R_calculoII

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Apuntes de cálculo integral
Gerson Valenzuela González
22 de marzo de 2009
Estos apuntes de cálculo integral constituyen un resumen adecuado para fines prácticos, no
aśı para el estudio riguroso de esta materia. Su finalidad es servir como material de apoyo a los
cursos de cálculo dictados en las carreras de ingenieŕıa y debe ser utilizado cuidadosamente y
en ningún caso como una gúıa principal. El contenido se basa fundamentalmente en la sépti-
ma edición del texto de Leithold y respetando los derechos de autor ningún ejemplo de este
apunte es idéntico a los del texto. En su concepción como material práctico se evita y omite
cualquier formalismo matemático –a no ser que sea sumamente necesario– sin que esto implique
mirar en menos dicho formalismo, es una realidad que los alumnos en los primeros años de
estudios se marean con definiciones matemáticas estrictas con lo que se pierde el interés en de-
sarrollar las habilidades fundamentales para los cursos siguientes, a saber, diferenciar e integrar
correctamente y la interpretación geométrica.
1
Índice
1. Antiderivada 3
2. Técnicas de integración 4
2.1. Reglas de antiderivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Técnicas propiamente tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Regla de la cadena y sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2. Racionales y sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.4. Integración trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.5. Sustitución trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.6. Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 3
1. Antiderivada
La antiderivada es la función inversa de la derivada. A modo de trabalenguas, la antiderivada
de la derivada es la función original, aquella que siempre se grafica, la más importante y la que se
nos muestra en el 99 % de las veces. Un ejemplo es infinitas veces más entendible. Supongamos
que tenemos una función F de interés –la ya mencionada “original”– y se nos pide derivar la
función respecto a la variable independiente x, aśı se obtiene la función f
f =
dF
dx
Resulta claro que f es la derivada de F respecto a la variable independiente x, un asunto
conocido y relativamente fácil. La antiderivada trata de, a partir de la derivada f conocida
obtener la función original F desconocida y que se denomina la antiderivada de f . El proceso
de antiderivación o antidiferenciación se representa como∫
f(x)dx = F (x)
también conocido como “integral indefinida”. No se esfuerze en comprender el término dx que
aparece en la integral, por el momento acéptelo como dogma de fe o como un apéndice que cuelga
del intestino de la nomenclatura si aśı lo desea. Posteriormente, a medida que avance en sus
conocimientos, va a comprender el objetivo y la suma importancia de ese dx y va a comprender
que considerarlo un apéndice es casi un sacrilegio. Por el momento basta con retener que la
operación de antiderivación se aplica extrictamente a lo que sea x, si dice dx, y todo el resto
se considera constante. Por ejemplo si se busca
∫
[2x + y]dx, la operación de antiderivación va
a considerar que y es una constante. La forma en que se consigue obtener F por medio de la
antiderivación se explican en la sección siguiente.
Para es importante mencionar que no toda función f admite una antiderivada, si bien el
proceso es el inverso de derivar. Esto se debe a que tanto en la ingenieŕıa como en la f́ısica y
otras ciencias, las ecuaciones diferenciales nacen de balances de materia y enerǵıa y de balances
de fuerza que se plantean para modelar sistemas f́ısicos reales. Lo que quiere decir que f no se
ha obtenido de derivar a una desconocida F –eso es mas bien un juego académico– sino que su
génesis radica en la búsqueda un modelo certero de una situación f́ısica, a saber, el movimiento
de una part́ıcula, la dispersión de un contaminante, la transferencia de calor en una placa, el
modelo de flujo en una cañeŕıa, etc.
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 4
2. Técnicas de integración
2.1. Reglas de antiderivación
Las reglas de antiderivación se obtienen de las reglas de derivación. Por ejemplo sea F (x) = x2
la derivada f es
f(x) =
dF (x)
dx
= 2x
Ahora supongamos que conocemos que la derivada de una función F es f(x) = 2x, es obvio que
la antiderivación es ∫
f(x)dx =
∫
2xdx = x2 = F (x)
ya que sabemos de antemano la función original F que dio origen a f ; es como dar vueltas en
un ćırculo. Debido a que la derivada de una constante C es cero, la función f es la derivada de
cualquier función G(x) = F (x) + C por lo cual siempre se agrega una constante en el proceso
de antiderivación. En rigor, ∫
f(x)dx =
∫
2xdx = x2 + C
El procedimiento se aplica a todas las funciones más elementales lo que nos provee un conjunto
de reglas útiles y básicas que deben aprenderse de memoria.
1.
∫
af(x)dx = a
∫
f(x)dx a : constante 2.
∫
[f(x) + g(x)]dx =
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx
3.
∫
dx = x+ C 4.
∫
xndx =
xn+1
n+ 1
+ C n 6= −1
5.
∫
1
x
dx = ln(x) + C 6.
∫
exdx = ex + C
7.
∫
sen(x)dx = −cos(x) + C 8.
∫
cos(x)dx = sen(x) + C
9.
∫
sec2(x)dx = tan(x) + C 10.
∫
csc2(x)dx = −ctg(x) + C
11.
∫
sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C 12.
∫
csc(x)ctg(x)dx = −csc(x) + C
13.
∫
senh(x)dx = cosh(x) + C 14.
∫
cosh(x)dx = senh(x) + C
15.
∫
sech2(x)dx = tanh(x) + C 16.
∫
csch2(x)dx = −ctgh(x) + C
17.
∫
sech(x)tanh(x)dx = −sech(x) + C 18.
∫
csch(x)ctgh(x)dx = −csch(x) + C
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 5
Ejercicios
Demuestre las reglas de antiderivación dadas en esta sección.(derive)
Resuelva, mediante el uso de las reglas de antiderivación, las siguientes expresiones
1.
∫
[5x2 + 6]dx 2.
∫
[3x4 + 2x9 − 50x]dx
3.
∫
[2sen(x) + 3cos(x)]dx 4.
∫ [
7x−1 + 2ex
]
dx
5.
∫
[0.5sen(x) + 2senh(x)]dx 6.
∫
x2 + x3 + x4
23
dx
7.
∫
[4sec(x)tan(x) + 2csc2(x)]dx 8.
∫ [
5u−1 + 8u7 + 3csch2(u)
]
du
9.
∫
[1 + 2x+
√
x]dx 10.
∫
[4sen(u) + u2/3 + sec2(u)]du
11.
∫
[2z1/2 + z4 + z5/3]dz 12.
∫
[8y + 3sen(y) + 2sec(y)tan(y)]dy
13.
∫
[5.3csc(y)ctg(y) + y−3]dy 14.
∫
[2y + y−1/2 + 9sech(y)tanh(y)]dy
15.
∫
[v4 + v−8]dv 16.
∫
[8y−1 + cosh(y)]dy
17.
∫
[3ex + x−6]dx 18.
∫
[2senh(g) + g6]dg
19.
∫ [
x4 − 7x3 − 21
x
]
dx 20.
∫
[x−2 − x−1/2 − x−1/3]dx
21.
∫
[4sen(x)− 3csc(x)ctg(x)]dx 22.
∫
[−2sen(y)− 3sec2(y) + y−34]dy
23.
∫
[−csc2(z) + 100sec(z)tan(z)]dz 24.
∫
[z−1 + z2 + z−2]dz
25.
∫
[2
√
x− 13ex]dx 26.
∫ [
v5 +
1
4
v3
]
dv
27.
∫ [
1
2
x+
1
3
x2 +
1
4
x3
]
dx 28.
∫
[x7 + 7 + 2x]dx
29.
∫
[sen(x) + 3csc2(x)]dx 30.
∫
[cos(−x)]dx
31.
∫
[3sen(−x)]dx 32.
∫
[5tan(−x)]dx
33.
∫
[2sec2(−x)]dx 34.
∫
[−7csc2(−x)]dx
35.
∫ [
100
x
+ 6
]
dx 36.
∫
[1000x−999 − 2ex]dx
37.
∫
[−3csc(x)ctg(x)− 0.45sec(x)tan(x)]dx 38.
∫
[sen2(x) + cos2(x)]dx
39.
∫
[5x4 + 20]dx 40.
∫
[−3x5 + 5x−3]dx
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 6
Más ejercicios...
1.
∫
[x5 + 2.1sec2(x)]dx 2.
∫
[y−1 + 3ln(y)]dy
3.
∫
[−2sen(x)− 3.4cos(x)]dx 4.
∫
[7ctg(x) + 0.3]dx
5.
∫
−2sec(x)tan(x)dx 6.
∫
y3dy
7.
∫
[x+ bx2 + cx3]dx b, c : Constantes 8.
∫
[4.32csc(t)ctg(t)]dt
9.
∫
0.5csc2(x)dx 10.
∫
−0.24sec2(u)du
11.
∫
5zdz 12.
∫
[9.8m+ 2sec2(m)]dm
13.
∫
[csc2(y) + sec(y)tan(y)]dy 14.
∫
−3cosh(u)du
15.
∫
[2.01sech(y)tanh(y)]dy 16.
∫
−2sec2(y)dy
17.
∫
[x3 + 5senh(x)]dx 18.
∫ [
5c−1 + 7csc(c)ctg(c)
]
dc
19.
∫
−56sech2(x)dx 20.
∫
[6.7ex + sen(x) + cosh(x)]dx
21.
∫
[34h+ h−4]dh 22.
∫
3csch(j)ctgh(j)dj
23.
∫
[−4.35csc2(z) + 2]dz 24.
∫
[s−3 + cos(−s)]ds
25.
∫
[2.32x−1 + sec(x)tan(x)]dx 26.
∫
[x
√
2 + x95]dx27.
∫
cosh(x)dx 28.
∫
cos(x)dx
29.
∫
xn−1dx n 6= 0 30.
∫
[
√
t− sec2(t)]dt
31.
∫
[5.4y3 + csch2(y)]dy 32.
∫
[2 + 4x+ 3x2]dx
33.
∫
[34cosh(x)− 34cos(x)]dx 34.
∫
−2csc(u)ctg(u)du
35.
∫
[x9 − x8 + x7]dx 36.
∫
csch(s)ctgh(s)ds
37.
∫
x2ndx n 6= −0.5 38.
∫
[csc2(x) + 4ex]dx
39.
∫
[sec2(s)− csc2(s)]ds 40.
∫
[−2sech(s)tanh(s) + senh(s)]ds
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 7
2.2. Técnicas propiamente tal
Si se encuentra leyendo esta sección sin manejar diestramente –o siniestramente– las reglas de
derivación de la sección anterior, le sugiero que salga con los amigos, tome una cerveza, relajese
y vuelva a estudiarse las reglas de derivación. De otra forma cruzar el Zahara puede ser más
fácil que entender lo que sigue. Debo ser sincero en expresar que la materia a continuación es
dura de entender, los problemas son extensos y a menudo fomes, hay una cosa de arte abstracto
en el aire y lamentablemente el dominio de la antiderivación de funciones más complejas que
las vistas antes se consigue solamente por el camino de hacer cientos de ejercicios.
Supongamos que por algún motivo se desea encontrar la antiderivada de f(x) = x2sen(x),
es claro que con las reglas de derivación uno se queda corto. Ninguna nos sirve para resolver
directamente dicho problema y hay que acudir a métodos más refinados. Veamos. . .
2.2.1. Regla de la cadena y sustitución
Cuando se deriva una función por medio de la regla de la cadena es común que la expresión
resultante sea bastante compleja. Por ejemplo, si F (x) = sen(x2) su derivada es
f(x) =
d[sen(x2)]
dx
=
d[sen(x2)]
dx2
x2
dx
= cos(x2)2x
Nótese que mediante el método de diferenciacion una parte de f , a saber 2x, es la derivada de
otra parte de f , a saber x2. Ese es el meollo del asunto, identificar en f una parte que sea o se
parezca a la derivada de otra parte de f .
Por ejemplo, si queremos antiderivar f(x) = x · cos(x2) podemos ver que la derivada de
x2 respecto a la variable independiente es 2x, lo cual es muy parecido a el término x que
aparece multiplicando el coseno. Cuando esta situación se da basta con definir una nueva variable
arbitraria, sea u en este caso, tal que sustituya a x2.
u(x) = x2
Luego, se sustituye la variable u en la antiderivación,∫
f(x)dx =
∫
x · cos(x2)dx =
∫
cos(u) · xdx
y nos encontramos con una ensalada; por una parte esta la variable u, pero se mantiene la
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 8
variable x y el término dx. La solución pasa por derivar u respecto a x
du(x)
dx
= 2x
En la ecuación anterior, nada impide multiplicar –crealo o no– por dx, de forma que du = 2xdx
o bien,
xdx =
du
2
y esto puede ser reemplazado en la antiderivación sin ningún problema∫
cos(u) · xdx =
∫
1
2
cos(u) · du
Se obtiene finalmente una expresión que puede ser resuelta mediante las reglas de antidiferen-
ciación, ∫
1
2
cos(u) · du = 1
2
sen(u)
y finalmente regresar a la variable independiente original x,
1
2
sen(u) =
1
2
sen(x2)
Se puede comprobar por simple derivación que F (x) = 1
2
sen(x2) es la antiderivada de f(x) =
x · cos(x2). Se reitera que este método debe tenerse siempre en mente ya que la regla de la
cadena en la diferenciación es tan común como los granos de arena lo son en una playa. Antes
de dar paso a la lista de ejercicios de esta sección veamos un par de ejemplos.
Encontrar la antiderivada de f(x) = sen2(2x)cos(2x). Mediante un primer análisis a f
podemos observar que el término cos(2x) es la derivada de 0.5sen(2x). En f aparece sen2(2x) lo
cual sugiere fuertemente que f se obtubo utilizando la regla de la cadena sobre la antiderivada
–la función original– F . Si solo apareciera el seno, sin estar elevado a ninguna potencia, se
descartaŕıa la posibilidad de la regla de la cadena ya que la derivada del seno es simplemente
el coseno. En cambio, al estar elevado a una potencia, el seno se va a conservar luego de la
diferenciación; al derivar sen2(x) respecto a x se obtiene 2sen(x)cos(x). Digamos entonces,
arbitrariamente, que
b(x) = sen(2x)
d[b(x)]
dx
= 2cos(2x)
cos(2x)dx =
d[b(x)]
2
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 9
Reemplazando todo lo anterior en la antiderivación,∫
sen2(2x)cos(2x)dx =
∫
1
2
b2db
se obtiene una expresión en términos de la nueva variable b(x) = sen(2x) que puede ser resuelta
por una simple regla de antiderivación.∫
1
2
b2db =
1
6
b3 + C
y volviendo a la variable original
F (x) =
1
6
sen(2x)3 + C
El método anterior requiere tener buen ojo y mucha práctica en lo que respecta la diferenciación,
ya que es fundamental identificar la posibilidad cierta de que la regla de la cadena haya sido
utilizada.
2.2.2. Racionales y sustitución
Otra forma de diferenciación bastante común es la de racionales (fracciones) y las expresiones
resultantes normalmente son tratadas algebraicamente luego de la derivación propiamente tal.
Por ejemplo, sea
F (x) =
2 + 3x
(x+ 1)4
al derivar F respecto a x se obtiene
f(x) =
F (x)
dx
=
3(1 + x)4 − 4(2 + 3x)(1 + x)3
(1 + x)8
y naturalmente la expresión debe ser reducida hasta donde el álgebra lo permita
f(x) =
−(5 + 9x)
(1 + x)5
Supongamos el hipotético caso de que necesitamos obtener la antiderivada de f sin conocer F ...
F (x) =
∫
−(5 + 9x)
(1 + x)5
dx
es claro que el método de sustitución visto para la regla de la cadena acá no sirve para nada.
No se puede identificar que una parte de f sea la derivada de otra parte de f . La caracteŕıstica
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 10
común de este tipo de integrales es, justamente, que f es un racional, lo que sugiere, en la
mayoŕıa de los casos, que F es una función del mismo tipo. La técnica de integración consiste
en sustituir alguna expresión del denominador del radical, usualmente basta con la más simple
posible (usar el sentido común).
Entonces resolvamos. Sea
v(x) = 1 + x
dv = dx
reemplazando ambas expresiones en la antiderivación,
F (x) =
∫
4− 9v
v5
dv = 4
∫
1
v5
dv − 9
∫
1
v4
dv
En el paso anterior se ha manifestado la utilidad del cambio de variable; la fracción puede ser
separada adecuadamente para obtener dos integrales más simples que son resueltas por una
regla de antiderivación.
F (x) = 4
∫
1
v5
dv − 9
∫
1
v4
dv = 4
v−4
−4
− 9v
−3
−3
F (x) = 4
v−4
−4
− 9v
−3
−3
=
−1
v4
+
3
v3
=
3v − 1
v4
Volviendo a la variable x con v = 1 + x,
F (x) =
3(1 + x)− 1
(1 + x)4
=
3x+ 2
(1 + x)4
que es exactamente la expresión original. Otras funciones que por derivación generan racionales
son la función radical (raices) y la función logaritmo, el método de solución es basicamente el
ya descrito.
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 11
Ejercicios
Resolver por sustitución de variable las siguientes antiderivadas,
1.
∫ √
2z + 5dz 2.
∫
(5s+ 3)3ds
3.
∫
z
√
2z2 + 4dz 4.
∫
s2(3 + s3)0.25ds
5.
∫
z−1
√
ln(z) + 1dz 6.
∫
3s4(s5 + 2)2ds
7.
∫
(2z + 1)(z2 + z)−3dz 8.
∫
sen2(s)cos3(s)ds
9.
∫
1
2z + 4
dz 10.
∫
−4
s− 4
ds
11.
∫
z
z2 − 3
dz 12.
∫
s3
3s4 + 2
ds
13.
∫
z
(z2 + 4)2
dz 14.
∫
s−2
(s−1 + 2)0.5
ds
15.
∫
4z3sen(z4)dz 16.
∫
sec2(2s)ds
17.
∫
e−10zdz 18.
∫
e2.1s+400ds
19.
∫
sec(2z)tan(2z)dz 20.
∫
csc(3s)ctg(3s)ds
21.
∫
sec2(z)tan2(z)dz 22.
∫
sec2(7s)tan2(7s)ds
23.
∫
sen(3z) 3
√
2− cos(3z)dz 24.
∫
cos2(s)sen(s)ds
25.
∫
z√
z + 4
dz 26.
∫
2ycsc(3y2)ctg(3y2)dy
27.
∫
2z
(1− z)6
dz 28.
∫
1
s2
√
1
s
− 3ds
29.
∫
5z
(2 + z)5
dz 30.
∫
−x 7
√
3x2 − 5dx
31.
∫
1√
z + 5
dz 32.
∫
1
(1 + t)2
dt
33.
∫
−1
(1 + t)2
dt 34.
∫
s2 + 2s√
s3 + 3s2 + 1
ds
35.
∫
4sen(z)
(1 + cos(z))2
dz 36.
∫
−3sen(z)sen(cos(z))dz
37.
∫
z(3z2 − 5)dz 38.
∫ [
3s+
1
s+ 4
]
ds
39.
∫
ze−5z
2
dz 40.
∫
s+ 1
s+ 2
ds
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 12
2.2.3. Integración por partes
La técnica que se presenta a continuaciónes sistemática, distinta a los casos anteriores de
sustitución donde la elección de la nueva variable depend́ıa del buen ojo –o mal ojo– en un
proceso que es casi a prueba y error. La integración por partes posee una estructura lógica y
por lo tanto es fácil de emplear lo que lo convierte en uno de los métodos más utilizados para
integrar.
El método nace de la derivada de un producto. Sea u y v funciones de x, la derivada del
producto de ambas es,
d(uv)
dx
= u
dv
dx
+ v
du
dx
Multiplando por dx y reordenando,
udv = d(uv)− vdu
y al aplicar la operación de antiderivación∫
udv =
∫
d(uv)−
∫
vdu
∫
udv = uv −
∫
vdu (1)
La Ecuación 1 debe ser memorizada, no es tan complicado ya que tiene una suerte de rima.
¿Cómo se usa la fórmula?, muy simple...
Integrar f(x) = ln(x).
1. Definir u(x) y dv. En general uno busca un término lo más simple posible para dv ya que
debe ser integrado; todo lo que sobra será u. Eligiendo
dv = dx
v = x
Entonces v = x. Lo que sobra es
u = ln(x)
du =
1
x
dx
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 13
2. Utilizar la Ecuación 1 con u, du y v definidos
∫
udv = uv −
∫
vdu⇔
∫
ln(x)dx = xln(x)−
∫
x
1
x
dx∫
ln(x)dx = xln(x)−
∫
dx = xln(x)− x+ C
Entonces se ha encontrado por la técnica descrita que
∫
ln(x)dx = xln(x)−x, una antiderivada
muy útil digna de ser memorizada e imposible de obtener con las técnicas vistas antes. Si se
es buen observador, el método produce una segunda integral que necesariamente debe ser más
fácil de resolver que el problema inicial. Si no se consigue simplificar el problema, el método no
sirve y es mejor intentar con alguna otra técnica de integración, sin embargo para una buena
cantidad de problemas el método se aplica correctamente aśı que es importante estudiarlo. Es
preciso dejar en claro los pro y los contra del método:
Los Pro...
1. Es sistemático
2. Al contrario de los métodos anteriores, no se requiere indagar –filosofar– sobre la
naturaleza de F a partir de f .
3. Se puede resolver una amplia gama de problemas simples de ingenieŕıa cuya génesis
no está en derivar F para dar vueltas en un ćırculo y preguntar por la antiderivada
de f .
Los Contra...
1. En algunos casos dv puede ser dificil de integrar y la derivada de u muy extensa.
2. El procedimiento, aún eligiendo correctamente u y dv, se puede volver muy complejo.
Coloquialmente hablando; se generan “chorizos”.
Veamos los siguientes ejemplos que aumentan el grado de dificultad.
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 14
Antiderivar f(x) = exsen(x)
u = sen(x)
du = cos(x)dx
dv = exdx∫
dv =
∫
exdx⇔ v = ex
y de acuerdo a la Ecuación 1,∫
exsen(x) = exsen(x)−
∫
excos(x)dx (2)
Ahora hay que resolver la nueva integral
∫
excos(x)dx. Utilizando el mismo prodecimiento con
u = cos(x)⇔ du = −sen(x)dx, dv = exdx⇔ v = ex se tiene,∫
excos(x)dx = excos(x)−
∫
−exsen(x)dx (3)
Reemplazando Ecuación 3 en 2 se obtiene,∫
exsen(x) = exsen(x)−
[
excos(x)−
∫
−exsen(x)dx
]
∫
exsen(x) = exsen(x)− excos(x)−
∫
exsen(x)dx
2
∫
exsen(x) = exsen(x)− excos(x)∫
exsen(x) =
1
2
[exsen(x)− excos(x)] + C
El ejemplo anterior es interesante y realista al mismo tiempo. Interesante porque se ha procedido
a sumar dos integrales en el procedimiento anterior, no hay ningún problema con esto, las
integrales identicas se pueden sumar y restar. Realista, porque muestra la situación más común
con este método, a saber, que en la mayoŕıa de los casos se debe aplicar varias veces.
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 15
Antiderivar f(x) = 3x3ex
2
Si se aplica el método con la función tal cual está, encontrar la solución del problema puede
llegar a ser imposible. Siempre es bueno chequear si se puede sustituir la variable de manera
que f sea más simple. En este caso, con s = x2, ds = 2xdx, es fácil obtener que,
3x3ex
2
dx =
3
2
sesds
El lector debe ser capáz de llevar a cabo el cambio de variables, se deja como ejercicio. El
problema a resolver ahora es,
F (s) =
3
2
∫
sesds
Utilizando la técnica de integración por partes con u = s⇔ du = ds, dv = esds⇔ v = es,∫
sesds = ses −
∫
esds
la segunda integral es muy simple de resolver mediante una regla de antiderivación, luego∫
sesds = ses − es
Con esto ya se tiene la solución del problema,
F (s) =
3
2
[ses − es] + C
F (x) =
3
2
[
x2ex
2 − ex2
]
+ C
Con este ejemplo se espera que el lector comprenda la importancia de simplificar lo máximo
posible la antiderivación mediante el uso de sustitución de variables. Este proceso puede ser a
prueba y error, pero si se consigue una reducción de la complejidad de fdx se tiene un gran
camino asegurado en la solución. Sin más que agregar, es hora de practicar.
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 16
Ejercicios
Resolver con integración por partes las siguientes antiderivadas. Si se da el caso, utilice
cualquiera de las técnicas ya revisadas.
1.
∫
2ze3zdz 2.
∫
−s sec(s)tan(s)ds
3.
∫
z cos(2z)dz 4.
∫
y2sen(2y)dy
5.
∫
ln(4h)dh 6.
∫
s sec2(s)ds
7.
∫
ln(x2 − 3)dx 8.
∫
sen(s)ln(cos(s))ds
9.
∫
z ctg(z)dz 10.
∫
cos(ln(y))dy
11.
∫
zez
(z − 1)2
dz 12.
∫
s3
3s4 + 2
ds
13.
∫
ln(y)2
y
dy 14.
∫
sen(2x)
3ex
dx
15.
∫
s2senh(s)ds 16.
∫
sen(
√
x)dx
17.
∫
y2cos(2y)dy 18.
∫
ln(x− 13)dx
19.
∫
−3t2et/2dt 20.
∫
h5ln(h4)dh
21.
∫
ln(x3 + 2)dx 22.
∫
y3cos(y)dy
23.
∫
sen2(y)cos(y)dy 24.
∫
cos2(y)sen(y)dy
25.
∫
x
(2x+ 4)2
dx 26.
∫
x tan(x)dx
27.
∫
x2ln(x3 + 2)dx 28.
∫
cos(s)cos(sen(s))ds
29.
∫
sec(y)tan(y)sen(sec2(y))dy 30.
∫
t√
t− 3
dt
31.
∫
ln(3h+ 2)dh 32.
∫
xcos(x3)dx
33.
∫
cos(2y)
2ey
dy 34.
∫
−0.2ze5zdz
35.
∫
x4ln(x)dx 36.
∫
ln(x)
x
dx
37.
∫
(2s+ 3)3ds 38.
∫
x(3x2 − 1)dx
39.
∫
3sec2(y)tan2(y)dz 40.
∫ √
2z − 7dz
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 17
2.2.4. Integración trigonométrica
Tal como su nombre lo indica, esta sección trata las integrales que involucran sólamente
funciones trigonométricas. Hay integrales de este tipo que son bastante caprichozas, por ejemplo∫
sen2(x)dx
es una integral que de primera vista parecer ser simple de resolver, sin embargo no se puede
resolver por sustitución y menos con integración por partes. Inténtelo para que se de cuenta.
Aśı como este hay otros casos dignos de mencionar,∫
sen2cos2(x)dx∫
sen2cos3(x)dx
En los libros de cálculo se puede encontrar un gran número de fórmulas que atacan a fami-
lias o tipos caracteŕısticos de estos problemasa, pero todos parten de utilizar las identidades
trigonométricas. Las necesarias son,
1. tan2(x) + 1 = sec2(x)
2. ctg2(x) + 1 = csc2(x)
3. sen2(x) =
1− cos(2x)
2
4. cos2(x) =
1 + cos(2x)
2
5. sen2(x) + cos2(x) = 1
6. sen(mx)cos(nx) = (1/2)sen([m− n]x) + (1/2)sen([m+ n]x)
7. cos(mx)cos(nx) = (1/2)cos([m+ n]x) + (1/2)cos([m− n]x)
8. sen(mx)sen(nx) = (1/2)cos([m− n]x)− (1/2)cos([m+ n]x)
Entonces, la ciencia está en utilizar estas identidades para reducir la expresión a alguna de
las reglas de antiderivación para las funciones trigonométricas. Veamos un ejemplo, resolver∫
sen2(x)dx
Usando la identidad sen2(x) = 1−cos(2x)
2
la antiderivada es idéntica a∫
1− cos(2x)
2
dx
aLeithold, El cálculo, séptima edición, caṕıtulo 7.2
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 18
la cual admiten una fácil solución∫
1− cos(2x)
2
dx =
1
2
x− 1
2
sen(2x)
La reglas de antiderivación a las que hay que intentar llegar son
1.
∫
sen(x)dx = −cos(x) + C 2.
∫
cos(x)dx = sen(x) + C
3.
∫
tan(x)dx = −ln |cos(x)|+ C 4.
∫
ctg(x)dx = ln |sen(x)|+ C
5.
∫
sec(x)dx = ln |sec(x) + tan(x)|+ C 6.
∫
csc(x)dx = −ln |csc(x) + ctg(x)|+ C
7.
∫
sec2(x) = tan(x) + C 8.
∫
csc2(x) = −ctg(x) + C
9.
∫
sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C 10.
∫
csc(x)ctg(x)dx = −csc(x) + C
y como en el ajedrez, una vez se comprende a cual final se quiere llegar hay que aprender
cómo llegar a dicho final. Para ello ilústresede los siguientes ejemplos.
Antiderivar f(x) = sen2(x)cos2(x)dx
De la identidad sen2(x) + cos2(x) = 1∫
sen2(x)cos2(x)dx =
∫
sen2(x)[1− sen2(x)]dx
Reordenando ∫
sen2(x)[1− sen2(x)](x)dx =
∫
sen2(x)dx−
∫
sen4(x)dx
De identidad sen2(x) = 1−cos(2x)
2∫
sen2(x)dx−
∫
sen4(x)dx =
∫
1− cos(2x)
2
dx−
∫ (
1− cos(2x)
2
)2
dx
Resolviendo el primer termino y elevando al cuadrado el segundo,∫
sen2(x)dx−
∫
sen4(x)dx =
1
2
x− 1
4
sen(2x)− 1
4
∫
[1− 2cos(2x) + cos22x]dx∫
sen2(x)dx−
∫
sen4(x)dx =
1
2
x− 1
4
sen(2x)− 1
4
[
x− sen(2x) +
∫
cos22xdx
]
Para la integral que aún queda por resolver se realiza la sustitución y = 2x∫
cos22xdx =
1
2
∫
cos2ydy
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 19
De la identidad cos2(x) = 1+cos(2x)
2∫
cos2ydy =
∫
1 + cos(2y)
2
dy =
1
2
y +
1
4
sen(2y)
Juntando todos los términos y reemplazando y = 2x∫
sen2(x)cos2(x)dx =
1
2
x− 1
4
sen(2x)− 1
4
[x− sen(2x) + 1
4
2x+
1
8
sen(4x)]
Finalmente, luego de alguna manipulación algebraica∫
sen2(x)cos2(x)dx =
1
8
x− 1
32
sen(4x)
Extenso, pero fácil. Se han utilizado las identidades que generalmente se requieren para an-
tiderivar expresiones que contienen la función seno y coseno. En general, la solución se extiende
cuando las funciones se encuentran elevadas a potencias pares, i.e. sen2(x), cos4(x), . . ., pero es
más simple cuando almenos una potencia es impar ya que se puede utilizar sustitución y la regla
de la cadena. Véase el siguiente ejemplo.
Antiderivar f(x) = sen2(x)cos3(x)
La solución parte por atacar la potencia impar; cos3(x) = cos(x)cos2(x)∫
sen2(x)cos3(x)dx =
∫
sen2(x)cos2(x)cos(x)dx
De la identidad sen2(x) + cos2(x) = 1∫
sen2(x)cos3(x)dx =
∫
sen2(x)[1− sen2(x)]cos(x)dx
Reordenando y separando las integrales∫
sen2(x)cos3(x)dx =
∫
sen2(x)cos(x)dx−
∫
sen4(x)cos(x)dx
Cada nueva integral se puede resolver por sustitución con u = sen(x)∫
sen2(x)cos3(x)dx =
∫
u2du−
∫
u4du∫
sen2(x)cos3(x)dx =
u3
3
du− u
5
5
du
Remplazando u = sen(x) ∫
sen2(x)cos3(x)dx =
sen(x)3
3
− sen(x)
5
5
Esta es la situación general cuando una de las potencias es impar. Claro que son reglas bastantes
generales, es mejor practicar y desarrollar una buena intuición respecto al tema.
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 20
Antiderivar f(x) = tan4(x)
En este caso se utiliza la identidad tan2(x)+1 = sec2(x), para lo cual primero se descompone
f en dos partes, ∫
tan4(x)dx =
∫
tan2(x)tan2(x)dx
Eso fue un paso sencillo, ahora corresponde reemplazar una de las tangentes por la identidad,
a saber, tan2(x) = sec2(x)− 1∫
tan2(x)tan2(x)dx =
∫
[sec2(x)− 1]tan2(x)dx
Se multiplican ambos términos y se separan las integrales resultantes como sigue,∫
[sec2(x)− 1]tan2(x)dx =
∫
sec2(x)tan2(x)dx−
∫
tan2(x)dx
Resultan dos nuevas integrales. Para la primera nótese que sec2(x) es la derivada de tan(x) por
lo que la integral admiten solución por sustitución ya que corresponde a la regla de la cadena.
Sea u = tan(x)⇔ du = sec2(x)dx∫
sec2(x)tan2(x)dx =
∫
u2du =
u3
3
=
tan3(x)
3
La otra integral resultante se desarrolla mediante la identidad tan2(x) = sec2(x)− 1∫
tan2(x)dx =
∫
[sec2(x)− 1]dx = tan(x)− x
Finalmente, la solución del problema es∫
tan4(x)dx =
tan3(x)
3
− [tan(x)− x]
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 21
Ejercicios
Resolver por el método que corresponda las siguientes antiderivadas.
1.
∫
2sen3(y)cos(y)dy 2.
∫
sen3(x)dx
3.
∫
cos3(3t)sen(3t)dt 4.
∫
cos5(x)dx
5.
∫
sen3(5t)dt 6.
∫
5sen2(x)cos3(x)dx
7.
∫ √
cos(x)sen3(x)dx 8.
∫
sen3(z)cos3(z)dz
9.
∫
5cos3(2x)
4
√
sen(2x)
dx 10.
∫
ctg3(h)dh
11.
∫
tan6(2z)dz 12.
∫
1
x
tan4(ln(x))dx
13.
∫
cos2(3x)dx 14.
∫
sen2(5x)dx
15.
∫
3sen(h)− 1
cos2(h)
dh 16.
∫
ctg4(2x)dx
17.
∫
tan5(x)sec3(x)dx 18.
∫
2tan3(
√
x)√
x
dx
19.
∫
tan4(x)
sec5(x)
dx 20.
∫
4sec4(2s)ds
21.
∫
excos2(ex)dx 22.
∫
0.5
sec3(x)
tan4(x)
dx
23.
∫
1
1 + cos(y)
dy 24.
∫
sen4(7z)dz
25.
∫
sen(t)cos7(t)dt 26.
∫
3sen(3x)cos(2x)dx
27.
∫
sen(h)
cos2(h)
dh 28.
∫
tan3(s)ds
29.
∫
ctg3(s)ds 30.
∫
x cos(2x)dx
31.
∫
9sec(z)tan(z)dz 32.
∫
tan2(3x+ 7)dx
33.
∫
cos(x)cos(2x)dx 34.
∫
13sec2(z)cos2(tan(z))dz
35.
∫
2csc4(t)ctg(t)dt 36.
∫
−3sen(3x)sen(x)
37.
∫
5tan2(h)sec3(h)dh 38.
∫
e5xsen(5x)dx
39.
∫
cos2(7x)dx 40.
∫
sen2(x/2)dx
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 22
2.2.5. Sustitución trigonométrica
La técnica que se presenta en esta sección depende un 110 % de comprender la integración
trigonométrica de la sección anterior. El motivo se explica por si mismo conforme se aprenda
la técnica, sin embargo soy enfático en prohibir que esta sección sea estudiada sin manejar la
integración trigonométrica. Dicho lo anterior, al grano.
La sustitución trigonométrica, tal como su nombre lo indica, consiste en transformar ciertas
integrales a integrales trigonométricas por medio de una sustitución. Dichas integrales usual-
mente contienen los términos
√
c2 − x2,
√
c2 + x2,
√
x2 − c2 donde c es una constante. Por
ejemplo, ∫ √
4− x2dx
este tipo de integral no se puede resolver por partes ni menos por los otros métodos, tampoco
es una integral trigonométrica, pero se puede convertir en una usando una sustitución. Por
ejemplo, si x = 2cos(α)⇔ dx = −2sen(α)dα y se sustituye en la integral se obtiene,∫ √
4− x2dx =
∫ √
4− 4cos2(α)[−2sen(α)dα]
al factorizar en el radical,∫ √
4− 4cos2(α)[−2sen(α)dα] =
∫
2
√
1− cos2(α)[−2sen(α)dα]
y de la identidad sen2(t) + cos2(t) = 1 se tiene que∫
2
√
1− cos2(α)[−2sen(α)dα] = 2
∫
sen(α)[−2sen(α)dα]
y finalmente se tiene,
2
∫
sen(α)[−2sen(α)dα] = −4
∫
sen2(α)dα
Se ilustraron todos los pasos con el objeto de dejar claro como funciona la sustitución. Literal-
mente eso es sustitución trigonométrica. ADVERTENCIA; hay que definir el dominio al que
pertenece x y α, para x basta ver que el radical
√
4− x2 no se indetermine lo cual implica
forzosamente que −2 ≤ x ≤ 2. Esto a su vez indica que −1 ≤ cos(α) ≤ 1 lo cual dice que α no
tiene restricción de dominio. Toda esta definición resulta útil en ciertos casos...
El paso que sigue es la integración trigonométrica.∫
sen2(α)dα =
∫
1− cos(2α)
2
dα =
α
2
− 1
4
sen(2α)
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 23
La integración trigonométrica se llevo a cabo sin mayores pasos puesto que es una técnica ya
conocida. El resultado de la integral es,∫ √
4− x2dx = −2α + sen(2α)
y listo. Solamente falta expresar todo en términos de x para lo cual se recurre a la interpretación
gráfica. Debido a que por sustitución x = 2cos(α), lo que es identico a decir que cos(α) = x/2,
la interpretación geométrica es que el coseno es la razón entre el cateto adyancente al ángulo
y la hipotenusa del triángulo rectángulo. Dicho esto, el cateto adyancente es x mientras que la
hipotenusa es 2, el cateto opuesto a α se determina por el teorema de pitágoras y se ilustra en
la figura siguiente.
De acuerdo a la misma figura, se pueden determinar todas las funciones trigonométricas de
α en base a x. Por ejemplo, sen(α) =
√
4− x2/2, tan(α) =
√
4− x2/x, etc. El lector puede
demostrar usando algunas identidades trigonométricas que sen(2α) =
√
2x− x2. Finalmente la
solución del problema es, ∫ √
4− x2dx = −2arccos(x/2) +
√
2x− x2
donde arccos es la función inversa de coseno. O bien,∫ √
4− x2dx = −2arsen(
√
2x− x2) +
√
2x− x2
donde arcsen es la función inversa del seno. Veamos otro ejemplo,
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 24
Antiderivar f(x) =
dx√
3 + x2
En este caso la sustitución más adecuada es x =
√
3tan(α)⇔ dx =
√
3sec2(α)dα. De acuerdo al
denominador de f , x no tiene restricción de dominio; de acuerdo a la sustitución, α es cualquier
real tal que α 6= 0. ∫
dx√
3 + x2
=
∫ √
3sec2(α)dα√
3 + 3tan2(α)
de la identidad tan2(t) + 1 = sec2(t) se tiene que∫ √
3sec2(α)dα√
3 + 3tan2(α)
=
∫ √
3sec2(α)dα√3sec(α)∫ √
3sec2(α)dα√
3sec(α)
=
∫
sec(α)dα
La cual es una integral trigonométrica ya conocida,∫
sec(α)dα = ln |sec(α) + tan(α)|+ C
y por lo tanto, la solución es∫
dx√
3 + x2
dx = ln |sec(α) + tan(α)|+ C
Para expresar la solución en términos de x nuevamente se recurre a la interpretación gráfica
impĺıcita en la sustitución x =
√
3tan(α). Como la tangente es la razón entre el cateto opuesto
a α y el cateto adyancente, entonces el cateto opuesto es x y el adyancente es
√
3, la hipotenusa
se obtiene del teorema de pitágoras y es
√
x2 + 3. Con esto se tiene que
sec(α) =
√
x2 + 3√
3
tan(α) =
x√
3
La solución en términos de x es∫
dx√
3 + x2
= ln
∣∣∣∣∣
√
x2 + 3√
3
+
x√
3
∣∣∣∣∣+ C
Se deja al lector la comprobación del resultado mediante diferenciación.
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 25
Ejercicios
Resolver por sustitución trigonométrica las siguientes antiderivadas. Tenga siempre pre-
sente simplificar el problema –por simple sustitución– cuando sea posible.
1.
∫
2dx
x2
√
4− x2
2.
∫ √
4− x2
−3x2
dx
3.
∫
y√
y2 − 36
dy 4.
∫
dz
z
√
x2 + 2
5.
∫
dt
t2
√
t2 − 7
6.
∫
ln3(x)
x
√
ln2x− 4
dx
7.
∫
sec2(s)
[4− tan2(s)]3/2
ds 8.
∫ √
1− x2dx
9.
∫
dz
(2 + z2)3/2
10.
∫
dt
(t2 − 8t+ 16)3/2
11.
∫
dx√
4x− x2
12.
∫
dx
x
√
x4 − 4
13.
∫
dh
(5− 4h− h2)3/2
14.
∫
z3√
3− z2
dz
15.
∫
6
s
√
s4 + 4
ds 16.
∫ √
4− x4dx
Indicación. En los problemas 10, 11 y 13 se sugiere completar el binomio para crear
la nueva variable; i.e x2 + 6x = x2 + 6x + (9 − 9) = (x2 + 6x + 9) − 9 = (x + 3)2 − 9.
Luego aplicar una sustitución simple, u = x + 3, con lo que x2 + 6x = u2 − 9 y du = dx.
Finalmente utilizar sustitución trigonométrica.
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 26
2.2.6. Fracciones parciales
En la Sección 2.2.2 se mencionó que el uso de la sustitución permite resolver integrales de
racionales (fracciones). Pues bién, esto es cierto mientras la complejidad del racional no sea
demasiado elevada. Para las fracciones complicadas como∫
x+ 2
(x+ 3)(x+ 4)(x+ 1)
dx
la simple sustitución no conduce a una solución factible de la integral. En estos casos, el racional
debe ser simplificado mediante la técnica del álgebra denominada “Descomposición en fracciones
parciales”. Queda claro, entonces, que el contenido que se presenta en esta sección no es una
técnica de integración, sino una del álgebra. Es una suerte de repaso.
Dicho lo anterior abandonemos de pleno la integración y enfoquemos la atención sobre una
fracción H(x) = I(x)/J(x) y supongamos que H es una fracción impropia, lo que quiere decir
que el grado de J es mayor que el grado de I. Ejemplo,
H(x) =
I(x)
J(x)
=
3x+ 5
x2 − 2x+ 1
En general se pueden identificar cuatro casos según como sea J . Estos se ven a continuación.
1. Los factores de J son todos lineales y distintos
La expresión los factores de J implica que en todos los casos que sea posible hay que factorizar
la expresión que le corresponda a J . La materia de factorización de polinomios esta totalmente
fuera del enfoque de este apunte y se puede revisar en un texto clásico; “el Baldor”. Volviendo
a lo que interesa, un ejemplo de este tipo de fracciones es
H(x) =
I(x)
J(x)
=
x+ 2
(x+ 3)(x+ 4)(x+ 1)
Los factores de J son todos lineales (de orden 1) y distintos. En estos casos la descomposición
en fracciones parciales es de la forma
H(x) =
I(x)
J(x)
=
x+ 2
(x+ 3)(x+ 4)(x+ 1)
=
A
x+ 3
+
B
x+ 4
+
C
x+ 1
De este modo, el racional inicial y complicado se ha descompuesto en tres fracciones parciales,
cada una más simple que la original. Del proceso nacen tres nuevas variables, a saber, A, B y
C que deben ser determinadas. Para este fin se multiplica todo por J ,
x+ 2 = A(x+ 4)(x+ 1) +B(x+ 3)(x+ 1) + C(x+ 4)(x+ 3)
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 27
y se obtiene una expresión que es una identidad. En su condición de identidad, la igualdad debe
cumplirse para cualquier valor de x. Sea, por decir algo, x = −1 y reemplazemos en la identidad,
1 = 6C
de manera que C = 1/6. De la misma forma, si se reemplaza en la identidad x = −3 se obtiene
A = −1/2 y si se reemplaza x = −4 se obtiene que B = −2/3. Esta forma de obtener las
constantes es bastante simple e intuitiva. La descomposición en fracciones parciales conduce a,
x+ 2
(x+ 3)(x+ 4)(x+ 1)
= − 1
2(x+ 3)
− 2
3(x+ 4)
+
1
6(x+ 1)
y la integración se vuelve en extremo simple,∫
x+ 2
(x+ 3)(x+ 4)(x+ 1)
dx = −
∫
1
2(x+ 3)
dx−
∫
2
3(x+ 4)
dx+
∫
1
6(x+ 1)
dx∫
x+ 2
(x+ 3)(x+ 4)(x+ 1)
dx = −1
2
ln|x+ 3| − 2
3
ln|x+ 4|+ 1
6
ln|x+ 1|∫
x+ 2
(x+ 3)(x+ 4)(x+ 1)
dx = ln
∣∣∣∣ (x+ 1)1/6(x+ 3)1/2(x+ 4)2/3
∣∣∣∣
2. Los factores de J son todos lineales y algunos se repiten
Cuando uno o más de los factores de J se repiten se procede de la siguiente manera,
H(x) =
I(x)
J(x)
=
x+ 2
x(x+ 3)(x+ 4)2
=
A
x
+
B
x+ 3
+
C
x+ 4
+
D
(x+ 4)2
Para determinar A, B, C y D se multiplica todo por J para obtener la identidad
x+ 2 = A(x+ 3)(x+ 4)2 +Bx(x+ 4)2 + Cx(x+ 3)(x+ 4) +Dx(x+ 3)
Al asignar x = 0 se determinar A = 1/24. Con x = −3 se determina B = 1/3. Con x = −4 se
determina D = −1/2. Para determinar C basta con asignarle cualquier valor a x, por ejemplo
x = −2
0 = 4A− 8B − 4C − 2D ⇔ C = 2D + 8B − 4A
4
=
3
2
Entonces la integración es∫
x+ 2
x(x+ 3)(x+ 4)2
dx =
∫
1
24x
dx+
∫
1
3(x+ 3)
dx+
∫
3
2(x+ 4)
dx− 1
2(x+ 4)2
dx∫
x+ 2
x(x+ 3)(x+ 4)2
dx =
1
24
ln|x|+ 1
3
ln|x+ 3|+ 3
2
ln|x+ 4|+ 1
2(x+ 4)
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 28
3. Los factores de J son todos lineales y cuadráticos sin repetir
Un ejemplo de este caso es,
H(x) =
I(x)
J(x)
=
x+ 2
x(x2 + 5)
en cuyo caso la descomposición va de la siguiente forma
H(x) =
I(x)
J(x)
=
x+ 2
x(x2 + 5)
=
A
x
+
Bx+ C
x2 + 5
Lo que sigue es determinar A, B y C de la misma manera que en los casos anteriores: se
multiplica todo por J para obtener la identidad
x+ 2 = A(x2 + 5) + (Bx+ C)x
Al asignar x = 0 se obtiene A = 2/5. Para B y C, se reemplaza en la identidad x = 1 y x = −1
para obtener el siguiente sistema de ecuaciones
3 = 6/5 +B + C
1 = 6/5 +B − C
Al resolver el sistema se obtiene B = 4/5 y C = 1.
4. Los factores de J son todos lineales y cuadráticos donde algunos se repiten
De lo que ya se ha visto, el lector puede inferir la forma de la descomposición. Sea
H(x) =
I(x)
J(x)
=
x+ 2
x(x+ 1)(x2 + x+ 3)2
La descomposición es
x+ 2
x(x+ 1)(x2 + x+ 3)2
=
A
x
+
B
x+ 1
+
Cx+D
x2 + x+ 3
+
Ex+ F
(x2 + x+ 3)2
se deja de tarea encontrar las constantes de la descomposición.
Los distintos casos se han ilustrado por medio de ejemplos puntuales y se debe inferir, cosa
no dificil en este caso, los mecanismos de descomposición para racionales distintos a los puesto
de ejemplo. Se dejan unos algunos ejercicios de este tema para practicar.
Gerson Esteban Valenzuela González, apuntes de Cálculo Integral 29
Ejercicios
Resolver las integrales simplificando el racional. Siempre que sea posible factorice el de-
nominador antes de descomponer en fracciones parciales.
1.
∫
1
x2 − 4
dx 2.
∫
4x− 1
x2 − 1
dx
3.
∫
4x− 2
x3 − x2 − 2x
dx 4.
∫
4t− 10
2t2 + 7t− 4
dt
5.
∫
dz
(z + 3)2(z − 1)
6.
∫
dh
h3 − 3h2
7.
∫
1
2x3 + x
dx 8.
∫
y + 4
y3 + 4y
dy
9.
∫
xdx
2x4 + 5x2 + 2
10.
∫
dz
9z4 + z2
11.
∫
m2 + 4m− 1
m3 −m
dm 12.
∫
x− 3
x3 + x2
dx
Indicación. Algunas reglas de factorización. (x+b)2 = x2+2bx+b2, (x+b)(x−b) = x2−b2.
En el problema 9 definir una nueva variable u = x2, du = 2xdx.
	Antiderivada
	Técnicas de integración
	Reglas de antiderivación
	Técnicas propiamente tal
	Regla de la cadena y sustitución
	Racionales y sustitución
	Integración por partes
	Integración trigonométrica
	Sustitución trigonométrica
	Fracciones parciales