Ecuaciones diferenciales exactas (Artículo) autor Enrique Mateus Nieves

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Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática.
Ecuaciones diferenciales exactas
Definición 1: sea  y,xf una función con derivadas parciales de primer orden continuas en
una región del plano ,xy Llamamos diferencial total de  y,xf a la expresión notada
 y,xdf y definida por:   dy
y
f
dx
x
f
yx,fd






Definición 2: una expresión diferencial es una diferencial exacta en una región del plano
,xy si corresponde a la diferencial total de alguna función  y,xf . En matemáticas, una
ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que
presenta la forma:     0,dyyx,Ndxyx,M  en donde las derivadas parciales de las
funciones M y N:
x
N
y
 M




 (son iguales). Esto es equivalente a decir que existe una
función  y,xf tal que   dy
y
f
dx
x
f
yx,fd





 donde  yx,M
x
f



y  yx,N
y
f



.
Dado que  y,xf es una función diferenciable entonces las derivadas mixtas deben ser
iguales y esta es la condición
yx
f
x
N
y
 M







 2 . Ejemplos de diferenciales exactas son:
0 xdyydx y      01  dyyxcosdxyxcos
El siguiente teorema proporciona un criterio para determinar su una diferencial es exacta,
veamos:
Teorema: Sean  yx,M , y  yx,N continuas y con derivadas parciales de primer orden
continuas en una región del plano ,xy entonces, una condición necesaria y suficiente para
que     0,dyyx,Ndxyx,M  sea una diferencial exacta es que
yx
f
x
N
y
 M







 2
Método de resolución.
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
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 Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de
M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
 Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de
este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que
aparece como constante de integración. Esto es:
     xgdyNygdxMyx,f   en cualquiera de las dos direcciones es
equivalente.
 Para despejar la función g se deriva  yx,f con respecto a la variable independiente
de g.
 Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y
luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se
encontrará la función g.
 Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general  yx,f .
En resumen:
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Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1. 0233  dyyxdxyx 2 2. 012  dy)x(dxyx2
3.   0 dyxycosxdxxycosxyxysen 2 4. 02 322 
dx
dy
)yyx()xyx(2 3
5. 0
2
22
2
2





 





 
 dy
xy
yx
dx
yx
yx
2x
2
6.     01 
dx
dy
exxsen2xexcosy y2y
7. 0dyxln
y
x
dxyln
x
y











  8. 3y(4)0dy
x
2y
-dx
x
y
x
1







2
2
9. 1y(1)0dy
y
xy
dx
y
2x 2





 

4
23 10.     4y(2)0dyxyxedxyye xyxy  22
Factor integrante.
Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una
función especial  yx, llamada factor integrante, tal que:
        0dyyx,Nyx,dxyx, Myx,   Sea exacta. Cabe destacar que bajo ciertas
condiciones el factor integrante siempre existe, pero sólo para algunas formas de
ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:
Factor integrante solo en función de x.
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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir,  x ), entonces
se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Factor integrante solo en función de y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir,  y ), entonces
se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Factor integrante solo en función de x+y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir,  yx  ),
entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Con
Factor integrante solo en función de x·y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir,  xy ),
entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Con
Donde M·x
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Cabe mencionar que:
x
N
N,
y
M
M xy 





Ejercicios: para cada una de las siguientes E. D. halle un factor integrante que dependa
solo de x, ó, un factor integrante que dependa solo de y.
1. 013 2  dy)x(dx)xy(2 2. 0 dydx)yx(2
3. 022  dyxydx)yx( 4. 02  dyycosxdxy sen)x(
5.   012 222  dyyyxdxylnxy 6. 044  dyxydx)yx( 3
7. xxy
dx
dy
)x(  412 8.   0946 2  dyxydxxy
Bibliografía
 Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
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 Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.
Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-
686-487-3.
 Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas
Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile