
𝐵
=
434
720
→ 217 × 2
→ 360 × 2
𝐴
𝐵
=
217
360
Convirtiendo a fracción generatriz: =
5379 − 5
8809
𝐴
𝐵
= 0,5379
0,5379
APLICACIÓN 5
RESOLUCIÓN: 
Por lo tanto: El valor de “𝒂 × 𝒃 × 𝒄” es 14
IGUALDAD DE NÚMEROS AVALES
Cuando se tiene una igualdad de números avales, se deben
igualar las partes enteras y también las partes avales .
Si tenemos que:
Entonces:
abcx = mny 0,෢dex = 0, 𝑝𝑞𝑟𝑦;
Si se cumple que:
𝑎4,2𝑏(6)= 𝑎0,2𝑐0(8)
Halle el valor de 𝑎 × 𝑏 × 𝑐.
A) 24 B) 28 C) 14
D) 10 E) 12
Piden: El valor de "𝑎 × 𝑏 × 𝑐".
Igualamos las partes enteras: 𝑎46 = 𝑎08
0, 2𝑏6 = 0,2𝑐08
Descomponiendo polinómicamente: 6𝑎 + 4 = 8𝑎
4 = 2𝑎
𝑎 = 2
Igualando las partes avales:
2𝑏6
1006
=
2𝑐08 − 2
7708
12 + 𝑏
36
=
126 + 8. 𝑐
504
14
7
84 + 7𝑏 = 63 + 4𝑐
21 + 7𝑏 = 4𝑐
1 7
b = 1 ; c = 7
Por dato: 𝑎4,2𝑏(6)= 𝑎0,2𝑐0(8)
𝑎𝑏𝑐, 𝑑𝑒𝑥 = 𝑚𝑛, 𝑝𝑞𝑟𝑦
BIBLIOGRAFÍA
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética. Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores, 2020.
 Asociación Fondo de Investigadores y
Editores. Aritmética: Colección compendio
académico UNI. Lumbreras Editores, 2018.
w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e