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Potenciación
La potenciación es una operación matemática entre dos términos
denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee normalmente
como «a elevado a la n». Hay algunos números exponentes especiales
como el 2, que se lee al cuadrado o el 3, que se lee al cubo. Se debe tener
en cuenta que en el caso de la potenciación, la base y el exponente pueden
pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base
será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que
no tiene por qué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser
un número enteroo decimal
Definición
Exponente entero
Multiplicación de potencias de igual base
Potencia de una potencia
Potencia de un producto
División de potencias de igual base
Potencia de exponente 0
Potencia de un cociente
Exponente racional
Propiedades
Exponente real
Propiedades
Exponente complejo
Resultados de potenciación
Propiedades que no cumple la potenciación
Potencia de base 10
Representación gráfica
Límites
Indeterminación 00
Generalizaciones
Extensión a estructuras abstractas
Potencia de números complejos
Véase también
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
Gráfica de varias funciones potencia.
Índice
Definición
https://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(%C3%A1lgebra)
https://es.wikipedia.org/wiki/Cubo_(aritm%C3%A9tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Funkcie_mocniny2.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n
(1)
Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto
numérico al que pertenezca el exponente.
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número
cualquiera:
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, que
pueden ser, por ejemplo, matriz cuadrada o matrices cuadradas.
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma
de los exponentes, es decir:
Ejemplos:
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la
misma base y se multiplican los exponentes):
Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como .
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
Exponente entero
Multiplicación de potencias de igual base
Potencia de una potencia
Potencia de un producto
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos_num%C3%A9ricos
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraica
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_cuadrada_o_matrices_cuadradas&action=edit&redlink=1
(2)
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:
 si n es par.
 si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que , entonces este se denota por y el exponente se
puede ampliar a todos los números enteros:
Observación
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del
exponente del dividendo menos el del divisor,1 esto es:
División de potencias de igual base
https://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_aditivo
https://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteros
 
De forma extendida aparecen tres casos: 
Ejemplo:
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:2 3 
El caso particular de no está definido y es conocido como una indeterminación.
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
 
O de forma extendida:
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por
(1 (https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n#Equation_1)) quedando así prohibida la notación (2 (https://es.wikipedia.o
rg/wiki/Potenciaci%C3%B3n#Equation_2)) como valor numérico:
Potencia de exponente 0
Potencia de un cociente
https://es.wikipedia.org/wiki/Uno
https://es.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminada
https://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n#Equation_1
https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n#Equation_2
(3)
(4)
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , de manera que ,
pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para todo n si la base a es un número real
positivo, por lo que existe un teorema que dice:
Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima
positiva.
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:
Observación
En general para las fracciones se define que:
Relación
 
 
 
Exponente racional
Propiedades
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/Radicaci%C3%B3n
La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:
Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales 
 que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión que se
escribe como:
Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea
consistente, se exige que a sea un número real positivo.
Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la función exponencial, y su inversa, la función logaritmo
natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Así, se define
.
De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f(x) es el conjunto de los números reales positivos R+, o
algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente g(x) números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo
natural no está definido para números negativos.
Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analíticas o holomorfas, así donde
det-exp es la determinación de la exponencial y det-log la determinación del logaritmo.
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción (véase productos notables), es decir, no se puede distribuir cuando
dentro del paréntesis es suma o resta:
No cumple la propiedad conmutativa:
Exponente real
Propiedades
Exponente complejo
Resultados de potenciación
Propiedades que no cumple la potenciación
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales
https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_sucesi%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Exponenciaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagen
https://es.wikipedia.org/wiki/Subconjunto
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADtica
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfa
https://es.wikipedia.org/wiki/Distributividad
https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativa
Tampoco cumple la propiedad asociativa:
Para las potencias con base 10 y exponenteentero, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el
exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.
Ejemplos:
La representación gráfica de una función potencia f(x) = xn con exponente natural n par tiene una simetría similar a la de una
parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0) y la curva es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.
La representación gráfica de una función potencia f(x) = xn con exponente natural n impar es una curva con dos ramas unidas en
el punto (0, 0), que posee simetría rotacional alrededor de este. El punto de inflexión precisamente se encuentra en el punto (0, 0),
la curva es siempre creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante.
Dichas curvas son continuas y derivables en todo su dominio de definición.
Potencia de base 10
Representación gráfica
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Qfunction.png
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Coma_decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa_rotacional
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_inflexi%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3n
Gráfico de una parábola
. 
Gráfico de . 
El caso especial se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las
propiedades específicas que se quieran mantener.
Por ejemplo, puede argumentarse que es el igual al valor del límite
y como para , dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el
valor del límite
y como para , dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma puede corresponder a diferentes valores
y por ello se considera indefinida.
El debate sobre el valor de la forma tiene casi dos siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en
que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que =1. Sin embargo, en 1821 cuando
Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis,
dicha forma aparece en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los años 1830, Libri4 5 publicó un argumento
para asignar 1 como valor de y Möbius6 lo apoyó afirmando erróneamente que
 siempre que 
Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo
cuyo límite cuando es , lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que debería permanecer
indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).7 
Límites
Indeterminación 00
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:X_cubed_plot.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
https://es.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cours_d%27Analyse_de_l%27%C3%89cole_Royale_Polytechnique&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/August_M%C3%B6bius
https://es.wikipedia.org/wiki/Donald_Knuth
En la actualidad, suele considerarse la forma como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el
valor asignado tenga sentido.8 9 10 
Para calcular límites cuyo valor aparente es suele usarse la regla de l'Hôpital.
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Dado un anillo la
operación de potenciación se define como:
Esto difiere de la exponenciación que es definible sobre un cuerpo que contenga a los racionales o ciertas álgebras sobre los
reales o complejos:
Obviamente la exponenciación sólo se puede definir sobre un conjunto en el que sea posible definir la potenciación, aunque un
anillo admitirá siempre la operación de potenciación (con exponente natural) aunque no admita la exponenciación.
Para cualquiera de los números reales se tiene la identidad:
Productos notables
Raíz cuadrada
Radicación
Fórmula de De Moivre (para potencias de números complejos)
Potencia de dos
Serie de potencias
Logaritmo
1. Dolciani-Berman-Wooton, Algebra Moderna y
Trigonometría. ISBN 968-439-024-6
2. Soler, Francisco; Nuñez, Reinaldo; Aranda, Moises
(2004). «1. Álgebra básica». Fundamentos de
Cálculo. Con aplicaciones a ciencias económicas y
Generalizaciones
Extensión a estructuras abstractas
Potencia de números complejos
Véase también
Referencias
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Exponenciaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
https://es.wikipedia.org/wiki/Radicaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre
https://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_de_dos
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias
https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9684390246
Ortega, Joaquín M. (1993). «Potencias de base real positiva y exponente real» (http://books.google.com/books/a
bout/Introducción_al_análisis_matemático.html?id=dmOd2KMy7eYC). Introducción al análisis matemático.
Barcelona: Universidad Autónoma de Barcelona/Labor. pp. 51-54. ISBN 978-8-433-53047-9. OCLC 37802457 (https://ww
w.worldcat.org/oclc/37802457).
Artículo sobre potenciación en Enciclopedia universal en español (http://enciclopedia.us.es/index.php/Potenciac
i%C3%B3n)
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administrativas (2ª edición). ECOE EDICIONES.
p. 14. ISBN 9586482901.
3. Weisstein, Eric W. «Exponent Laws» (http://mathworl
d.wolfram.com/ExponentLaws.html). En Weisstein,
Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
4. Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction
00
x
, Journal für die reine und angewandte
Mathematik 6 (1830), 67-72.
5. Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions
discontinues, Journal für die reine und angewandte
Mathematik 10 (1833), 303-316.
6. A. F. Möbius, Beweis der Gleichung = 1, nach J.
F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte
Mathematik 12 (1834), 134-136.
7. Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math.
Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403-422.
8. Peter Alfeld. «Understanding Mathematics» (http://w
ww.math.utah.edu/~pa/math/0to0.html) (en inglés).
Universidad de Utah. Consultado el 25 de diciembre
de 2009. «The problem is similar to that with division
by zero. No value can be assigned to 0 to the power
0 without running into contradictions. Thus 0 to the
power 0 is undefined!»
9. Ask Dr. Math. (18 de marzo de 1997). «Why are
Operations of Zero so Strange?» (http://mathforum.or
g/library/drmath/view/55764.html) (en inglés). The
Math forum. Consultado el 25 de diciembre de 2009.
«Other indeterminate forms are 0^0, 1^infinity.»
10. Gentile, Enzo R. (1976). Notas de Álgebra I (2a
edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires.
p. 56. «Es útil también definir en el caso x≠0, x0=1. (
 queda indefinido).»
Bibliografía
Enlaces externos
http://books.google.com/books/about/Introducci%C3%B3n_al_an%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico.html?id=dmOd2KMy7eYChttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_Aut%C3%B3noma_de_Barcelona
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-8-433-53047-9
https://es.wikipedia.org/wiki/Online_Computer_Library_Center
https://www.worldcat.org/oclc/37802457
http://enciclopedia.us.es/index.php/Potenciaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Potenciaci%C3%B3n&oldid=118653697
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_3.0_Unported
https://wikimediafoundation.org/wiki/Terms_of_Use
https://wikimediafoundation.org/wiki/Privacy_policy
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https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9586482901
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/ExponentLaws.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Crelle%27s_Journal&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Crelle%27s_Journal&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius
https://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Friedrich_Pfaff
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Crelle%27s_Journal&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Donald_Knuth
https://es.wikipedia.org/wiki/American_Mathematical_Monthly
http://www.math.utah.edu/~pa/math/0to0.html
http://mathforum.org/library/drmath/view/55764.html