Clase_2

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CURSO: EL MÉTODO DE LOS 
ELEMENTOS FINITOS
TEMA II: ANÁLISIS UNI-DIMENSIONAL (ELEMENTOS BARRA)
DOCENTE: ING. JAN CARLOS PAMPA VARA
Elementos Barra
Elementos Barra
Tensiones primarias y secundarias
Elementos Barra
- Los ejes de las barras que constituyen la estructura se sitúan en el plano
medio de la viga.
- Todas las cargas exteriores están contenidas también en el plano
medio de la viga y ubicadas en los nudos
- Los ejes de las barras que forman un nudo coinciden en un punto
- Los c.d.g. de las costuras, atornilladas o soldadas, de las barras con las
- cartelas, deben coincidir con los ejes de las barras.
Hipótesis de análisis
Elementos Barra
Las cargas aplicadas al piso del puente, así como el peso del puente en sí, producen la flexión de
una cercha, como se ilustra en la figura 2.6b. la distorsión de la armadura en su conjunto resulta de
ligeros cambios en las longitudes de los diversos elementos, y en cada uno de ellos se induce una
tensión o compresión correspondiente, es decir, una fuerza axial. la tensión correspondiente a la
fuerza axial en cualquier barra se denomina tensión primaria en esa barra.
En el caso de un truss con conexiones remachadas o soldadas fig. 2.6c la flexión de la armadura en
su conjunto también induce cierta flexión de los miembros individuales debido a la rigidez de las
uniones. tal flexión de las barras de un truss superpone tensiones de flexión adicionales, que se
denominan tensiones secundarias; estos deben investigarse como un problema separado. sin
embargo, si las barras se colocan cuidadosamente de modo que sus líneas centrales se encuentren
en un punto en cada junta, encontrará que la presencia de tensiones secundarias debido a la rigidez
de las juntas no suele afectar en gran medida las magnitudes de las tensiones primarias.
Por lo tanto, al calcular este último, se puede ignorar la rigidez de las juntas y se puede suponer una
junta con pasador. De esta forma disponemos temporalmente de la necesidad de distinguir entre
cerchas con uniones remachadas y aquellas con uniones clavadas.
Incluso en el caso de un truss que realmente tiene uniones con pasadores, habrá, por supuesto, algo
de flexión de las barras debido a sus propios pesos. esta flexión, sin embargo, suele ser leve. es una
práctica común ignorarlo y reemplazar el peso distribuido de cada barra por dos fuerzas
concentradas iguales en las juntas en sus extremos; es decir, se supone que el peso de la cercha se
concentra en sus uniones.
Finalmente, entonces, para propósitos de análisis, reemplazamos una armadura física real Fig. 2.7a
por una celosía idealizada correspondiente Fig. 2.7b que consiste en un sistema de barras ingrávidas
todas colocadas en un plano y unidas en sus extremos por bisagras sin fricción a las que Se pueden
aplicar fuerzas que actúan solo en el plano de la cercha. bajo tales condiciones idealizadas, cada
barra está bajo tensión o compresión simple sin doblarse y, en consecuencia, las dos fuerzas iguales
pero opuestas que ejerce sobre los pasadores en sus extremos son colineales con el eje de la barra.
así, en cada articulación de la celosía, tenemos en equilibrio un sistema de fuerzas coplanares
concurrentes con líneas de acción conocidas, y la determinación de las magnitudes de estas fuerzas
internas constituye el análisis de la celosía. Sin embargo, antes de que podamos considerar métodos
generales de análisis de cerchas planas, primero debemos considerar la cuestión del soporte de una
cercha en su plano y el problema relacionado de determinación de reacciones inducidas en tales
apoyos.
Elementos Barra
Elementos Barra
Ecuación gobernante Ecuación constitutiva
Elementos Barra
Condiciones de contorno
Elementos Barra
Paso 1) multiplicar por una función de peso
𝜔 ∶ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜
𝒱 ∶ 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜
(Condiciones de borde Dirichlet w=0)
Elementos Barra
Paso 2) Integración por partes + Teorema de Gauss
Paso 3) Aplicación de las condiciones de borde
Elementos Barra
Forma Fuerte
Función de peso
Integración por partes
Teorema de Gauss
Forma Débil
Cuerpo Continuo
Cuerpo Continuo
Forma Fuerte
Forma Débil
Paso 1) multiplicar por una función de peso
Paso 2) Integración por partes + Teorema de Gauss
Paso 3) Aplicación de las condiciones de borde
Cuerpo Continuo
Forma Fuerte
Forma Débil
Paso 1) multiplicar por una función de peso
Paso 2) Integración por partes + Teorema de Gauss
Paso 3) Aplicación de las condiciones de borde
Cuerpo Continuo
Forma Fuerte
Forma Débil
Paso 1) multiplicar por una función de peso
Paso 2) Integración por partes + Teorema de Gauss
Paso 3) Aplicación de las condiciones de borde
Cuerpo Continuo
Forma Fuerte
Forma Débil
Paso 1) multiplicar por una función de peso
Paso 2) Integración por partes + Teorema de Gauss
Paso 3) Aplicación de las condiciones de borde
Métodos de Parámetros indeterminados
Se desea resolver: Con condiciones de borde:
Se plantea una solución de aproximación:
Esta cumple con las condiciones de borde, más no la ecuación diferencial, por lo que al sustituirla
existe un residuo
Métodos de Parámetros indeterminados
Cualquiera que sea la elección de los parámetros a,b,c no puede lograrse que el residuo 
sea cero en todos los puntos entre 0 y 1.
Eso solo hubiera sido posible si se hubiera propuesto una solución de la forma:
𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏𝑥 , ya que la solución exacta es en este caso:
𝑢 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛1
− 𝑥
Al haber propuesto una aproximación distinta, solo cabe determinar los parámetros que,
según algún criterio, minimizan los errores. A continuación se indican distintos criterios
empleados con tal fin.
Métodos de Parámetros indeterminados
Criterio de colocación
Se exige que el residuo sea cero en por lo menos tantos puntos como parámetros desconocidos
Criterio de Subregiones
En este procedimiento el medio en estudio se divide en por lo menos tantas subregiones independientes Ω𝑖 como
parámetros desconocidos, exigiéndose que la integral del residuo en cada una de las subregiones sea cero
Métodos de Parámetros indeterminados
Criterio de Mínimo Cuadrados
Con este criterio, la integral del cuadrado del residuo se minimiza respecto a los parámetros:
Métodos de Parámetros indeterminados
Criterio de Galerkin
En este caso los parámetros se determinan a partir de las ecuaciones:
donde las funciones de peso Ni son las mismas empleadas en la aproximación de la función.
Nuestro caso
Métodos de Parámetros indeterminados
En las diapositivas anteriores se han mencionado solo
algunos de los posibles criterios para determinar los
parámetros. Todos los procedimientos antes
mencionados pueden ser considerados como un caso
particular de un criterio de residuos ponderados:
Con el criterio de Galerkin las funciones de peso 𝑤𝑖, 
son las mismas Ni empleadas en la función.