tarea_8_fe_funciones_y_ecuacion_asociada_de_legendre

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1. Usando la expresión
Pml (cos θ) = (l +m)!
l+m
2∑
n=0
(−1)n−m sen2n−m θ cosl+m−2n θ
22n−m(l +m− 2n)!n!(n−m)!
pruebe que
P−ml = (−1)
m (l −m)!
(l +m)!
Pml (1)
Sugerencia: tome en cuenta que para m>0 la suma (1) contiene términos que valen cero debido a
la presencia de factoriales de números enteros negativos en el denominador.
Solución:
Dado que se trata de una igualdad, podemos partir desde el lado derecho de la ecuación () y llegar
a que es igual a P−ml .
Podemos expandir la suma sobre n que va de 0 a l+m2 con el fin de saber para que valores de
m, la suma contiene factoriales negativos en el denominador que no contribuyen a la suma dado
que son cero. Consideremos m > 0.
Pml (cos θ) = (l +m)!
l+m
2∑
n=0
(−1)n−m sen2n−m θ cosl+m−2n θ
22n−m(l +m− 2n)!n!(n−m)!
= (l +m)!
[
(−1)−m sen−m θ cosl+m θ
2−m(l +m)!0!(−m)!
+
(−1)1−m sen2−m θ cosl+m−2 θ
22−m(l +m− 2)!1!(1−m)!
+
+
(−1)2−m sen4−m θ cosl+m−4 θ
24−m(l +m− 4)!2!(2−m)!
+ . . .+
(−1) l+m2 −m sen(l+m)−m θ cosl+m−(l+m) θ
2(l+m)−m(l +m− (l +m))!( l+m2 )!(
l+m
2 −m)!
[
= (l +m)!(−1)−m
[
0− sen
2−m θ cosl+m−2 θ
22−m(l +m− 2)!(1−m)!
+
+
sen4−m θ cosl+m−4 θ
24−m(l +m− 4)!2!(2−m)!
+ . . .+
(−1) l+m2 senl θ
2l( l+m2 )!(
l+m
2 −m)!
[
Podemos ver que si consideramos m > 0, entonces el primer termino de la suma contiene el cociente
1
(−m)! el cual es cero, y en general, existe un patrón dado que en todas las sumas esta el cociente
1
(n−m)! y para que sea el factorial de un numero cero o positivo, se debe cumplir que m ≤ n. En
los casos donde m > n, los términos son cero y no contribuyen a la suma.
La expresión en serie de P−ml (cos θ) es
P−ml (cos θ) = (l −m)!
l−m
2∑
n=0
(−1)n+m sen2n+m θ cosl−m−2n θ
22n+m(l −m− 2n)!n!(n+m)!
consideremos el cambio de índice de la sumatoria y multipliquemos por (−1)−m
M∑
n=k
an =
M+m∑
n=k+m
an−m
(−1)−m
l−m
2∑
n=0
(−1)n+m sen2n+m θ cosl−m−2n θ
22n+m(l −m− 2n)!n!(n+m)!
= (−1)−m
l−m
2 +m∑
n=0+m
(−1)(n−m)+m sen2(n−m)+m θ cosl−m−2(n−m) θ
22(n−m)+m(l −m− 2(n−m))!(n−m)!((n−m) +m)!
= (−1)−m
l+m
2∑
n=m
(−1)n−m sen2n−m θ cosl+m−2n θ
22n−m(l +m− 2n)!n!(n−m)!
y separemos la suma usando la propiedad de las sumatorias
M+m∑
k=m
ak =
M+m∑
k=0
ak −
m−1∑
k=0
ak
(−1)−m
l+m
2∑
n=m
(−1)n−m sen2n−m θ cosl+m−2n θ
22n−m(l +m− 2n)!n!(n−m)!
= (−1)−m
 l+m2∑
n=0
(−1)n−m sen2n−m θ cosl+m−2n θ
22n−m(l +m− 2n)!n!(n−m)!
−
hhhhhhhhhhhhhhhhh
m−1∑
n=0
(−1)n−m sen2n−m θ cosl+m−2n θ
22n−m(l +m− 2n)!n!(n−m)!

= (−1)−m
l+m
2∑
n=0
(−1)n−m sen2n−m θ cosl+m−2n θ
22n−m(l +m− 2n)!n!(n−m)!
=
1
(l +m)!
Pml (cos θ)
donde la suma de n que va de 0 a m es 0 dado que n < m siempre y eso ocasiona factoriales
negativos en el denominador, podemos ver esto claramente si consideramos, por ejemplo, m=2
2−1∑
n=0
(−1)n−2 sen2n−2 θ cosl+2−2n θ
22n−2(l + 2− 2n)!n!(n− 2)!
=
(−1)−2 sen−2 θ cosl+2 θ
2−2(l + 2)!0!(−2)!
+
(−1)1−2 cosl θ
(l)!1!(1− 2)!
= 0
Entonces, la suma que usamos en un principio es igual que lo siguiente,
(−1)−m
l−m
2∑
n=0
(−1)n+m sen2n+m θ cosl−m−2n θ
22n+m(l −m− 2n)!n!(n+m)!
=
1
(l +m)!
Pml (cos θ)
De la igualdad de arriba podemos multiplicar ambos lados por (l −m)!
(−1)−m(l −m)!
l−m
2∑
n=0
(−1)n+m sen2n+m θ cosl−m−2n θ
22n+m(l −m− 2n)!n!(n+m)!
=
(l −m)!
(l +m)!
Pml (cos θ)
(−1)−mP−ml =
(l −m)!
(l +m)!
Pml (cos θ)
De esta manera, llegamos a lo que queremos demostrar,
P−ml = (−1)
m (l −m)!
(l +m)!
Pml (cos θ)
2. Las coordenadas esferoidales proladas (α, β, ϕ), se relacionan con las cartesianas mediante
x = c senhα senβ cosϕy = c senhα senβ senϕz = c coshα cosβ
donde c es una constante positiva. Estas coordenadas forman un sistema ortogonal y los factores
de escala resultan ser
h1 = h2 = c
√
senh2 α+ sen2 β, h3 = c senhα senβ
Muestre que la ecuación de Laplace en estas coordenadas admite soluciones separables y que una
de las ecuaciones separadas es la ecuación asociada de Legendre.
Solución:
La ecuación de Laplace es
∇2Ψ = 0
donde el Laplaciano ∇2Ψ para este sistema coordenado (α, β, ϕ) es
∇2Ψ = 1
h1h2h3
[
∂
∂α
(
h2h3
h1
∂Ψ
∂α
)
+
∂
∂β
(
h3h1
h2
∂Ψ
∂β
)
+
∂
∂ϕ
(
h1h2
h3
∂Ψ
∂ϕ
)]
reemplazando los factores de escala y viendo que h1 = h2, nos queda
∇2Ψ = 1
c3(senh2 α+ sen2 β) senhα senβ
[
∂
∂α
(
c senhα senβ
∂Ψ
∂α
)
+
∂
∂β
(
c senhα senβ
∂Ψ
∂β
)
+
∂
∂ϕ
(
c(senh2 α+ sen2 β)
senhα senβ
∂Ψ
∂ϕ
)
[
simplificamos la expresión, para ello sacamos los términos que no dependen de la variable que se
esta derivando parcialmente e introducimos el cociente 1senhα sen β
=
1
c2(senh2 α+ sen2 β)
[
senβ
senhα senβ
∂
∂α
(
senhα
∂Ψ
∂α
)
+
senhα
senhα senβ
∂
∂β
(
senβ
∂Ψ
∂β
)
+
senh2 α+ sen2 β
senh2 α sen2 β
∂2Ψ
∂ϕ2
]
El laplaciano es
∇2Ψ = 1
c2(senh2 α+ sen2 β)
[
1
senhα
∂
∂α
(
senhα
∂Ψ
∂α
)
+
1
senβ
∂
∂β
(
senβ
∂Ψ
∂β
)
+
(
1
sen2 β
+
1
senh2 α
)
∂2Ψ
∂ϕ2
]
Una vez encontrada la expresión del laplaciano, formamos la ecuación de Laplace ∇2Ψ = 0
1
c2(senh2 α+ sen2 β)
[
1
senhα
∂
∂α
(
senhα
∂Ψ
∂α
)
+
1
senβ
∂
∂β
(
senβ
∂Ψ
∂β
)
+
(
1
sen2 β
+
1
senh2 α
)
∂2Ψ
∂ϕ2
]
= 0
1
senhα
∂
∂α
(
senhα
∂Ψ
∂α
)
+
1
senβ
∂
∂β
(
senβ
∂Ψ
∂β
)
+
(
1
sen2 β
+
1
senh2 α
)
∂2Ψ
∂ϕ2
= 0
Finalmente, llegamos a la expresión simplificada de la ecuación de Laplace
1
senhα
∂
∂α
(
senhα
∂Ψ
∂α
)
+
1
senβ
∂
∂β
(
senβ
∂Ψ
∂β
)
+
(
1
sen2 β
+
1
senh2 α
)
∂2Ψ
∂ϕ2
= 0
Resolución de la ecuación de Laplace para este sistema coordenado (α, β, ϕ) mediante
separación de variables.
Proponemos una función arbitraria que satisfaga la ecuación de Laplace, tiene que ser de la forma
Ψ = R(α)P (β)Q(ϕ)
sustituimos esto en la ecuación
1
senhα
d
dα
(
senhα
dRPQ
dα
)
+
1
senβ
d
dβ
(
senβ
dRPQ
dβ
)
+
(
1
sen2 β
+
1
senh2 α
)
d2RPQ
dϕ2
= 0
sacando las funciones que son constantes respecto a la derivada parcial
PQ
senhα
d
dα
(
senhα
dR
dα
)
+
RQ
senβ
d
dβ
(
senβ
dP
dβ
)
+
(
1
sen2 β
+
1
senh2 α
)
RP
d2Q
dϕ2
= 0
y dividiendo entre Ψ = RPQ
1
R senhα
d
dα
(
senhα
dR
dα
)
+
1
P senβ
d
dβ
(
senβ
dP
dβ
)
+
(
1
sen2 β
+
1
senh2 α
)
1
Q
d2Q
dϕ2
= 0
Primero, notemos que en la ecuación no se encuentra ninguna función que dependa de ϕ, por lo
tanto, decimos que es una variable ignorable, entonces
1
Q
d2Q
dϕ2
= −m2, m2 = cte.
1
R senhα
d
dα
(
senhα
dR
dα
)
+
1
P senβ
d
dβ
(
senβ
dP
dβ
)
−
(
1
sen2 β
+
1
senh2 α
)
m2 = 0
1
R senhα
d
dα
(
senhα
dR
dα
)
− m
2
senh2 α
=
m2
sen2 β
− 1
P senβ
d
dβ
(
senβ
dP
dβ
)
el lado derecho de la igualdad no depende de α, entonces
d
dα
[
1
R senhα
d
dα
(
senhα
dR
dα
)
− m
2
senh2 α
]
=
d
dα
[
m2
sen2 β
− 1
P senβ
d
dβ
(
senβ
dP
dβ
)]
= 0
por lo tanto, los términos derivados son igual a una constante
1
R senhα
d
dα
(
senhα
dR
dα
)
− m
2
senh2 α
= l(l + 1), l = cte.
sustituyendo esto en la ecuación, tenemos
1
P senβ
d
dβ
(
senβ
dP
dβ
)
+ l(l + 1)− m
2
sen2 β
= 0
1
senβ
d
dβ
(
senβ
dP
dβ
)
+ l(l + 1)P − m
2
sen2 β
P = 0
1
senβ
d
dβ
(
senβ
dP
∂β
)
+
[
l(l + 1)− m
2
sen2 β
]
P = 0
esta ultima es conocida como la ecuación asociada de Legendre.