identidades-5-c2a6-oct

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ÇI.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti. 
QUINTO GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 
 
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ 307 U V Q 
 
PARA SER TRABAJADO DEL 04 al 17 DE OCTUBRE 2011 
 
RAZONAMIENTO Y DEMOSATRACIÓN 
 
 Demuestra identidades trigonométricas 
 
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA 
 
 Discrimina identidades pitagóricas por cociente y reciprocas. 
 
 
 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
Para que una igualdad trigonométrica quede demostrada se debe llegar a: 
 
 una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo; o bien 
 
 a cualquiera de las fórmulas trigonométricas. 
 
 
1. R e l a c i ó n s e n o c o s e n o 
 
c o s ² α + s e n ² α = 1 
 
2. R e l a c i ó n s e c a n t e t a n g e n t e 
 
s e c ² α = 1 + t g ² α 
3. R e l a c i ó n c o s e c a n t e c o t a n g e n t e 
 
c o s e c ² α = 1 + c o t g ² α 
 
4. Identidades inversas 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Identidades pitagóricas 
Tang x = senx / cosx 
Cotg x = cosx / senx 
POR SIMILITUD CON ALGUNA FÓRMULA: 
 
PROCEDIMIENTO: Se compara la igualdad que debe demostrarse con la fórmula a la que se “parece”. Entonces el 
término que es diferente de la fórmula es el que se transforma hasta convertirlo en el correspondiente de la 
fórmula. 
 
 
 
Ejemplo 1: Demostrar que sen
2 
x + cos
2 
x = tan x cot x 
 
Demostración: La igualdad propuesta se "parece" a la fórmula (1). De manera que, por comparación, se debe 
transformar el lado derecho para convertirlo en 1. 
El siguiente esquema muestra la forma de hacer la comparación: 
 
Comparación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 2: Demostrar que tan2 x + sen2 x + cos2 x = sec2 x 
 
Demostración: La igualdad propuesta se "parece" a la fórmula (1). De manera que, por comparación, se debe 
transformar sen2 x + cos2 x en 1. 
El siguiente esquema muestra la forma de hacer la comparación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo 3 : Comprobar que: s e c ² α = 1 + t g ² α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 4: Demostrar que  sen x  cos x 
2 
 1 2sen xsec x
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: EJERCICIOS RESUELTOS, QUE TE PUEDEN APOYAR. 
Comprobar las identidades trigonométricas: 
1 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
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4 
 
 
5 
 
AHORA TÚ: 
DEMOSTRAR: 
 
a) sen x sec x = tan x 
 
 cot 2 x  1 sen2 x

 sen2 x  cos2 x  sen x csc x



d) tan2 x  sen x csc x  sec2 x 
 
 
 
 
 
 
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 tan2 x cos x  cos2 x  1


f) cos x csc x  cot x 
 
 
g) c o s e c ² α = 1 + c o t g ² α 
 
 
 
 cos θ · sec θ = 1


i) csc θ · tan θ = sec θ 
 
 
 
j) cos θ · csc θ = cot θ 
 
 
 
 
 
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APLICO LO QUE APRENDÍ 
DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES IGUALDADES: 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
 
 
 
 
 
 
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES 
 Sen4 x + cos4 x = 1 - 2 sen2 x . cos2 x 
 Sen6 x + cos6 x = 1 – 3 sen2 x . cos2 x 
 Tan x + cot x= sec x . csc x 
 Sec2 x + csc2 x = sec2 x. csc2 x 
 (tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)2 = 4 
 Sec2 x + csc2 x = sec2 x . csc2 x 
 (Sen2 x + cosx)2 + (senx – cos x)2 = 2 
APLICACIONES: UTILIZA LO APRENDIDO HASTA EL MOMENTO DE IDENTIDAES TRIGONOMÉTRICAS. 
01. Efectuar. 













 


2
2 senx
xcos1
1
xsen
xcos1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Reducir: xtanxsec
xcot
xtanxsec
xcot

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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03. Simplificar: 
 
xcos
xsen1
xsen1
xcos
xcos
xsen1 2
2
32 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Simplificar: xtan1
xsenxCos
4
44


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. Reducir, sabiendo que x  < ; 3/2> 
 
   cos1 xcos1xcos1 xcos1senx1 senx1senx1 senx1   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AHORA TÚ: 
01. Simplificar: aCsc.aSec
2acotaTan
22
22
P  
a) 1 b) 2 c) sen a d) cos a 
e) sen2a cos2a 
02. Reducir la expresión: 
 
 



Tan
)sen21CscSecCot
N
2
 
a) 0 b) 1 c) cot  d) Tan  e) Sec  
03. Reducir el valor de la siguiente expresión 
 
   
   22
222223
CosSenCosSen
cotCscSenTanSecCos
N



 
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 0 e) 4 
04. Simplificar: 
 22
4444
Sec.Csc
CscSecCscSecB
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) Sen Cos  e) Sen2  cos2  
05. Reducir la expresión: 
   
   

 222222
2222
CotCscSenTanSecCos
Tan1Coscot1Sen
F
 
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 0 
 6. Hallar el valor de “k” para que la igualdad sea una identidad. 
 
  k1
k1
TanSec
1TanSec
2
2




 
a) sen  b) cos c) tan  
d) sec  e) csc  
 
7. Simplificar la expresión: 
 V = Sen6  + Cos6  - 2 Sen4  - Cos4  + Sen2  
 
 
 
 
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 a) 0 b) 1 d) 2 d) 3 e) –1 
8. Efectuar: 
 

SecTan
1
SecTan
1P 
 
9. Reducir la expresión: 
 xcosxcscA
2
xcossenx
xcosxcsc1 23 


 
10. Encontrar una expresión igual a: 
 
 
asecacos
acscsenaM

 
11. La expresión: 


2
2
csc1
sec1
 es idéntica a: 
 
 a) Ctg2  b) tg2  c) tg3  
 d) Tg4  e) ctg3  
12. Al simplificar la expresión: 
 
 1E
xcscCtgx
)xcscctgx(xSen 2



 ; se obtiene: 
 
 a) cosx + cos2 x b) 2cosx – cos2 x 
 c) 2 – sen2 x d) 2 
 e) 2 cosx + sen2 x