TRIGO-SEM11-CEPUNS

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Centro Preuniversitario de la UNS S – 11 Ingreso Directo 
1 
(Trigonometría) 
 Ciclo 2022 – II 
“TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS” 
Docente: Equipo docente 
 
Objetivos: 
 Conocer las equivalencias que transforman sumas o diferencias de razones trigonométricas (senos o cosenos) a 
producto. Dichas identidades permiten simplificar expresiones complicadas. 
 Conocer las equivalencias que nos permitan transformar el producto de dos razones trigonométricas (senos o cosenos) 
a una suma o diferencia de dos razones trigonométricas (senos o cosenos). 
 Conocer las propiedades que se deducen a partir de las identidades de las transformaciones trigonométricas. 
 
TRANSFORMACIONES 
TRIGONOMÉTRICAS 
 
TRASFORMACIÓN DE UNA SUMA O DIFERENCIA A 
PRODUCTO 
 
Recordemos que: 
𝐬𝐞𝐧(𝐱 + 𝐲) = 𝐬𝐞𝐧𝐱. 𝐜𝐨𝐬𝐲 + 𝐜𝐨𝐬𝐱. 𝐬𝐞𝐧𝐲 … … … (𝐈) 
𝐬𝐞𝐧(𝐱 − 𝐲) = 𝐬𝐞𝐧𝐱. 𝐜𝐨𝐬𝐲 − 𝐜𝐨𝐬𝐱. 𝐬𝐞𝐧𝐲 … … … (𝐈𝐈) 
 
(I) + (II): 
 
𝐬𝐞𝐧(𝐱 + 𝐲) + 𝐬𝐞𝐧(𝐱 − 𝐲) = 𝟐𝐬𝐞𝐧𝐱𝐜𝐨𝐬𝐲 … (𝐈𝐈𝐈) 
 
Haciendo: 
 
𝐱 + 𝐲 = 𝐀 ∧ 𝐱 − 𝐲 = 𝐁 → {𝐱 = 
𝐀+𝐁
𝟐
 ∧ 𝐲 = 
𝐀−𝐁
𝟐
} 
 
Reemplazando en (III): 
 
𝐬𝐞𝐧𝐀 + 𝐬𝐞𝐧𝐁 = 𝟐𝐬𝐞𝐧 (
𝐀 + 𝐁
𝟐
) 𝐜𝐨𝐬 (
𝐀 − 𝐁
𝟐
) 
 
Análogamente y en resumen tendremos: 
 
𝑠𝑒𝑛𝐴 + 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 2𝑠𝑒𝑛 (
𝐴 + 𝐵
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
𝐴 − 𝐵
2
) 
𝑠𝑒𝑛𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 2𝑐𝑜𝑠 (
𝐴 + 𝐵
2
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝐴 − 𝐵
2
) 
𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 2𝑐𝑜𝑠 (
𝐴 + 𝐵
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
𝐴 − 𝐵
2
) 
𝑐𝑜𝑠𝐴 − 𝑐𝑜𝑠𝐵 = −2𝑠𝑒𝑛 (
𝐴 + 𝐵
2
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝐴 − 𝐵
2
) 
𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 2𝑠𝑒𝑛 (
𝐴 + 𝐵
2
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝐴 − 𝐵
2
) 
 
TRASFORMACIÓN DE PRODUCTO A UNA SUMA O 
DIFERENCIA 
 
Recordemos que: 
𝐬𝐞𝐧𝐱. 𝐜𝐨𝐬𝐲 + 𝐜𝐨𝐬𝐱. 𝐬𝐞𝐧𝐲 = 𝐬𝐞𝐧(𝒙 + 𝒚) … … … (𝐈) 
𝐬𝐞𝐧𝐱. 𝐜𝐨𝐬𝐲 − 𝐜𝐨𝐬𝐱. 𝐬𝐞𝐧𝐲 = 𝐬𝐞𝐧(𝒙 − 𝒚) … … … (𝐈𝐈) 
 
(I) + (II): 
𝟐𝐬𝐞𝐧𝐱. 𝐜𝐨𝐬𝐲 = 𝐬𝐞𝐧(𝒙 + 𝒚) + 𝒔𝒆𝒏(𝒙 − 𝒚) 
 
Análogamente y en resumen tendremos: 
 
2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) 
2𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) 
2𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) 
2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 
 
PROPIEDAD: 
 
Si: A + B + C = 180°, se cumple: 
 
𝑠𝑒𝑛𝐴 + 𝑠𝑒𝑛𝐵 + 𝑠𝑒𝑛𝐶 = 4𝑐𝑜𝑠
𝐴
2
𝑐𝑜𝑠
𝐵
2
𝑐𝑜𝑠
𝐶
2
 
𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 4𝑠𝑒𝑛
𝐴
2
𝑠𝑒𝑛
𝐵
2
𝑠𝑒𝑛
𝐶
2
+ 1 
𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 4𝑐𝑜𝑠
𝐴
2
𝑐𝑜𝑠
𝐵
2
𝑠𝑒𝑛
𝐶
2
− 1 
𝑠𝑒𝑛2𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2𝐵 + 𝑠𝑒𝑛2𝐶 = 4𝑠𝑒𝑛𝐴𝑠𝑒𝑛𝐵𝑠𝑒𝑛𝐶 
𝑠𝑒𝑛2𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2𝐵 − 𝑠𝑒𝑛2𝐶 = 4𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑒𝑛𝐶 
𝑐𝑜𝑠2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2𝐵 + 𝑐𝑜𝑠2𝐶 = −4𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 − 1 
𝑐𝑜𝑠2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2𝐵 − 𝑐𝑜𝑠2𝐶 = −4𝑠𝑒𝑛𝐴𝑠𝑒𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 + 1 
𝑠𝑒𝑛2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2𝐵 + 𝑐𝑜𝑠2𝐶 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 
𝑠𝑒𝑛2
𝐴
2
+ 𝑐𝑜𝑠2
𝐵
2
+ 𝑐𝑜𝑠2
𝐶
2
= 1 − 2𝑠𝑒𝑛
𝐴
2
𝑠𝑒𝑛
𝐵
2
𝑠𝑒𝑛
𝐶
2
 
 
SERIES TRIGONOMETRICAS 
 
Serie de seno 
𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝑟) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 2𝑟) + ⋯ 𝑠𝑒𝑛[𝛼 + (𝑛 − 1)𝑟] =
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝑟
2
𝑠𝑒𝑛
𝑟
2
𝑠𝑒𝑛 [
𝑃 + 𝑈
2
] 
 
Serie de coseno 
𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝑟) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 2𝑟) + ⋯ 𝑐𝑜𝑠[𝛼 + (𝑛 − 1)𝑟] =
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝑟
2
𝑠𝑒𝑛
𝑟
2
𝑐𝑜𝑠 [
𝑃 + 𝑈
2
] 
 
 Semana Nº11 
EQUIPO DOCENTE CICLO 2022 – II SEMANA Nº11 
 
 
 
Centro Preuniversitario de la UNS S – 11 Ingreso Directo 
2 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1. Calcula el valor de: 
𝐸 =
𝑐𝑜𝑠65° − 𝑐𝑜𝑠5°
𝑠𝑒𝑛65° + 𝑠𝑒𝑛5°
 
 
A) 1 B) √2 C)−
√3
3
 
D) -√2 E) -1 
 
2. Reducir: 
𝐾 = 
𝑠𝑒𝑛𝑎10θ − 𝑠𝑒𝑛2θ
𝑐𝑜𝑠10θ + 𝑐𝑜𝑠2θ
 
 
A) tgθ B) tg2θ C) sen4θ 
D) tg4θ E) ctg4θ 
 
3. Calcular el valor de: 
E = cos(120° - x) + cosx + cos(120° + x) 
 
A) 1 B) -1 C) 8 
D) 0 E) 3 
 
4. Simplificar: E = (tg2x + tgx)(cos3x + cosx) 
 
A) senx B) sen2x C) sen3x 
D) 2sen3x E) 3sen2x 
 
5. Transformar a producto: P = 1 + √3 
 
A) 2cos15° B) √3cos15° C) √2cos15° 
D) 2√2cos15° E) 2√2sen15° 
 
6. Reducir: E = 2cos2x.cosx – cos3x 
 
A) senx B) cosx C) 10 
D) tx E) -cosx 
 
7. Calcular: M = sen55°.cos5° + sen35°.sen5° 
 
A) √3 B) 1/2 C) 2√3 
D) 1 E) √3/2 
 
8. Transformar a producto: senx + cosx 
 
A) cos(45°+x) B) cos(45°-x) 
C) √2cos(45°+x) D) √2cos(45°-x) 
E) sen(45°+x) 
 
9. Calcule el máximo valor de: F =cos(30°+x)cosx 
 
A) 
√3+1
2
 B) 
√3+2
2
 C) 
√3+1
4
 
D) 
√3+2
4
 E) 
√3
4
 
 
 
 
10. Reducir: F = 2sen40°.cos10° - cos40° 
 
A) 1 B) 
1
2
 C) 
√3
4
 
D) 
√3
2
 E) √3 
 
11. Factorizar: 
E = 4sen2xcos4xcos6x – 2senxcos3x 
 
A) sen2xsen5xsen15x 
B) sen2xsec5xsen15x 
C) sen2xcos5xsen15x 
D) sen2xcsc5xsen15x 
E) sen2xsen5xcsc15x 
 
12. Simplificar: W = cos480°+ cos440° + cos420° 
 
A) 1/27 B) 9/4 C) 1/8 
D) 11/8 E) 9/8 
 
13. Si: N = sen7𝛼.csc 𝛼, I = cos2 𝛼 + cos4 𝛼 +cos6 𝛼, al 
calcular: U = N – 2I, se obtiene: 
 
A) -2 B) -1 C) 0 
D) 1 E) 2 
 
14. Simplifique: 
E =
sen20°
1 − √3sen20°
 
 
A) Tg10° B) Tg20° C) Tg30° 
D) Tg40° E) Tg50° 
 
15. Reducir: F = 2sen40°.cos10° - cos40° 
 
A) √3 B) 1/2 C) 2√3 
D) 1 E) √3/2 
 
16. Simplifique la siguiente expresión: 
E = 
cos8x. tg3x + cos2x. tg3x
sen44x − sen22x
 
 
A) 2ctg5x B) ctg5x C) 2tg5x 
D) tg3x E) ctg3x 
 
17. Halle una expresión equivalente a: 
E = √3sec70° - 2 
 
A) sen20° B) 4sen20° C) cos40° 
D) 2cos40° E) 4cos40° 
 
18. Evaluar: 
E = 
sen9°
sen48°
−
sen12°
sen81°
 
 
A) -1 B) 0 C) 1/2 
D) 1 E) 2 
EQUIPO DOCENTE CICLO 2022 – II SEMANA Nº11 
 
 
 
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19. Reducir: 
A = cos77°cos43°+sen16°sen18°+cos121°cos61° 
 
A) -2 B) -1 C) 0 
D) 1 E) 2 
 
20. Calcular: 
𝑄 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
15
+ 𝑠𝑒𝑛
5𝜋
15
+ 𝑠𝑒𝑛
9𝜋
15
+ ⋯ + 𝑠𝑒𝑛
33𝜋
15
 
 
A) 𝑠𝑒𝑛
𝜋
15
 B) 𝑠𝑒𝑛
𝜋
5
 C) 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
5
 
D) 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
5
 E) 1 
 
21. Factorice: 
E = cosx + cos3x + cos5x + cos7x 
 
A) 
1
2
 sen8x.cscx B) 
1
2
sen8x.cosx 
C) 
1
2
cos8x.secx D) 
1
2
cos8x.cscx 
E) sen8x.cscx 
 
22. Simplifica: 
V = 
sen7x
senx
− 2cos2x − 2cos4x − 2cos6x 
 
A) 1 B) 3 C) 2 
D) 4 E) 0 
 
23. Al simplificar la expresión: 
F = 
2sen2x − sen4x + sen8x
sen5x − senx
 
 
A) cosx B) 2cosx C) cos3x 
D) 2cos3x E) 2cos2x 
 
24. Halle le máximo valor de: 
K = cos(50° + x) + cos(10° - x) 
 
A) 1 B) √3 C) 2 
D) √3/2 E) 
1
2
 
 
25. En un triángulo ABC, simplifica la expresión: 
E =
sen2A + sen2B + sen2C
2sen(A + B)sen(A + C)sen(B + C)
 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
26. Reduce: 
A = 2cos3x + 2cos5x + 2cos7x −
sen8x
senx
 
 
A) 1 B) -1 C) 2cosx 
D) -2cosx E) sen2x