S04 s1 - Material

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Nivelación de Matemáticas 
para Ingeniería
POTENCIACIÓN
LEYES Y TEORIADE 
EXPONENTES
LOGRO DE LASESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el alumno
aplica sin dificultad, los teoremas de potenciación en
la resolución de problemas.
ESQUEMA DE LA UNIDAD
LEYES Y TEORIA
DE EXPONENTES
POTENCIACIÓN
- DEFINICIÓN
-EXPONENTE
NATURAL
- EXPONENTE CERO
-EXPONENTE 
NEGATIVO
- TEOREMAS
RADICACIÓN
- DEFINICIONES
- TEOREMAS
an
n vecesBase
= a . a . a . … . a
Exponente
Recuerda que si elevamos un número a (la base) Al exponente n,
significa que se multiplica ese número a tantas veces como indique el
exponente n.
EXPONENTE
NATURAL
EXPONENTE
CERO
EXPONENTE NEGATIVO
xn x.x.x. ................ x

n veces
;  x  R  n  Z+
x0 = 1
;  x  R – { 0 }
xn  1
xn
;  x  R – {0}  n  Z+
TEOREMAS DE
POTENCIACIÓN
3 2 = 3 . 3 =9
(-3) 2 = -3 . -3 = 9
5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125
x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6
6(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x
-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
Recuerda que no se
multiplica la base por
el exponente.
base es
hay que 
en
Si la 
negativa 
encerrarla 
paréntesis.
Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si tuviera signo
delante, el signo no le pertenece a la base. Hay que considerarlo
como el opuesto de lo que sea el resultado de elevar la base a la
potencia indicada.
3 2 = 3 . 3 =9
(-3) 2 = -3 . -3 =9
5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125
x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6
(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
Recuerda que:
 Si elevamos una base negativa a una potencia par, el resultado es
positivo.
Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es
negativo.
Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.
3 0 = 1
(-3) 0 = 1
135 0 = 1
(-275) 0 = 1
x 0 = 1
(-x) 0 = 1
(x2y3) 0 = 1
Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia cero, el 
resultado es uno.
00 no está definido
3 -2 =
2 -3 =
(-2) -3 =
1 1
=
32 9
1 1
=
(-3)2 9
(-3) -2 =
1 1
=
23 8
1
1
(x2y3)7
1 1
=
(-2)3 - 8
-3 y
x
-5 x = x5
 (x2y3) -7 =
x
 y =
3
Si a y b son números reales distintos de cero; m y n sonnúmeros
enteros, se cumple:
(am )n  am.n
am.an  amn
am 
an a
mn
(a.b)m am.bm
bm
b  
 a 
m
 a
m
Multiplicación de Potencias con Bases
Iguales
Potencia elevada a otra potencia
Producto elevado a una
potencia
División de Potencias con Bases
Iguales
Fracción elevada a una
potencia
a n . a m = a n + m
Al multiplicar bases iguales se suman los exponentes
Ejemplos:
4 5 . 4 2 = 4 7
x 2 . x . x 4 = x 7
x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6
x + x 3 = No se puede aplicar esta 
ley ya que las potencias
están
ley
no se
multiplicando. La 
aplica cuando tenemos
una multiplicación, no
aplica en suma.
= =7 5 75-3 72= 7 2 = 497 5
7 3
7 5 = 7 0 = 1
7 5
= x
73
x 3
x 2
Ejemplos:
Al dividir bases iguales se restan 
los exponentes.a
n
am
 amn ;  a 
0
(a .b) n = a n . b n
Ejemplos:
( x y ) 3 = x3y3
( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5
(x + y ) 2 = No se puede aplicar esta ley ya que no hay una 
multiplicación, hay una suma.
  
 3 
 y5 
2
Se eleva cada término de la 
fracción a la misma potencia n.
 

y
 
 x 
2
 
 
2y
 x3 
3
y2
x2
9
y10 y
6
x9
;  b  0
𝑎
𝑏
𝑎𝑛
=
𝑏𝑛
(am )n amn
Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican los 
exponentes
Ejemplos:
(x 2 ) 3 = x 6
(5 3 ) 4 = 5 12
(y 7 ) 0 = 1
{(22)3}4 = 2 2.3.4 = 224
1.Calcular el valor de :
𝑃 = 490,5 + 1440,5 + 360,5
𝑃 = 49 + 144 + 36
𝑃 = 7 + 12 + 6
𝑃 = 25 = 5
Solución:
 1
1
 
1 
1
   
 2   3   4
 1
1
Q 2. Reducir
Q 234
Q 9
Q3
Solución:
7Y (3)7 y1  7YC 
7y  (7 )7Y  (3) 7 y
C 
7Y (3 7 1)
7Y (3)
C  3  1
3
7 y  7 . 3 x  3 . 7 y
 3 x
3. Si: 3x = 7y; reducir: C 
3x  1  7 y  1
Reemplazando 3x = 7y en C se tiene:
Solución:
4.Calcular
42
1
A  279
 1
2
 1
2
 4  2
 1
2 7 9
4
 (33 ) 9
 (33 )9
1
 (33 ) 3
 3
Solución:
5. Una bacteria cada una hora se reproduce 4 veces más que la hora anterior. ¿Cuántas 
bacterias hay al cabo de 4 horas?
Si se reproduce 4 veces más que la hora anterior,tenemos:
Inicio → 1 bacteria
1 hora → 5 bacterias
2 horas → 25 bacterias
Y así sucesivamente, encontrando que tiene un patrón basado en la potenciade 5.
En 4 horas:
54 = 625bacterias
Resolución:
POTENCIACIÓN
Calcular:
(32)0,252
3
POTENCIACIÓN
Supongamos que una sustancia decae de tal modo que ½
de ella queda después de cada 1 hora. Si había 640
gramos al inicio, ¿cuánto queda después de 7 horas? y
¿cuánto queda después de n horas?
Después de 7 horas quedan 5 gramos
𝟐𝒏
Después de “n” horas quedan 𝟔𝟒𝟎 gramos