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Cálculo vectorial 
en el plano. 
 
 
 
 
Cuaderno de ejercicios 
MATEMÁTICAS JRM 
SOLUCIONES 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 2 
 
 
 
Índice de contenidos. 
 
 
1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes. 
• Puntos en el plano cartesiano. Coordenadas. 
• Vectores en el plano cartesiano. Componentes. 
 
2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos. 
• Concepto de módulo. 
• Expresión analítica del módulo. 
 
3. Operaciones con vectores y puntos. 
• Opuesto. Producto por constantes 
• Suma. Diferencia. Combinaciones lineales. 
• Suma de un punto y un vector. 
• División de segmentos 
 
4. Dependencia lineal de vectores. Bases. 
• Paralelismo de vectores. Dependencia lineal. 
• Criterio analítico para la dependencia. 
• Bases. La base canónica. 
• Componentes en una base. 
 
5. Producto escalar de dos vectores. 
• Producto escalar. Expresión analítica. Ángulos. 
• Propiedades algebraicas. Relación con el módulo. 
• Perpendicularidad. Criterio analítico. 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 3 
RESUMEN DE OBJETIVOS 
 
1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes. 
 
 
 
 
 
 
• Conocer la relación entre las componentes de un vector fijo 
����������, �	 y las coordenadas de sus extremos ��
� , 

	 y 
���� , �
	 
 
• Conocer el concepto de vectores equipolentes e interpretar y 
representar adecuadamente un vector libre �����, �	 
 
• Conocer el concepto de pendiente de un vector, fijo o libre, y su 
relación con las componentes del mismo: 
 
Pendiente de �����, �	 = �� 
 
 
 
2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos. 
 
 
 
 
 
 
• Conocer el concepto de módulo de un vector y su relación con la 
distancia entre los puntos extremos del vector: 
 
���������� � ���, �	 
 
• Conocer la expresión analítica del módulo del vector �����, �	, 
derivada del teorema de Pitágoras: 
 
����� � ��
 � �
 
 
 
 
3. Operaciones con vectores y puntos. 
 
 
 
 
 
 
• Conocer, y saber calcular geométrica y analíticamente: 
o El opuesto de un vector. 
o El producto de un vector por un número. 
o La suma o diferencia de dos o más vectores. 
o Las diferentes combinaciones lineales de vectores. 
 
• Conocer, y saber calcular geométrica y analíticamente: 
• La suma de un punto y un vector. 
• El punto medio de dos puntos. 
• Los puntos que dividen un segmento. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 4 
4. Dependencia e independencia lineal de vectores. Bases. 
 
 
 
 
 
• Conocer el concepto, geométrico y analítico de vectores 
dependientes: 
���� | | ��� � ��� � � � �� 
 
• Conocer y utilizar adecuadamente el criterio analítico para la 
dependencia lineal de dos vectores ���� ��, �
	 y ��� ��, �
	 
 
���� | | ��� � ��� �
�� �
� � 0 
 
• Conocer el concepto de base ��� , ��! y saber calcular las 
componentes de cualquier vector "��� en una base ��� , ��!. 
 
• Conocer y saber representar la base canónica #� , $�! en 
cualquier sistema de ejes cartesianos. 
 
5. Producto escalar de dos vectores. Ángulo y perpendicularidad. 
 
 
 
 
 
 
 
• Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la definición del 
producto escalar de dos vectores, para el cálculo de ángulos. 
 
��� � �� � ����� � ���� � cos �(	 
 
• Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la expresión 
analítica del producto escalar de dos vectores ���� ��, �
	 y 
��� ��, �
	 , expresados en la base canónica #� , $�! 
 
��� � �� � �� � �� � �
 � �
 
 
• Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la relación entre el 
producto escalar y el módulo de un vector: 
 
��� � ��� � �����
 
 
• Conocer las propiedades algebraicas del producto escalar y 
su relación con las combinaciones lineales de vectores: 
Conmutativas, asociativas y distributivas: 
 
��� � �)�� � *"���	 � )���� � ��	 � *���� � "���	 
 
• Conocer la relación entre el producto escalar y la 
perpendicularidad entre vectores y utilizarla adecuadamente 
para resolver problemas de perpendicularidad: 
 
��� + �� � ��� � �� � 0 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 5 
1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes. 
 
Ejercicio 1. 
Representa los puntos ��,3, ,2	, ��3, 2	, /�2, ,3	 y los vectores �������� y �/������. 
Escribe las componentes y la pendiente de ambos vectores. 
 
 
Ejercicio 2. 
Representa el punto ��4,3	 y el vector ���������,6, ,2	 
Escribe las coordenadas del punto B y la pendiente del vector ��������. 
 
 
Ejercicio 3. 
Representa el punto ��2, ,2	 y el vector ���������5, ,4	 
Escribe las coordenadas del punto A y la pendiente del vector ��������. 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 6 
Ejercicio 4. 
Escribe las coordenadas de los puntos A, B, C y D y las componentes de los vectores �������� y 
�/������. Calcula la pendiente de ambos vectores. 
 
 
Ejercicio 5. 
Escribe las componentes y calcula la pendiente de cada uno de los vectores ���, �� y "���. 
 
 
 
Ejercicio 6. 
Representa dos vectores equipolentes al vector ��� y otros dos equipolentes al vector ��. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 7 
Ejercicio 7. 
Escribe las componentes y la pendiente de los vectores ��������, �/������, �3�������, /4������, 43������ y 3������� 
 
 
 
Ejercicio 8. 
Escribe las componentes y la pendiente de los vectores ��������, �/������, �3�������, /4������, 43������ y 3������� 
 
 
 
Ejercicio 9. 
Los puntos A, B, C y D forma un paralelogramo. Representa y halla las componentes y la 
pendiente de los vectores ��������, �/������, �3������� y /3������ 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 8 
Ejercicio 10. 
Resulta que si ��� � � , 2� , �	 y ��� � 2�, � , �	, entonces ���������3, 2	. 
Calcula las coordenadas de A y de B. Representa ambos puntos y el vector �������� 
 
 
Ejercicio 11. 
Resulta que los vectores ����2�, � , �	 y ���� , 3, 4	 son equipolentes 
Calcula sus componentes y represéntalos con origen en A y B, respectivamente. 
 
 
Ejercicio 12. 
Resulta que el vector �������� es un representante fijo del vector ����� � 1, 2� , 2	. 
Sabiendo que ��,1, 3	 y ��3 , 11	, calcula los valores de x e y. Dibuja un representante del 
vector ��� y calcula su pendiente. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 9 
Ejercicio 13. 
Sabemos que los vectores �������� y /3������ son equipolentes al vector libre ���. Determina los 
puntos B y C, gráficamente. ¿Cuál es la pendiente de esos tres vectores? 
 
 
Ejercicio 14. 
Sabemos que el vector �������� es un vector fijo con la misma dirección que el vector libre ���, pero 
sentido contrario y módulo doble. Determina el punto B, gráficamente. 
 
 
Ejercicio 15. 
Sabemos que el vector �������� es un vector fijo con la misma dirección y sentido que el vector 
libre ���, pero su módulo es el doble. Determina el punto B, gráficamente. 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 10 
Ejercicio 16. 
Sabemos que los vectores ����� � � , � , 2�	 y ���3� , � , 2� , �	 son equipolentes. 
Determina sus componentes y su pendiente. 
 
 
Ejercicio 17. 
Sabemos que el vector �������� es un vector fijo equipolente al vector libre ��� ; Calcula las 
coordenadas de los puntos ��� , � , �	 y ��� , 3, 2� , �	 y representa el vector �������� . 
 
 
Ejercicio 18. 
Sabemos que el vector �������� es un vector fijo opuesto al vector libre ��� ; Calcula las 
coordenadas de los puntos ��� , 2� , �	 y ��� � � , 2� , �	 y representa el vector �������� . 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 11 
2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos. 
 
Ejercicio 19. 
Calcula el módulo de los vectores los vectores ���, �� y "���. 
 
 
 
Ejercicio 20. 
Representa los puntos ��,2, ,2	 y ��2, 5.5	 y calcula la distancia que los separa. 
¿Cuál es el módulo del vector �������� ? 
 
 
Ejercicio 21. 
Calcula la medidade la diagonal AC de este paralelogramo. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 12 
 
Ejercicio 22. 
Halla el módulo del vector ����15, ,8	. 
 
 
 
Ejercicio 23. 
Halla la distancia entre los extremos del vector ���,9, 40	. 
 
 
 
Ejercicio 24. 
Halla la distancia entre los puntos A y B. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 13 
Ejercicio 25. 
Halla el perímetro del triángulo ABC y comprueba que es isóceles. 
 
 
 
 
 
Ejercicio 26. 
La distancia entre los puntos A y B es de 10 unidades. Sabemos que A(-2, -2) y que B(6, y), con 
y>0. Determina y representa el punto B y el vector ��������. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 14 
Ejercicio 27. 
Halla el perímetro de este trapecio isósceles. 
 
 
 
 
Ejercicio 28. 
Dado el punto A(3, 2) halla las coordenadas de otro punto B, sabiendo que está sobre el eje 
de ordenadas y que dista 5 unidades del punto A. 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 15 
Ejercicio 29. 
El vector �����, 2� � 2	 tiene módulo 13 unidades. ¿Cuáles son las posibles componente de ��� ? 
 
 
 
Ejercicio 30. 
Los vectores �����, � � 2	 y ���2� , 4, ,�	 tienen el mismo módulo. Halla el valor de x 
sabiendo que es un número entero. 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 16 
Ejercicio 31. 
El vector �����, � � 1	 tiene la mitad de módulo que el vector ���3� , 3, 3� , 1	 Halla el 
valor de x, sabiendo que no es un número entero. 
 
 
Ejercicio 32. 
Un vector �������� , de módulo 10 unidades, tiene su origen en el punto A(2, 6) y su extremo 
B, sobre el eje de abcisas. ¿Cuáles son los posible lugares para el punto B? 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 17 
3. Operaciones con vectores y puntos. 
 
Ejercicio 33. 
Calcula analítica y gráficamente el vector libre ��� � �� , con origen en el punto A. 
 
 
 
Ejercicio 34. 
Calcula analítica y gráficamente el vector libre 2��� � �
 �� , con origen en el punto A. 
 
 
Ejercicio 35. 
Calcula analítica y gráficamente el vector libre 3��� � �� � "��� , con origen en el punto A. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 18 
Ejercicio 36. 
Calcula analítica y gráficamente el vector libre 2��� , �� , 2 "��� , con origen en el punto A. 
 
 
 
Ejercicio 37. 
Calcula la suma ��� � �� , utilizando el origen que tengan ��� � �� en cada pareja. 
 
 
 
Ejercicio 38. 
Calcula analítica y gráficamente el vector libre ,1.5��� , 1.5�� , con origen en el punto A. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 19 
Ejercicio 39. 
Calcula la suma 2��� � 2�� , utilizando el origen que tengan ��� � �� en cada pareja. 
 
 
 
Ejercicio 40. 
Calcula el vector �� , ��� , utilizando el origen que tengan ��� � �� en cada pareja. 
 
 
 
Ejercicio 41. 
Calcula, en cada caso, el vector que se solicita. 
 
 
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Ejercicio 42. 
Calcula, en cada caso, el vector que se solicita. 
 
 
Ejercicio 43. 
Calcula, en cada caso, el vector que se solicita. 
 
 
 
Ejercicio 44. 
Calcula, en cada caso, el vector que se solicita. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 21 
Ejercicio 45. 
Calcula gráficamente la fuerza resultante ��� � ��. 
 
 
 
 
Ejercicio 46. 
Calcula gráficamente la fuerza resultante ��� � �� � "���. 
 
 
 
Ejercicio 47. 
Calcula gráficamente la descomposición normal y tangente de la fuerza 9� � *�� � :�. 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 22 
 
Ejercicio 48. 
Sean A(2, 3) y ��� �,5, ,4	. Calcula analítica y gráficamente el punto � � � � ��� . 
Calcula y representa el vector ��������. 
 
 
Ejercicio 49. 
Sean A(-2, 1), ��� �4, 2	 y �� �2, ,1	 Calcula analítica y gráficamente los puntos � � � � ��� y 
/ � � � 2��. Calcula y representa los vectores �������� y �/������ 
 
 
Ejercicio 50. 
Sean A(-3, 1), B(1, 4) y C(-1, -2) tres puntos del plano tales que � � � � ��� y / � � � ��. 
Calcula analítica y gráficamente los vectores ��� y ��. 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 23 
Ejercicio 51. 
Halla gráfica y analíticamente el punto M, medio de los puntos del plano A(-2, 1) y B(4, 5). 
¿Quién es el punto � � �
 �������� ? 
 
 
Ejercicio 52. 
Halla analíticamente el punto medio de los lados del triángulo ABC. 
 
 
 
Ejercicio 53. 
El punto M(-3, 3) es el punto medio entre A y B. Calcula A, sabiendo que B(-5, -3). 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 24 
Ejercicio 54. 
El punto M(3, 5) es el punto medio entre ��� , � , �	 � ��2�, 3�	. Calcula las coordenadas 
de A y B. 
 
 
Ejercicio 55. 
Divide el segmento ��;;;; en tres partes iguales. Calcula los puntos � � �< �������� y � �
< �������� 
 
 
 
Ejercicio 56. 
Divide el segmento ��;;;; en cinco partes iguales. Calcula los puntos � � => �������� (� � 1,2,3,4) 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 25 
Ejercicio 57. 
Considera los vectores ����3, ,4	, ���6, ,2	 � "����6, 4	 y realiza las siguientes operaciones. 
 
 
 
Ejercicio 58. 
Calcula a y b para que los vectores ����2, 
 � �	 � ���3� , 2
, 2� � 2
	 cumplan la igualdad 
 
�� � 2��� 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 26 
 
Ejercicio 59. 
Calcula x e y para que los vectores ����,�, � � �	 , ���2�, 5�	 � "����2� , 3� � 2	 cumplan la 
igualdad: 
"��� � ��� � �� 
 
 
 
Ejercicio 60. 
Calcula x e y para que los vectores �����, � � 1	 , ���,�, ,2�� , �		 � "�����? , ,�	 cumplan 
la igualdad: 
��� � �� � "��� � 0�� 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 27 
4. Dependencia e independencia lineal. Bases. 
 
Ejercicio 61. 
Representa los vectores libres ����2, ,3	 y ���,4, 6	. Determina gráfica y analíticamente su 
dependencia lineal. Calcula la constante k que verifica: ��� � � � �� 
 
 
Ejercicio 62. 
Representa el vector libre ����,2 , 4	. Calcula y representa un vector �� linealmente con ���, 
que tenga sentido opuesto y la mitad de módulo que ���. 
 
 
Ejercicio 63. 
Justifica geométrica y analíticamente la dependencia o independencia de los vectores ��� y ��. 
En el caso de que sean dependientes, calcula la constante k que verifica: ��� � � � �� 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 28 
Ejercicio 64. 
Sabemos que los vectores libres ����@, 5	 y ���,9, ,15	 son dependientes. Determina el valor 
de la constante a y de la constante k que verifica �� � � � ��� 
 
 
 
Ejercicio 65. 
Sabemos que los vectores libres ����A � B, 4	 y ���,6, ,4�	 son dependientes. Determina 
los posibles valores de la constante x y calcula, en cada caso, los pares de vectores ��� y ��. 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 29 
Ejercicio 66. 
Justifica geométrica y analíticamente la dependencia o independencia de los vectores ��� y ��. 
En el caso de que sean dependientes, calcula la constante k que verifica: ��� � � � �� 
 
 
 
 
Ejercicio 67. 
Comprueba analíticamente que los vectores #��1 , 0	 , $��0 , 1	 forman base y halla las 
coordenadas de los vectores ���, �� � "��� en la base canónica #� , $�! 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 30 
Ejercicio 68. 
Comprueba analíticamente que los vectores ��� � 2#� � $� � �� � ,2#� � 4$� forman base y 
calcula las coordenadas del vector "��� � ,6#� � 2$� en la base ��� , ��! . 
 
 
Ejercicio 69. 
Comprueba analíticamente que los vectores ����3 , ,1	 � ���2 , 3	 forman base y calcula las 
coordenadas del vector "����10 , 4	 en la base ��� , ��! . 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 31 
5. Producto escalar de dos vectores. Ángulo y perpendicularidad. 
 
Ejercicio 70. 
Los vectores libres ��� y �� forman un ángulo de 60C y además ����� � 3 � ���� � 4. 
¿Cuál es el valor de su producto escalar? 
 
 
Ejercicio 71.Los vectores libres ��� y �� forman un ángulo de 120C y además ����� � 6 � ��� � �� � ,18. 
¿Cuál es el módulo del vector �� ? 
 
 
Ejercicio 72. 
Los vectores libres ��� y �� cumplen que ����� � 3 , ���� � 4 � ��� � �� � 6√2. 
¿Qué ángulo forman ��� y �� ? 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 32 
Ejercicio 73. 
Los vectores libres ��� y �� forman un ángulo ( tal que cos�(	 � >E . Además, ��� � �� � 15 y 
����� � � , ���� � � � 2. ¿Cuál es el módulo de cada vector? 
 
 
Ejercicio 74. 
Los vectores libres ��� y �� forman un ángulo de 150C y además ����� � √2 � ���� � √6. 
¿Cuál es el producto escalar ��� � �� ? 
 
 
Ejercicio 75. 
Los vectores libres ��� y �� cumplen que ����� � 6 , ���� � √3 � ��� � �� � 9. 
¿Qué ángulo forman ��� y �� ? 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 33 
Ejercicio 76. 
Calcula el producto escalar de los vectores �������� y �/������. 
 
 
 
Ejercicio 77. 
Calcula el producto escalar de los vectores �������� y �/������. 
 
 
 
Ejercicio 78. 
Calcula el producto escalar de los vectores ��� y ��. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 34 
Ejercicio 79. 
Calcula el ángulo que forman los vectores ��� y ��. 
 
 
 
Ejercicio 80. 
Calcula el ángulo que forman los vectores 
� y ���. 
 
 
 
Ejercicio 81. 
Calcula el ángulo que forman los vectores 
� y ���. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 35 
Ejercicio 82. 
Calcula el producto escalar y el ángulo que forman los vectores ��� y ��. 
 
 
 
Ejercicio 83. 
Calcula el producto escalar y el ángulo que forman los vectores ��� y ��. 
 
 
 
Ejercicio 84. 
Sabemos que los vectores ��� y �� son perpendiculares y que ����� � √2 , ���� � √5 . 
Si 
� � ��� � �� y ��� � 2��� , �� , ¿cuál es el producto escalar 
� � ��� ? 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 36 
Ejercicio 85. 
Sabemos que los vectores ��� y �� cumplen que ��� � �� � ,4 y además ����� � √8 , ���� � √6 . Si 
� � 3��� � 2�� y ��� � 3�� , 2��� , ¿cuál es el producto escalar 
� � ��� ? 
 
 
Ejercicio 86. 
Sabemos que los vectores ��� y �� cumplen que ����� � √5 � ���� � √8 . Además, si 
� � 2��� , �� y ��� � 3��� � 2�� entonces, 
� � ��� � 14. ¿Cuál es el producto escalar ��� � �� ? 
 
 
Ejercicio 87. 
Sabemos que los vectores ��� y �� cumplen que ����� � √6 � ���� � √3 . Además, si 
� � ��� , 2�� y ��� � 2��� , 3�� entonces, 
� � ��� � 8. ¿Qué ángulo forman ��� � �� ? 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 37 
Ejercicio 88. 
Estudia la perpendicularidad entre los vectores ����,4,3	, ���3, 4	, "����2, ,6	 y :��6, ,8	. 
 
 
 
Ejercicio 89. 
Demuestra, utilizando el cálculo vectorial, que el triángulo de vértices ��3,2	, ��6,3	 y /�1,8	 es un 
triángulo rectángulo. 
 
 
Ejercicio 90. 
Calcula el valor del parámetro a para que los vectores ����3,2	 y ���,4, F	 sean perpendiculares. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 38 
Ejercicio 91. 
Calcula el valor del parámetro a para que los vectores ����4,3	 y ���F, 1	 formen un ángulo de 45C 
 
 
 
Ejercicio 92. 
Calcula el valor del parámetro a para que los vectores ����3,1	 y ���4, F	 formen un ángulo de 45C 
 
 
 
Ejercicio 93. 
 Calcula el valor del parámetro a para que ����1, √3	 y ���F, 2√3	 formen un ángulo de 60C. 
 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 39 
Ejercicio 94. 
Los vectores ����3,4	 y ���G, H	 son perpendiculares y además ���� � 10. Calcula las componentes 
posibles para el vector ��. 
 
 
Ejercicio 95. 
Comprueba que el vector ����2,3	 lleva la dirección de la altura de todos los triángulos con base ��;;;; , 
siendo: ��1,4	 y ��7,0	 
 
 
Ejercicio 96. 
Los vectores �����, � � 1	 y ���1 , 2�, 2	 son perpendiculares. Calcula las posibles componentes 
de los vectores ��� y ��. 
 
 
Cálculo vectorial en el plano. Página 40 
Ejercicio 97. 
Determina un vector ��� que sea perpendicular al vector ���6, ,2	 y tenga módulo √10. 
 
 
 
Ejercicio 98. 
Comprueba que si ����2, 3	 y ���,1, 2	 entonces los vectores si 
� � ��� � �� y ��� � JK ��� ,
�K
K �� son 
perpendiculares. 
 
 
 
Ejercicio 99. 
Dados los vectores ����1, 2	 y ���,3, 1	 y los vectores 
� � ��� � �� y ��� � ���� � �� , calcula x para 
que 
� y ��� sean perpendiculares.