S04 s2 - Material - Producto Vectorial

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ESPACIO VECTORIAL EN ℛ𝟑
PRODUCTO VECTORIAL
¿Cuál es la utilidad del Producto Vectorial?
Los vectores se caracterizan por tener magnitud, dirección y sentido en
la vida cotidiana se utilizan mucho para saber donde te encuentras, e
incluso para el diseño de superficies estructurales no comunes.
La aplicaciones de los vectores en la actividad de uso diario son muy
variados ya que vivimos en un mundo tridimensional, es decir, que al
hacer uso de los vectores( flechas dirigidas que poseen magnitud),
podemos explicar mucho más fácil, problemas que tiene que ver con
velocidades, desplazamientos, fuerzas y aceleraciones.
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante aplica los conceptos de producto 
vectorial y triple producto escalar y vectorial.
Datos/Observaciones
PRODUCTO
VECTORIAL
PRODUCTO
MIXTO
ESPACIO VECTORIAL EN 𝓡𝟑
1 PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR
Sean Ԧ𝑎 y 𝑏 dos vectores, donde 𝑏 ≠ 0 se define la proyección ortogonal del vectorde Ԧ𝑎 sobre el 
vector 𝑏.
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
𝑏
2 COMPONENTE DE UNA PROYECCIÓN ORTOGONAL
Se denomina componente a la longitud del vector proyección y cuyo signo indica el sentido 
de dicha proyección, en valor absoluto es lo mismo que decir módulo del vector proyección:
Ԧ𝑎
𝑃𝑟𝑜𝑦
𝑏
𝑎
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
Dados los vectores Ԧ𝑎 = −3, 4, 1 ; 𝑏 = 3,−1, 0 donde Ԧ𝑎 se 
proyecta en 𝑏. Determine:
𝑃𝑟𝑜𝑦3𝑏 Ԧ𝑎 ; 𝐶𝑜𝑚𝑝3𝑏 Ԧ𝑎 ; 𝑃𝑟𝑜𝑦3𝑏 Ԧ𝑎
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
𝑃𝑟𝑜𝑦3𝑏 Ԧ𝑎 = 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏 Ԧ𝑎
𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏 Ԧ𝑎 =
−3, 4, 1 ∙ 3, −1, 0
9 + 1 + 0
2 ∙ 3, −1, 0
=
−9 − 4
10
∙ 3,−1, 0
= −
13
10
∙ 3, −1, 0
= −
39
10
,
13
10
, 0
𝐶𝑜𝑚𝑝3𝑏 Ԧ𝑎 = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏 Ԧ𝑎
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏 Ԧ𝑎 =
−3, 4, 1 ∙ 3, −1, 0
9 + 1 + 0
=
−9 − 4
10
= −
13
10
𝑃𝑟𝑜𝑦3𝑏 Ԧ𝑎 = 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏 Ԧ𝑎
𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏 Ԧ𝑎 = −
39
10
,
13
10
, 0
= −
39
10
2
+
13
10
2
=
1690
100
= −
13 10
10
=
13 10
10
Dados los vectores Ԧ𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 ; 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 , el producto vectorial o producto 
cruz se define como:
3 PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
que por medio de 
método de las sub 
determinantes 
obtenemos:
PRODUCTO VECTORIAL
PRODUCTO VECTORIAL
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
Dados los vectores Ԧ𝑎 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 y 𝑏 = 4𝑖 + 5𝑗 + 6𝑘. Halle el 
producto vectorial de Ԧ𝑎 × 𝑏.
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
PRODUCTO VECTORIAL
Ԧ𝑎 = 1, , 2, 3 ; 𝑏 = 4, 5, 6 ⟹ Ԧ𝑎 × 𝑏 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 2 3
4 5 6
= 𝑖
2 3
5 6
− 𝑗
1 3
4 6
+ 𝑘
1 2
4 5
= 𝑖 −3 − 𝑗 −6 + 𝑘 −3
+ − +
= −3𝑖 + 6𝑗 − 3𝑘
= −3, 6, −3
El producto 
vectorial me da 
como resultado 
un vector
4 TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
PRODUCTO VECTORIAL
5 TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
PRODUCTO VECTORIAL
Calcular el triple producto escalar de Ԧ𝐴 = 2,−1, 3 ; 𝐵 = 0, 2, −5 ; Ԧ𝐶 =
1,−1, 2
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
RPTA: Ԧ𝐴, 𝐵, Ԧ𝐶 = −3
2 −1 3
0 2 −5
1 −1 2
= 2 4 − 5 + 5 − 6
= −2 − 1
+
−
+
= −3
= 2 −1 + −1
Ԧ𝐴, 𝐵, Ԧ𝐶 =Yo sé hallar la 
determinante
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Dados Ԧ𝐴 = 1, 1, 2 ; 𝐵 = −1, 2, 3 . Determine el valor de Ԧ𝐴 × 𝐵 × Ԧ𝐴 + 𝐵
SOLUCIÓN:
RPTA:
PRODUCTO VECTORIAL
−34, 5, −3
Ԧ𝐴 × 𝐵 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 1 2
−1 2 3
+ − +
Ԧ𝐴 + 𝐵 = 0, 3, 5
Ԧ𝐴 × 𝐵 × Ԧ𝐴 + 𝐵 =
𝑖 𝑗 𝑘
−1 −5 3
0 3 5
= −34, 5, −3
+ − +
= −1,−5, 3
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Sean los vectores Ԧ𝑎 y 𝑏 perpendiculares entre si. Si Ԧ𝑎 = 3 y 𝑏 = 4. Determine el valor del 
módulo de: 
Ԧ𝑎 + 𝑏 × Ԧ𝑎 − 𝑏
SOLUCIÓN:
PRODUCTO VECTORIAL
Ԧ𝑎 + 𝑏 × Ԧ𝑎 − 𝑏 = 24RPTA:
Ԧ𝑎 × Ԧ𝑎 − Ԧ𝑎 × 𝑏 + 𝑏 × Ԧ𝑎 − 𝑏 × 𝑏Ԧ𝑎 + 𝑏 × Ԧ𝑎 − 𝑏 =
= Ԧ𝑎 × Ԧ𝑎 + 𝑏 × Ԧ𝑎 + 𝑏 × Ԧ𝑎 − 𝑏 × 𝑏
= 2𝑏 × Ԧ𝑎
= 2𝑏 × Ԧ𝑎
Ԧ𝑎 × 𝑏 = Ԧ𝑎 𝑏 𝑆𝑒𝑛 𝜃
Ԧ𝑎 × 𝑏 = (3) 4 𝑆𝑒𝑛 90°
Ԧ𝑎 × 𝑏 = 12 1
Ԧ𝑎 × 𝑏 = 12
LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIOS RETOS
1. Encuentre la proyección ortogonal de Ԧ𝑎 sobre Ԧ𝑎 − 𝑏 si: Ԧ𝑎 = (2,1, −1), 𝑏 = (−1,0,1).
2. Sean los vectores Ԧ𝐴 = 3Ԧ𝑖 + 5Ԧ𝑗 + 𝑘 y 𝐵 = −5Ԧ𝑖 + 2Ԧ𝑗 − 2𝑘. El resultado de Ԧ𝐴. ( Ԧ𝐴 × 𝐵) es: 
3. Sean los vectores 𝑉1 = 3Ԧ𝑖 − 2Ԧ𝑗 + 4𝑘 y 𝑉2 = 3Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗 − 2𝑘. Determine la proyección 
vectorial de 𝑉1 sobre 𝑉2 y calcular la componente de 𝑉1 perpendicular a 𝑉2.
4. Sean los vectores Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥Ԧ𝑖 − 5Ԧ𝑗 + 2𝑘 y 𝐵 = −3Ԧ𝑖 + 2Ԧ𝑗 − 𝐵𝑧𝑘 . Calcule los valores de 𝐴𝑥
y 𝐵𝑧 para los cuales Ԧ𝐴 × 𝐵 es paralelo a:
a) al eje 𝑥 b) al eje 𝑦.
5. Sean 𝑢 y 𝑣 vectores no nulos, diferentes tales que 𝑤1 = 𝑢 + 𝑣, 𝑤2 = 𝑢 − 𝑣, 𝑤3 =
1
2
(𝑢 +
𝑣). Hallar 𝑤1. 𝑤2 × 𝑤3
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. Si dos vectores son paralelos entonces su producto vectorial 
en igual al vector nulo.
2. Si tres vectores son coplanares entonces su triple producto 
escalar es cero.
3. La componente es el módulo del vector proyección 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏 Ԧ𝑎 ⇒ 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏 Ԧ𝑎
Datos/Observaciones
Producto Vectorial 𝑅3
Datos/Observaciones
FINALMENTE
Excelente tu 
participación
Siempre hay un nuevo reto 
para mantenerme motivado.
UTP
Ésta sesión quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios 
propuestos de ésta sesión y 
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.