IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

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Versión: Agosto 2015 
Revisor: Felipe Rendón 
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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
	
  Identidades	
  trigonométricas	
  
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
 
 
 
Cuando se habla de una identidad se dice que dos 
expresiones son iguales. Por lo tanto, si se refiere a una 
identidad trigonométrica, entonces se dice que dos 
expresiones que están formadas por expresiones 
trigonométricas son iguales. 
 
 
 
Existen varias identidades que ya están definidas y que se utilizan para poder hacer comprobaciones o 
simplificaciones de identidades más complejas. Estas simplificaciones además de utilizar las identidades 
básicas necesitan de las habilidades algebraicas que permiten hacer manipulaciones de las mismas para 
lograr una expresión que se pueda manejar más fácilmente. 
 
 
Identidades	
  trigonométricas	
  básicas	
  o	
  fundamentales	
  
 
Las identidades trigonométricas básicas son fundamentales para la comprobación de otras identidades. 
Éstas se usarán de manera continua en este Módulo porque aparecen con frecuencia en áreas como la 
mecánica, la electrónica y la óptica, entre otras. 
 
Las identidades trigonométricas básicas o fundamentales se pueden clasificar en: 
 
 
Figura 1. División de las identidades básicas o fundamentales. 
Identidades 
trigonométricas 
básicas o 
fundamentales 
Recíprocas De razón Pitagóricas 
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Identidades	
  trigonométricas	
  recíprocas	
  	
  
 
¿Recuerdas que ya conoces las funciones trigonométricas recíprocas? 
 
Las utilizaste para poder calcular los valores de las funciones cotangente, secante y cosecante por medio 
de la calculadora en el Bloque 2. 
 
Ahora, recuerda ¿en qué se parecen la función tangente y la función cotangente? 
 
Tangente Cotangente 
 
 
Al observar estas funciones trigonométricas puedes apreciar que son 
recíprocas entre sí porque dos números son recíprocos si al 
multiplicarse son iguales a la unidad. 
 
Multiplica la tangente y la cotangente para verificar su reciprocidad. 
 
 
 
 Tabla1. Definición de función recíproca. 
 
 
En la tabla 2 se muestra la reciprocidad que existe entre las funciones trigonométricas. 
 
Funciones trigonométricas 
𝑠𝑒𝑛 𝐴 =
𝑐𝑜
ℎ
 
 𝑐𝑠𝑐 𝐴 =
ℎ
𝑐𝑜
 
𝑐𝑜𝑠 𝐴 =
𝑐𝑎
ℎ
 
 𝑠𝑒𝑐 𝐴 =
ℎ
𝑐𝑎
 
𝑡𝑎𝑛 𝐴 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
 
𝑐𝑜𝑡 𝐴 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
 
 
Esto implica que: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝐴 ∗ csc 𝐴 = 1 
𝑐𝑜𝑠 𝐴 ∗ sec  (A) = 1 
𝑡𝑎𝑛 𝐴 ∗ cot 𝐴 = 1 
 
Tabla 2. Funciones trigonométricas. 
==
ca
coF)tan( ==
co
caF)cot(
( )( )
( )( )
1==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
coca
caco
co
ca
ca
co
es recíproca de 
es recíproca de 
es recíproca de 
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A estas tres expresiones se les llama identidades recíprocas y dependiendo de qué función se requiera se 
pueden derivar varias expresiones al realizar los despejes. 
	
  
	
  
Identidades	
  trigonométricas	
  de	
  razón	
  	
  
	
  
Estas identidades surgen a partir de la función trigonométrica tangente y su definición. 
 
Si en la función trigonométrica divides tanto el numerador como el denominador entre la 
hipotenusa obtendrás las relaciones seno y coseno, de tal forma que: 
 
 
y como 
h
coAsen =)(
 
y 
 
 
 
Por lo tanto: 
 
 
 
De la misma forma: 
 
 
 
 
A estas dos identidades se les denomina identidades de razón. 
 
 
 
 
 
	
  
	
  
	
  
ca
coA =)tan(
h
ca
h
co
A =)tan(
h
caA =)cos(
)cos(
)()tan(
A
AsenA =
)(
)cos()cot(
Asen
A
h
co
h
ca
A ==
 y 
 
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Identidades	
  trigonométricas	
  pitagóricas	
  
	
  
Como su nombre lo indica, dichas identidades están basadas en el Teorema de Pitágoras. 
¿Lo recuerdas? 
 
 
 
La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del 
cuadrado de los catetos. 
 
 
 
 
 
 
 
Una igualdad no se altera siempre y cuando los dos lados de la igualdad se dividan entre la misma 
cantidad (propiedades de la igualdad). 
 
Las identidades pitagóricas surgen de las relaciones que resultan al dividir el Teorema de Pitágoras 
entre cada uno de los elementos. 
 
La tabla 3 muestra cómo se obtienen estas identidades. 
 
 
Teorema de Pitágoras 
222 cacoh += 
Esto implica que Se obtiene la identidad 
trigonométrica pitagórica 
 
Si se divide entre la hipotenusa 
al cuadrado 
 
2
2
2
22
2
h
ca
h
co
h
h
+=
 
 
22
1 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
h
ca
h
co
 
 
Sustituyendo las funciones 
trigonométricas: 
 
h
coAsen =)(
 y h
caA =)cos(
 
 
 
 
 
 
)(cos)(1 22 AAsen += 
 
 
 
2h
 
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Si se divide entre el cateto 
opuesto al cuadrado 
 
 
 
 
22
1 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
co
ca
co
h
 
 
Sustituyendo las funciones 
trigonométricas: 
co
hA =)csc(
 y co
caA =)cot(
 
 
 
 
 
 
)(cot1)(csc 22 AA += 
Si se divide entre el cateto 
adyacente al cuadrado 
 
 
 
 
1
22
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ca
co
ca
h
 
 
Sustituyendo las funciones 
trigonométricas: 
ca
hA =)sec(
 y 
 
 
 
 
 
 
 Tabla 3. Identidades pitagóricas. 
 
 
Con estas identidades trigonométricas básicas puedes realizar simplificaciones y demostraciones. 
 
Es muy común que después de haber realizado operaciones con expresiones trigonométricas se 
presenten expresiones muy extensas o complicadas, por lo que se recurre a las identidades 
trigonométricas para hacer una simplificación y de esta forma realizar los cálculos más fácilmente, pero 
¿cómo puedes hacer una simplificación o una demostración? 
 
Te sugiero que tomes en consideración los pasos que aparecen en la figura 2; sin embargo, 
dependiendo de tu habilidad para manejar las identidades puedes ir creando tu propia estrategia. 
 
 
2co
2
2
2
22
2
co
ca
co
co
co
h
+=
2ca
2
2
2
22
2
ca
ca
ca
co
ca
h
+=
ca
coA =)tan(
1)(tan)(sec 22 += AA
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Figura 2. Pasos para demostrar o simplificar una identidad trigonométrica. 
 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos. 
 
Ejemplo 1 
 
Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométrica. 
 
 
 
Solución 
 
Comienza por elegir el lado izquierdo, donde se presenta una multiplicación y demuestra que el 
producto de las dos funciones es igual a la tangente. 
 
)tan()sec()( AAAsen = 
 
De la identidad recíproca: 
 
 Despeja la secante: )cos(
1)sec(
A
A =
 
 
 
Sustitúyela en el lado izquierdo de la ecuación. 
 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
)cos(
1)()sec()(
A
AsenAAsen
 
1) Elige el lado de la identidad 
que te parezca más fácil 
manejar.
2) Realiza las operaciones 
que se indican (sumas, restas, 
multiplicaciones, divisiones, 
productos notables, etcétera). 
3) Recuerda que puedes 
aplicar las leyes del álgebra, 
pero debes respetar las 
identidades trigonométricas.
4) En algunos casos es más 
sencillo si conviertes las 
funciones trigonométricas a 
senos y cosenos. 
)tan()sec()( AAAsen =
1)sec()cos( =AA
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 Al efectuar la multiplicación: 
 
 
 Si observas la identidad de razón: )cos(
)()tan(
A
AsenA =
 
 
 Puedes comprobar que: 
 
 
)tan(
)cos(
)()sec()( A
A
AsenAAsen ==
 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométrica. 
 
)(cot))(1)((csc 222 AAsenA =− 
 
Solución 
 
Toma el lado izquierdo de la identidad y efectúa las operaciones. Luego observa que es la multiplicación 
de un monomio por un polinomio. 
 
 
 
De las identidades recíprocas, tienes que 
 
 Si despejas la cosecante )(
1)csc(
Asen
A =
 y sustituyes en el segundo término. 
 
)(
)(
1)(csc)()(csc)(csc 2
2
2222 Asen
Asen
AAsenAA ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=−
 
 
 Al realizar las operaciones: 
 
 
)cos(
)()sec()(
A
AsenAAsen =
)()(csc)(csc))(1)((csc 22222 AsenAAAsenA −=−
1)()csc( =AsenA
)(
)()(csc)(
)(
1)(csc 2
2
22
2
2
Asen
AsenAAsen
Asen
A −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
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 De la identidad pitagórica: 
 
 Despeja la cotangente: )(cot1)(csc
22 AA =− 
 
 Puedes demostrar que: 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométrica. 
 
 
 
 
Solución 
 
Al tomar el lado izquierdo de la ecuación y desarrollar el binomio al cuadrado, obtienes la siguiente 
expresión. 
 
 
 
Observa que dentro del paréntesis se tienen tres términos, los cuales se pueden reacomodar para 
obtener la identidad pitagórica: 
 
Al reacomodar la expresión anterior: 
 
 
 
 
1)(csc
)(
)()(csc 22
2
2 −=− A
Asen
AsenA
)(cot1)(csc 22 AA +=
)(cot1)(csc))(1)((csc 2222 AAAsenA =−=−
)(2
)cos(
))()(cos(1 2 Asen
A
AsenA
=
−−
( )
)cos(
)()()cos(2)(cos1
)cos(
))()(cos(1 222
A
AsenAsenAA
A
AsenA +−−
=
−−
)(cos)(1 22 AAsen +=
( )
)cos(
)()cos(2)(cos)(1
)cos(
))()(cos(1 222
A
AsenAAAsen
A
AsenA −+−
=
−−
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Al sustituir la identidad pitagórica: 
 
 
 
Quita el paréntesis, pero toma en cuenta que los signos de los términos que se encuentran dentro de él 
cambiarán. 
 
 
 
Al realizar las operaciones del numerador: 
 
 
 
Simplifica el coseno del numerador con el coseno del denominador: 
 
 
 
Con ello puedes demostrar que la identidad es verdadera. 
 
 
 
 
Además de las identidades trigonométricas básicas existen otras identidades trigonométricas que 
permiten relacionar los ángulos (como sumas, restas, multiplicaciones o productos), ángulos dobles o 
semiángulos, entre otras. 
 
 
 
 
 
 
)(cos)(1 22 AAsen +=
( )
)cos(
)()cos(211
)cos(
))()(cos(1 2
A
AsenA
A
AsenA −−
=
−−
)cos(
)()cos(211
)cos(
))()(cos(1 2
A
AsenA
A
AsenA +−
=
−−
)cos(
)()cos(2
)cos(
))()(cos(1 2
A
AsenA
A
AsenA
=
−−
)(2
)cos(
))()(cos(1 2 Asen
A
AsenA
=
−−
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  Bibilografía	
  
Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (2ª. ed.; M. C. Ruiz, Trad.). 
México: McGraw-Hill. 
Baley, J. & Sarell, G. (2004). Trigonometría (3ª. ed.; Á. C. González, Trad.). México: 
McGraw-Hill. 
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill. 
Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica 
(10ª. ed.; H. Villagómez, Trad.). México: International Thomson.