S04 s1 - Material - Espacio Vectorial en R3

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ESPACIO VECTORIAL EN ℛ𝟑
CLASIFICACIÓN Y OPERACIONES
¿Cuál es la utilidad de vectores en ℝ𝟑?
Sirve para determinar, representar y calcular las magnitudes vectoriales con 3
dimensiones.
Se encuentran en el estudio del álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales, análisis
matemático, cálculo, etc.
los productores de películas 
animadas usan vectores para crear 
el modelado de los personajes y 
escenarios en 3D
En mapas usados por los aviones o 
barcos también se usan vectores 
para fijar su curso
Un ingeniero o arquitecto usan los 
vectores en R3 para dibujar los planos 
de la construcción en tercera dimensión.
https://concepto.de/vector/
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
https://concepto.de/vector/
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje los estudiantes reconocen los 
vectores en tres dimensiones y resuelven problemas de operaciones con 
vectores.
Datos/Observaciones
CLASIFICACIÓN OPERACIONES
ESPACIO VECTORIAL EN 𝓡𝟑
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
𝜃
Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales (𝑎; 𝑏; 𝑐), donde "𝑎" es 
llamada la primera componente, "𝑏" la segunda y "𝑐"es llamada la tercera componente.
1 VECTORES TRIDIMENSIONALES
𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
𝑃
𝑄
𝑥2, 𝑦2, 𝑧2
𝑃𝑄
𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃
2 MAGNITUD – NORMA – MÓDULO
Dado el vector 𝒗 = 𝒗𝟏; 𝒗𝟐; 𝒗𝟑 , su magnitud o módulo 
está definido por:
3 VECTOR UNITARIO
Se llama vector unitario, al vector cuyo módulo 
es la unidad, es decir: Ԧ𝑣 es un vector unitario si 
y solo si:
𝒗 = 𝒗𝟏
𝟐 + 𝒗𝟐
𝟐 + 𝒗𝟑
𝟐 = 𝟏
𝒗 = 𝒗𝟏
𝟐 + 𝒗𝟐
𝟐 + 𝒗𝟑
𝟐
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
4 VECTORES CANÓNICOS
Son vectores que tienen por módulo la unidad y
que están asociados con las direcciones de los
ejes coordenados cartesianos 𝑋 , 𝑌 , 𝑍 y se
denotan:
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
5 OPERACIONES CON VECTORES
EQUIPOLENCIA de Vectores (Igualdad)
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
SUMA de Vectores DIFERENCIA de Vectores
5 OPERACIONES CON VECTORES
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
PRODUCTO por un escalar
PRODUCTO PUNTO O ESCALAR
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
6 VECTORES PARALELOS
Dos vectores son paralelos si uno es múltiplo escalar del otro. 
Ԧ𝑎
𝑏
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
Determina para que valores 𝑚 y 𝑛 los vectores
𝑢 = −2, 3,𝑚 ; Ԧ𝑣 = 𝑛,−6, 2 son paralelos.
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
RPTA:
−2
𝑛
=
3
−6
=
𝑚
2
12 = 3𝑛
4 = 𝑛
𝑚 = −1 ; 𝑛 = 4
6 = −6𝑚
−1 = 𝑚
Usaremos 
coordenadas 
proporcionales
¡Recuerdas!
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
7 VECTORES ORTOGONALES
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero. 
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
Calcular el valor de 𝑚 para que los siguientes vectores sean 
ortogonales
Ԧ𝑎 = −2,𝑚, 5 ; 𝑏 = 1, 7, −𝑚2
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
−2,𝑚, 5 ∙ 1, 7, −𝑚2 = 0
𝑎 ∙ 𝑏 = 0
−2 + 7𝑚 − 5𝑚2 = 0
𝑚 = 1
𝑆𝑖 𝑎 ⊥ 𝑏 ⟹
El producto 
escalar me da 
como resultado un 
escalar
5𝑚2 − 7𝑚 + 2 = 0
𝑚 − 1 5𝑚 − 2 = 0
𝑚 =
2
5
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
8 ÁNGULO ENTRE VECTORES 𝜃
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Encuentre Ԧ𝑡 que verifique: 2𝑢 − 3 Ԧ𝑣 = 2Ԧ𝑡 − 𝑤, siendo 𝑢 = 8,−1, 3 ; Ԧ𝑣 = 2, 0, −6 ;𝑤 = −6, 2, 4 .
SOLUCIÓN:
RPTA:
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
Ԧ𝑡 = 2, 0, 14
2𝑢 − 3 Ԧ𝑣 = 2Ԧ𝑡 − 𝑤
2 8,−1, 3 − 3 2, 0, −6 = 2Ԧ𝑡 − −6, 2, 4
16, −2, 6 − 6, 0, −18 + −6, 2, 4 = 2Ԧ𝑡
4, 0, 28 = 2Ԧ𝑡
2, 0, 14 = Ԧ𝑡
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son 𝐴(3, 1, 0), 𝐵(4, 5, 2) 𝑦 𝐶(4, 7, −2). Halla el cuarto 
vértice del paralelogramo y su perímetro.
SOLUCIÓN:
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
𝐴𝐵 = 𝐷𝐶
𝐷 = 3, 3, −4
1, 4, 2 = 4, 7, −2 − D
RPTA:
𝐴 𝐵
𝐶𝐷
𝐵 − 𝐴 = 𝐶 − 𝐷
4, 5, 2 − 3, 1, 0 = 4, 7, −2 − 𝐷
𝐷 = 4, 7, −2 − 1, 4, 2
𝐷 = 3, 3, −4
LISTO PARA MI EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIO RETO
1. Dados los vectores 𝑢 = −5, 1, 3 ; Ԧ𝑣 = 2,−4,−1 . Calcular 𝑀 = 2𝑢 + 3 Ԧ𝑣 ∙ 3𝑢 − Ԧ𝑣
2. Determinar si el triángulo de vértices 𝐴 = 1,−2,3 ; 𝐵 −1,1,1 𝑦 𝐶(1,4, −1) es 
isósceles. ¿Es equilátero? 
3. Para el triángulo cuyos vértices están en 𝐴 2,−5,3 , 𝐵 −1,7,0 y 𝐶(−4,9,7) calcular la 
longitud de cada lado y el punto medio de cada lado.
4. Demostrar que los tres puntos 1, −1,3 , (2,1,7) y (4,2,6) son los vértices de un 
triángulo rectángulo y calcular su área.
5. Determine todos los escalares 𝑘 tales que 𝑘𝑢 = 1, donde Ԧ𝑣 = (1,2,3).
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. Rectas paralelas.
𝑣1 ∕∕ 𝑣2 ⟹ 𝑣1 = 𝜆𝑣2
2. Rectas perpendiculares:
𝑆𝑖 𝑣1 ⊥ 𝑣2 ⟹ 𝑣1 ∙ 𝑣2 = 0
3. El producto escalar sirve para encontrar el ángulo entre dos vectores. 
Datos/Observaciones
Espacio Vectorial ℛ3
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
Excelente tu 
participación
La única manera de crecer es 
desafiándote a ti mismo.
Ésta sesión quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios 
propuestos de ésta sesión y 
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.