Lenguaje algebraico

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Matemáticas Aplicadas 3ºESO 
Unidad 2 
 
 
LENGUAJE 
ALGEBRAICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INDICE DE CONTENIDOS 
 
1. Expresiones algebraicas 
1.1. Traducción de enunciados 
1.2. Valor numérico de una expresión algebraica 
 
2. Monomios 
2.1. Elementos de un monomio 
2.2. Operaciones con monomios 
 
3. Polinomios 
3.1. Operaciones con polinomios 
 
4. Factorización de polinomios I 
4.1. Factores comunes 
4.2. Identidades Notables 
4.3. Regla de Ruffini: Caso particular de división polinómica 
5. Factorización de polinomios II 
 
 
 
 
 
CONTENIDOS DE LA UNIDAD 
 
 
RESULTADO DE APRENDIZAJE 
IMPRESCINDIBLE 
o Expresiones algebraicas. 
Traducción de situaciones del 
lenguaje verbal al algebraico. 
 
o Monomios. Polinomios. Raíz de un 
polinomio 
 
o Realización de operaciones con 
polinomios: suma, resta, producto 
y división. Regla de Ruffini. 
 
o Identidades notables. 
 
 
o Factorización de un polinomio con 
raíces enteras utilizando Ruffini y 
las identidades notables. 
 
 
1. Traducir situaciones del lenguaje 
verbal al algebraico. 
 
2. Operar con expresiones 
algebraicas: suma, resta, producto y 
división. 
 
3. Conocer y utilizar las identidades 
notables. 
 
4. Factoriza polinomios determinando 
susraíces enteras mediante el uso 
combinadode la regla de Ruffini, 
identidades notablesy extracción del 
factor común. 
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Curso 2018/2019 Unidad 2. Lenguaje algebraico 
 
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Para comenzar… 
 
EL MAGO:PIENSA UN NÚMERO……. multiplícalo por 6……súmale doce…….divídelo por 
tres…..réstale dos…..dime el resultado para averiguar el número que pensaste. 
 
 
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
El lenguaje numérico expresa la información matemática a través de los números, pero en algunas 
ocasiones, es necesario utilizar letras para expresar números desconocidos. 
 
El lenguaje algebraico expresa la información matemática mediante letras y números. 
 
 
 Así, x+2 es una expresión algebraica formada por la letra x, el signo + y el número 2. Esta
 expresión algebraica puede leerse como un número más dos. 
 
Para escribir una expresión algebraica debes tener en cuenta que puedes sustituir el signo x de 
lamultiplicación por el signo · o bien puedes suprimirlo: 
 3 x x23 · x23x2 
 
y también que no se suelen escribir ni el factor 1 ni el exponente 1. 
 
 1x5 = x5 8x1 = 8x 
 
Ejemplos: 
- Extraemos 3 bolas de una vasija que contiene x bolas. La expresión algebraica que da el 
número de bolas que quedan es x – 3. 
 
- Un coche da 3 vueltas a un circuito de longitud l kilómetros. La expresión algebraica que 
indica el espacio que recorre es 3l. 
 
1.1. TRADUCCIÓN DE ENUNCIADOS 
 
Como hemos visto el lenguaje algebraico permite expresar operaciones con números 
desconocidos. 
Así, se puede representar la suma de dos números como x+y el triple de la suma de dos 
números como 3(x+y). 
De esta forma se realiza una traducción de enunciados a lenguaje algebraico. 
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Así mismo mediante la traducción de enunciados se pueden expresar números desconocidos en 
términos de otros. 
 
 
 
1.2. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
 
Las expresiones algebraicas indican operaciones con números desconocidos. 
 
Ejemplo: 
 Si un operario cobra 15 € por el desplazamiento y 20 € por cada hora, la expresión 
 algebraica 15 + 20x indica el importe que cobrará por un número desconocido x de horas 
 de trabajo. Y si queremos averiguar cuánto cobrará por trabajar 2 horas sustituiremos x por 
 2. 
 
Observa: 
15+20x y entonces, para x=2 se tiene 15+20·2=15+40=55 euros. 
De esta forma hemos hallado el valor numérico de 15 + 20x para x = 2 y hemos obtenido 55. 
 
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras 
por números y realizar las operaciones indicadas 
 
Ejemplos: 
1) El valor numérico de 3x3-5x2 para x = 2 es 3·23-5·22= 3·8-5·4=24-20=4 
2) Si el precio de alquiler de un coche es de 78 € diarios más 0,12 € por km recorrido, la 
expresión algebraica 78x+0,12y indica el importe que se debe pagar por alquilar x días un 
coche y recorrer y km. 
3) Podemos hallar el importe que se debe pagar por alquilar un coche 2 días y recorrer 400 
km sustituyendo la x por 2 y la y por 400. 
 Observa: 
 78·2+0,12·200=156+24=180 Se deberán pagar 180 €. 
 
Ejemplos : 
- Si la edad de Juan es x y Lola tiene el triple de la edad de Juan más cuatro años, 
se puede expresar la edad de Lola como 3x+4 y si Pedro tiene el doble de la 
edad de Lola, se puede expresar la edad de Pedro como 2(3x+4). 
 
- Si Juan tiene x libros y Ana tiene el doble de los libros que tiene Juan más 5 se 
puede expresar el número de libros que tiene Ana como 2x+5. 
 
- Si el precio de un lápiz es x euros y el de un bolígrafo y euros, el precio de 5 
lápices y 3 bolígrafos se puede expresar como 5x+3y. 
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 Ejercicio 1: Escribe en lenguaje algebraico: 
a) El doble de un número más tres. 
b) El cuadrado de un número menos cinco. 
c) El doble de un número más el triple del mismo número. 
 
 Ejercicio 2: Escribe una expresión algebraica que de: 
a) El perímetro de un triángulo equilátero de lado x . 
b) El perímetro de un rectángulo de base x cuya altura mide 1 cm menos que su base. 
c) El área de un rectángulo de base x cuya altura mide 6 cm menos que su base. 
 
 Ejercicio 3:Escribe utilizando el lenguaje algebraico las siguientes afirmaciones 
a) El doble de un número. 
b) La mitad de un número. 
c) La décima parte de un número. 
d) Un número más su cuarta parte. 
e) El triple de un número más el doble de otro. 
f) La quinta parte de un número. 
g) La suma de dos números es 15. 
h) La mitad de un número más el triple de otro. 
i) La diferencia de dos números. 
j) El producto de dos números. 
k) El doble de un número dividido de otro. 
l) La mitad de la suma de dos números. 
m) La sexta parte de un número más su cuadrado. 
n) Un número más su quinta parte es 7. 
o) La diferencia de dos números es el doble de otro. 
p) El producto de tres números es 0 . 
q) La diferencia de dos números es 100 . 
r) El triple de un número es el doble de otro. 
s) La séptima parte de un número es 87 . 
t) Dos números se diferencian en 3 unidades. 
u) El cuadrado de un número más el doble del mismo número. 
v) El cubo de un número menos la mitad de otro número. 
w) Un número más su siguiente es el cuadrado de dicho número. 
x) La suma de los cuadrados de dos números. 
y) La diferencia de un número y de su cuadrado. 
z) El cuadrado de la suma de dos números. 
 
 Ejercicio 4:Calcula el valor numérico en cada caso: 
a) 4x2y -2x para x= 3 , y=-2 b) 
3𝑥+𝑧 
(𝑦+4)3
 para x=-4, z= 6, y = -2 c) 5𝑥3 - 4 𝑥 -10 para x= -1 
 
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2. MONOMIOS 
 
Un monomio es una expresión algebraica donde las operaciones entre las variables son productos 
y potencias de exponente natural. 
 Ejemplo: 2x2y3z es un monomio. 
 
2.1. ELEMENTOS DE UN MONOMIO: 
 
 Coeficiente:El coeficiente de un monomio el número que multiplica a la/las variable/s. 
 Parte literal: La parte literal está formada por las variables (letras) y sus exponentes. 
 Grado:El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus letras o 
variables. 
 Ejemplo: El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6 
 
2.2. OPERACIONES CON MONOMIOS 
 
Monomios semejantes: Dosmonomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 
 Ejemplos:2x2y3z es semejante a 5x2y3z 
 2𝑥2es semejante a -𝑥2 
 
 Nota: El opuesto de un monomio tiene distinto signo. 
 Ejemplos: El opuesto de 5y es -5y. El opuesto de 3𝑥2 es -3𝑥2 
 
 
SUMA DE MONOMIOS 
Para poder sumar monomios, deben ser semejantes. 
La suma de dos monomios es otro monomio cuya parte literal es la misma y el coeficiente es la 
suma de los coeficientes. 
 Ejemplos: axn + bxn = (a + b)xn 
 2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z 
 
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La suma de dos o más monomios no semejantes es un polinomio. 
 
 Ejemplos: 2x2 y3 + 3x2 y3 z es un polinomio -x3 +3x2 –x +6 es otro polinomio 
 
 
PRODUCTO DE MONOMIOS 
El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los 
coeficientes y cuya parte literal es el producto de las potencias de las partes literales. 
 
Ejemplos: axn · bxm = (a · b)(xn · x m) = (a · b)xn + m 
 (5x2 y3 z) · (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3 
 
DIVISIÓN DE MONOMIOS 
La división de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes 
y la parte literal es el cociente de las potencias de igual base. 
 Ejemplos:axn :bxm = (a : b) (xn : x m) = (a : b)xn – m 
 
Si el grado del divisor es mayor que el grado del dividendo, se obtiene una fracción algebraica. 
 Ejemplo: 
 
 
POTENCIAS DE MONOMIOS 
Para calcular la potencia de un monomio, cada elemento del monomio es elevado al exponente 
de la potencia. 
 Ejemplos: (axn)m = am · xn · m (2x3)3 = 23 · (x3)3 = 8x9 
 
 (−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3 = −27x6 (2x4 y3) = 25 · (x4)5 · (y3)5 =32x20y15 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 Ejercicio 5:Completa la tabla: 
 
Monomio Coeficiente Parte literal Variables Grado Semejante Opuesto 
-6x7 -6 x7 x 7 8x7 6x7 
3x2y3 
 
5
3
 a4b7 
 zyx
4
1 25 
 2 -8abc3 
-x2 
 
 
 1 3x 
 
 Ejercicio 6: Simplifica realizando las siguientes operaciones, agrupando cuando sea posible: 
a) 2x2 + 3x2 - 7x2 + 8x2 – x2 = 
b) 5xy3 – 2xy3 + 7xy3 – 3xy3 + 12xy3 = 
c) 3abc – 2abc + 6abc + 9 abc – 4abc = 
d) 5xz – 3xz + 15xz – 11xz + 8xz – 3xz = 
e) (2xyz) · (2x2yz3) = 
f) (-2abc) · (3a2b2c2)·(-bc) = 
g) 7x·(2xy) · (-3xy5)·(xy) = 
h) (6ac3) · (-2a2c3) · (-3ac)·(-4a3c2) = 
i) (21x2y3) : (7xy2) = 
j) (9abc) : (3bc) = 
k) (16x4y5a3b6) : (8x2y3a2b5) = 
l) (5m3n2g4) : (2mng) = 
m) 
12𝑥5𝑦4𝑧
4𝑥2𝑦𝑧
 
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n) 
5𝑥2𝑦3
10𝑥2𝑦𝑧
 
 Ejercicio 7: Simplifica realizando las siguientes operaciones, agrupando cuando sea posible. 
a) 2x2 -5(-x2) + 8x2 – (2x) · (3x) = 
b) 2x · (-y) + (7xy – yx + (-4x) · (-5y) = 
c) 3x2 –(-x)2 + 3(-x2)+(-3)·(-x2) = 
d) (2xy – 3xy + 7xy) · (2ab) = 
e) (x2 – 3x2 + 6x2 – 2x2)·(-5zx) = 
 
 Ejercicio 8: Simplifica realizando las siguientes operaciones, agrupando cuando sea posible. 
a) P(x) = -x2 – x – 2 – x3 + x2 – x – 2 = 
b) Q(x) = -x2 + x2 + 6 –x + x2 -7x -2 = 
c) R(x) = x + 1 – x + x2 = 
d) S(x) = 8 – x + 34 – x + 324 = 
e) T(x) = x4 + x4 – x3 + x2 – 7x – 2 = 
f) U(x) = 
2
1
x2 – x - 
6
1
- 
7
2
x2 = 
 
3. POLINOMIOS 
 
Un polinomio es un monomio o la suma de varios monomios no semejantes. 
Cada monomio es llamado término del polinomio, y el término que no tiene parte literal es 
llamado términoindependiente. 
 
¡Importante!: Los términos están separados por signos de suma o resta, nunca por signos de 
multiplicación. 
 
Un polinomio con un solo término es llamado monomio. 
Un polinomio con dos términos es llamado binomio. 
Un polinomio con tres términos es llamado trinomio. 
 
Los términos se suelen escribir en orden descendente según su grado, y el grado del polinomio es 
el grado del término de grado mayor. 
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El opuesto de un polinomio, P(x), es obtenido cambiando el signo de todos los términos del 
polinomio, y se escribe – P(x). 
 Ejemplo: Completa la tabla: 
 
Polinomio Grado Variables 
Término 
independiente 
Opuesto 
P(x,y) = -2x5 - x2y2 + 5x3 – 1 + 3x3 + 3 
Q(x,y) = x2 + 4x3 – x – 9 + 4x4y3 
R(x,y) = x9 - x7y3 + y13 -4 
S(x,y,z) = 7x2yz - 3xy2z + 8xyz2 
U(x) =
6
1
xx
2
1 2  
 
 
3.1. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO. RAÍCES 
 
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO. EVALUACIÓN DE UN POLINOMIO. 
Evaluar un polinomio es encontrar el valor numérico de un polinomios cuando las variables (x, y, 
…) son reemplazadas por algún número. 
 Ejemplos: 
4) Evaluar P(x) = 2x3 + 5x − 3 en x = 1 
 P(1) = 2 · (1)3 + 5 · (1) − 3 = 2 + 5 - 3 = 4 
5) Calcula el valor numérico (evalúa) P(x) = 3x6 + 2x5 – 3x4 - x2 + 7x - 2 cuando x=0 
 P(0) = 3(0)6 + 2(0)5 - 3(0)4 - (0)2 + 7(0) - 2 = -2 
 
6) Evalúa Q(x,y)= -x4y - x2y + 7xy - 2cuando x = 1 e y = 2 
 Q(1,2) = - (1)4(2) - (1)2(2) + 7(1)(2) - 2 = -2-2 + 14 – 2 = 8 
 
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Un valor a es llamado raíz o cero de un polinomio si su valor numérico es cero. Es decir, 
P(a) = 0 
 Ejemplos : 
7) Dado P(x) = x2 – 5x + 6 , a = 2 es raíz o cero de P(x) porque 
 P(2) = (2)2–5·(2)+6 = 4-10+6 = 0 
8) Comprueba si los valores -1 y 1 son raíces del polinomio P(x) = x2 -1. ¿Podemos encontrar
 alguna raízmás del polinomio? 
 
 Ejercicio 9 : Reduce agrupando términos semejantes, y entonces calcula el valor numérico 
cuando x = 2 
 
a) P(x) = 4 – 3x2 + x – x2 +1 b)Q(x) = x4 – 4- 3x2 + x – x2 + 1 – 3x4 - 3x 
 
 Ejercicio 10: Encuentra el valor de a para el que el polinomio P(x) = 2x2 – ax + 1 cumpla que 
P(2) = 5. 
 
 Ejercicio 11: Sabiendo que P(1) = 6, encuentra el valor del parámetro K en cada caso. 
 
a) P(x) = kx7 + x3 +3x + 1 d) P(x) = kx6 – kx3 + kx + k 
b) P(x) = kx4 + kx3 + 4 e) P(x) = K 
c) P(x) = 9x5 + kx2 + kx – k 
3.2. OPERACIONES CON POLINOMIOS 
 
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS 
Para sumar o restar polinomios debemos agrupar términos semejantes. 
 Ejemplo:(podemos sumar o restar vertical u horizontalmente) Suma y resta los polinomios 
 
 P(x) = 2x3 - 3x2 + 4x +1 y Q(x) = -x3 + x2 
 
 
12 
 
 
 
PRODUCTO DE POLINOMIOS 
Para multiplicar polinomios, primero multiplicamos cada monomio de un polinomio por todos los 
monomios del otro, y entonces, sumamos los polinomios obtenidos (podemos multiplicar vertical 
u horizontalmente). 
Ejemplos: 
 
 
 COCIENTE DE POLINOMIOS 
Al dividir dos polinomios P(x) y Q(x), usando el algoritmo de la división, obtenemos otros dos 
polinomios, C(x) y R(x), que verifican: 
 
 
 
 
Los polinomios P(x), Q(x), C(x) y R(x) son llamados dividendo, divisor, cociente y resto, 
respectivamente. 
 
P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) dondeGrado de R(x) < Grado de Q(x) 
 
 
 Ejemplo: Dividir P(x) = 4x3 + 2x2 – 4x + 3 por Q(x) = 2x2 – x +1 
 
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 Ejercicio 12: Calcula la suma, la diferencia y el producto de los siguientes pares de polinomios. 
a) R(x) = x3 – x + 1; S(x) = x2 + 1 
b) R(x) = x2 + x – 1; S(x) = 3x – 4 
c) R(x) = 2x2 + 7x +14; S(x) = -3x2 -12 
 
 Ejercicio 13: Calcula –A(x) + B(x) y -A(x) – B(x) con los polinomios: 
A(x) = 3x4 – 5x3 + x2 – 7 
B(x) = -3x4 + x3 -2x +1 
 
 Ejercicio 14: Encuentra el valor de a para que (3x3 + 2x2 – 4)· a = 6x5 +4x4 – 8x2 
 
 
 Ejercicio 15:Calcula: 
a) (x - 1) : x 
b) (x2 -1) : (x-1) 
c) (x2 – 5x + 6) : (x-2) 
d) (x2 – 5x + 6) : (x-3) 
e) (x3 – 3x2 + 2x) : x 
f) (2x3 – 3x2 + 4x -3) : (x2 + x + 1) 
g) (6x4 + +4x3 – 8) : (2x2+2) 
 
 Ejercicio 16: Encuentra el resto de la siguiente división, sin realizar esta operación división. 
Dividendo 
Divisor 
Cociente 
 
 
 Ejercicio 17: Realiza la siguiente división y comprueba que está bien realizada. 
(x3- 4x2 + 5x – 2 ) : (x2 -2) 
 
 Ejercicio 18: Dados los polinomios: 
 
 Calcula: 
a) P(x) – R(x) – Q(x) = 
b) P(x) – [R(x) - Q(x)] = 
14 
 
c) [2P(x) - R(x)] – [3Q(x) – S(x) ] = 
d) R(x) · S(x) = 
e) [S(x) – 2P(x)] · R(x) = 
 
 Ejercicio 19: Encuentra el polinomio que tenemos que sumar P(x) = x2 + 2x – 1 para obtener 
como suma R(x). 
a) R(x) = x – 1 
b) R(x) = 2x2 – 5x + 7 
c) R(x) = x3 – x2 
 
 Ejercicio 20:Calcula: 
a) (-3x2 +7x2 - x) : 2x 
b) (x3 + x2 + x + 1) : (x + 1) 
c) (x2 – 5x + 6) : (2x - 3) 
d) (x3 – 5x2 + 6) : (x - 3) 
e) (x4 – 4x2 + 4) : (x2 + 2) 
f) (x3 – 3x2 + 4x -3) : (2x2 + x + 1) 
 
 
4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS I 
 
De manera general factorizar un polinomio es ponerlo como producto de polinomios de menor 
grado, vamos a ver algunas técnicas que nos permiten hacer esto. 
 
4.1. FACTORES COMUNES 
 
Sabemos que los números se pueden expresar como producto de factores. 
Recordemos que los números primos tienen sólo dos divisores, el mismo número y el 1. Por 
ejemplo: 30 = 2 · 3 · 5; 45 = 3 · 3 · 5; 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 
 
Factores comunes y máximo común divisor. 
Recordemos que los factores comunes de varios números son aquellos números que son factores 
de dos o más números. El máximo común divisor (MCD) de varios números es el mayor de los 
factores comunes. 
Los productos algebraicos también están compuestos de factores. Podemos encontrar el máximo 
común divisor de un grupo de productos algebraicos. 
 
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 Ejercicio 21: Encuentra el MCD de: 
a) 18 y 27. b) 50 y 75. c) 25 y 15. d) 98 y 42. e) 32 y 36. f) 48 y 84. 
 
 Ejercicio 22: Encuentra el factor desconocido: 
 
a) 4 · hh= 8x c) 5 · hh= 15y e) 3 · hh= 9a2 g) 3x2 · hh= 12x2 i) hh· 7y= 7y2 
b) hh· 3a= 6a3 d) hh· 2a= - 8a f) p · hh= - pq h) 8s · hh= - 24st 
 
 Ejercicio 23: Encuentra el MCD de: 
a) 4x y 8 b) 7x y 9 c) 3a y a d) 5b y 15 e) 8c y - 24c f) 18b y 27b 
g) 6d y - 15d h) 5t2 y 25t i) 9a2by 18ab2 j) 6abc, 8ab y 12bc k) 16x2z y 24xz2 
 
 
APLICACIÓN DE LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA 
En este nivel de factorización vamos a utilizar la propiedad distributiva que de manera general se 
escribe: 
 
 a·(b+c)= a·b +a·c 
 
Factorizar es escribir una expresión como producto de factores. Factorizar es el proceso contrario 
a expandir. 
 expandir 
 
Ejemplo : 5(x-1) = 5x-5 
 
 contraer 
 Ejercicio24: Copia y completa: 
a) 3x + 6 = 3 (x + …..) c) 16 – 4b = 4 (…… - b) e) 6p2 – p = p (6p - ……) 
b) 4a – 8 = 4 (a - ……) d) 14x + 21 = 7 (…… + 3) f) 15x2 + 10x = 5x (…… + 2) 
 Ejercicio 25: Copia y completa: 
a) 6a + 12 = 6 (…… + ……) d) 3b – 3 = 3 (…… - ……) g) 9 + 3c = 3 (…… + ……) 
b) 16d -12 = …… (4d - ……) e) 15xy + 20y = ……(3x + 4) h) 12y – 18y2 = 6……(2 - ……) 
c) 3xy – xy2 =……(3 - ……) f) 5xy – yz = y (…… - ……) 
 Ejercicio 26: Factoriza completamente: 
a) 2x – 4 = b) 11a + 11b = c) x – xy = d) 9x – 27 = e) 2xy – yz = 
f) 12x – 8xy = g) x2 + 5x = h) 7x3 – x2 = i) x2y – xy2 = j) 2x2 – 8x – 4x3 = 
k) -2x + 4 = l) -15 + 3b = m) -8c2 – 6cd = n) -22c2 – 33c = 
16 
 
 ñ) 4(x+1) + x (x+1) = o) 5(x-3) + x(x-3) = p) 3(x+7) – x(x+7) = 
q) c(2+x) – b (2+x) = r) (x-5)(x+2) – 7(x+2) = s) (x-9)2 + 3(x-9) = 
 
4.2. IDENTIDADES NOTABLES 
 
DIFERENCIA DE CUADRADOS (a+b) · (a - b) = a2 – b2 
 
 
 
 Ejercicio 27: Factoriza completamente utilizando la diferencia de cuadrados: 
a) c2 – d2 = f) m2 – n2 = k) n2 – m2 = o) a2 – b2 = s) x2 – 16 = 
b) x2 – 36 = g) a2 – 25 = l) 4x2 – 1 = p) 4b2 – 25 = t) 9y2 – 16 = 
c) 49 – c2 = h) 9 – 4y2= m) x4 – x2 = q) x3y – xy3 = u) 49a2 – b2 = 
d) y2 – 36x2 = i) 9x2 – 25y2 = n) 9a2 – 16b2 = r) b2 – 81c2 = v) b2c2 – 4 = 
e) 36x2 – p2q2 = j) 16b2 – 25b2c2 = 
 
 Ejercicio 28:Factoriza completamente, sacando previamente factor común si es posible, y 
después utilizando la diferencia de cuadrados: 
a) 3x2 – 12 = c) 2b2 – 50 = e) 4x2 – 25 = g) 900 – 9b2 = 
b) 48 – 3b2 = d) πR2 – πr2 = f) 10 – 10x2 = h) p3 – p4 = i) x3 – x = 
 (opcional) Ejercicio 29:Factoriza completamente utilizando la diferencia de cuadrados: 
a) (x+3)2 – 4 = 
b) (x-2)2 – 25 = 
c) 16 – (x+1)2 = 
d) 36 – (x-3)2 = 
e) (x+4)2 – 1 = 
f) 1 – (x-4)2 = 
g) 4(x+1)2 – 9 = 
h) 81 – 16(x+1)2 = 
 
Expandiendo el producto (a+b) · (a - b) = a2 – ab +ab – b2 = a2 – b2. 
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17 
 
CUADRADOS PERFECTOS 
Cuadrado de una suma y cuadrado de una diferencia 
 Sabemos que: 
(a+b)2 = (a+b) · (a+b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 
(a-b)2 = (a-b) · (a-b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2 
 
Expresiones como a2 + 2ab + b2 y a2 
 2ab + b2, son considerados cuadrados perfectos, ya que se pueden factorizar como el producto 
de dos factores idénticos. 
 a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 Cuadrado de una suma 
 
 a2- 2ab + b2 = (a - b)2 Cuadrado de una diferencia 
 
Ejemplo: x2 + 6x + 9 y x2 – 6x + 9 son cuadrados perfectos pues x2 + 6x + 9 = (x+3)2 y x2 – 6x + 9 = 
(x-3)2 
 
Identificar cuadrados perfectos 
Observa que: 
 (a+b)2 = a2 + 2ab+ b2 y (a-b)2 = a2 - 2ab+ b2 
En un cuadrado perfecto debe haber dos cuadrados a2 y b2 y un término de la forma ±2ab. 
 
Ejemplos: 
1) x2 + 10x + 25 = x2 + 2 · 5 · x + 52 = (x+5)2 
2) x2 - 10x + 25 = x2 - 2 · 5 · x + 52 = (x-5)2 
3) x2 + 10x + 26 no cumple estas condiciones. 
18 
 
 Ejercicio 30: Encuentra todos los cuadrados perfectos de la forma: 
a) x2+ h h+ 1 c) x2 + h h+ 4 e) x2 + h h+ 16 g) 4x2 + h h+ 1 i) 9x2 + h h+ 4 
 
b) 16x2 + h h+ 81 d) 4x2 + h h+ c2 f) x2 + h h+ 4d2 h ) a2c2 + h h+ 4 
 
 Ejercicio 31:Factoriza utilizando si es posible los cuadrados perfectos: 
a) x2 + 2x+ 1 = b) x2 - 4x+ 4 = d) x2 - 6x+ 9 = f) x2 + 10x+ 25 = h) x2 - 18x+ 91 = 
 
b) x2 - 16x+ 64 = c) x2 + 20x+ 100 = e) x2 - 12x+ 36 = g) x2 + 14x+ 49 = i) x2 - 50x+ 25 = 
 
 Ejercicio 32: Factoriza si es posible: 
a) 4x2 + 4x+ 1 = c) 16x2 - 40x+ 25 e) 4x2 + 28x+ 49 = 
b) 4x2 - 12x+ 9 = d) 9x2 + 6x+ 1 = f) 9x2 - 30x+ 25 = 
 
 Ejercicio 33:Factoriza completamente extrayendo previamente factor común y después 
utilizando los cuadrados perfectos si es posible: 
a) 2x2 + 4x+ 2 = e) 2x2 - 12x+ 18 = h) 3x2 + 30x+ 75 = 
b) -x2 + 6x- 9 = f) -x2 - 8x- 16 = i) -x2 + 16x - 64 = 
c) -2x2 + 40x - 200 = g) -4b2 + 28b- 49 = j) ax2 – 10ax+ 25a = 
d) 27x2 – 18x + 3 
 
 
Factorizar trinomios cuadráticos 
Un trinomio cuadrático es una expresión algebraica de la forma ax2 + bx + c, donde x es la 
variable y a, b, c son constantes, con a ≠ 0. 
Ejemplo : Utilizando la propiedad distributiva: 
(x+3) · (x+6) = x2 + (6+3)x + (6·3) = 
= x2 + (suma de 6 y 3)x + (producto de 6 y 3) = 
= x2 + 9x + 18 
Para poder factorizar este trinomio cuadrático debemos encontrar dos números que sumen 9 y 
cuyo producto sea 18. 
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19 
 
En general, x2 + (a+b)x + ab = (x+a) · (x+b) 
 
 Ejercicio 34: Encontrar dos números que cumplan que: 
a) Producto 8 y suma 6: d) Producto 21 y suma 10: g) Producto 14 y suma 9: 
b) Producto -6 y suma 5: e) Producto -7 y suma -6: h) Producto -22 y suma -9: 
c) Producto 16 y suma -10: f) Producto 24 y suma -11: 
 
 Ejercicio 35:Factorizar: 
a) x2 + 3x+ 2 = g) x2 + 10x+ 24 = m) x2 + 11x+ 18 = 
b) x2 + 13x+ 36 = h) x2 + 12x+ 35 = n) x2 + 26x+ 25 = 
c) x2 + 7x+ 12 = i) x2 + 15x+ 54 = ñ) x2 + 52x+ 100 = 
d) x2 - 10x+ 9 = j) x2 - 6x+ 8 = o) x2 -13x+ 12 = 
e) x2 -11x+ 18 = k) x2 -14x+ 33 = p) x2 - x- 2 = 
f) x2 - x- 6 = l) x2 + x- 6 = q) x2 - 2x+25 = 
 
 Ejercicio 36:Factoriza completamente, extrayendo primero factores comunes: 
a) 2x2 + 10x+ 12 = c) 2x2 + 18x+ 28 = e) 5x2 - 10x- 15 = 
b) 6x2 - 24x- 30 = d) 10x2 - 80x+ 120 = f) x3 - 9x2– 36x = 
 
 Ejercicio 37:Factoriza completamente: 
a) 5a2 + 10a = e) 6b2 + 12 = h) 5x – 25y = k) -x2 – 16 = 
b) q2 + q3= f) 16x – 2x3 = i) y2 – 8y + 15 = l) 6x2 – 6x – 36 = 
c) 9c2 – 81 = g) x2 – 8x + 16 = j) x3 – 16 x = m) (x+1)2 – (x+1) = 
 Ejercicio 38: Expande los siguientes cuadrados perfectos. 
 
 
 Ejercicio 39: Expande: 
 
20 
 
 
 Ejercicio 40: Factoriza estos polinomios escribiéndolos como cuadrados perfectos. 
 
 
 Ejercicio 41: Calcula los siguientes productos. 
 
 Ejercicio 42: Encuentra si estas expresiones se pueden expresar como producto de una suma 
por una diferencia. 
 
 Ejercicio 43: Factoriza. 
 
 Ejercicio 44: Observa el producto de ejemplo y luego calcula las siguientes diferencias de 
cuadrados utilizando la técnica del ejemplo. 
 
 
 Ejercicio 45: Expande: 
 
 Ejercicio 46: Expande: 
 
 Ejercicio 47: Copia y rellena los huecos de estas igualdades. 
 
 Ejercicio 48: Expande y simplifica las siguientes expresiones algebraicas. 
 
 
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 Ejercicio 49: Factoriza estos polinomios escribiéndolos como cuadrados perfectos. 
 
 
 Ejercicio 50: Expresa el área de cada figura como un polinomio. Simplifica la expresión 
algebraica encontrada. 
 
 
 Ejercicio 51: Factoriza. 
 
 
 Ejercicio 52: Simplifica, extrayendo común factor primero, y luego aplicando identidades 
notables. 
 
 
 
Actividad para calentar motores 
Trabajo en parejas. Esto es un concurso. Corta el puzzle pequeño para obtener 4 piezas. 
Monta el puzzle haciendo que las piezas encajen. Y entregadlo pegado en una hoja con 
vuestros nombres. 
 
 
Puzle algebraico3 x 3 
Trabajo en parejas.Es un concurso .Recorta el puzzle para obtener 9 piezas. 
 Montad el puzzle, pégadlo en una hoja con vuestros nombres y entregadlo. 
 
 
A 
B C 
D 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
 
4.3. REGLA DE RUFFINI .CASO PARTICULAR DE DIVISIÓN POLINÓMICA 
 
En Matemáticas, la regla de Ruffini es un eficiente técnica para dividir un polinomio por un 
binomio de la forma x − a,siendo a un número entero. Esta técnica fue descrita por el matemático 
italiano Paolo Ruffini en 1809. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 Ejercicio 53: Trabaja en pareja para realizar las siguientes divisiones utilizando la regla de 
Ruffini. Tienes que encontrar el cociente y el resto en cada división. Observa que algunos 
polinomios no están ordenados 
a) ( x5-x3+x2-x4+3x-7) : (x-2) b) ( x4+2x2-x-3) : (x+1) 
 
c) (2x4-x3+x+3) : (x-3) d) ( x3-8x+x2-7) : (x+2) 
 
 Ejercicio 54: Completa las siguientes divisiones y escribe dividendo, divisor, cociente y resto. 
a) 
 3 4 0 -1 
-1 
 
b) 
 4 3 2 1 
 
 -1 
c) 
 1 0 -1 2 
 
 2 
d) 
 0 0 -3 
-4 
 8 
 e) (4 x7-2x3+x5) : (x+2) f) (1-x5) : (x-1) g) (3x+2x2-x5+6x6) : (x+1) 
 
5. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS II 
 
Si un polinomio se puede poner como producto de otros dos polinomios decimos que estos son 
factores o divisoresdel polinomio. Es decir, 
Si P(x)=Q(x)·R(x) entonces Q(x) y R(x) son factores o divisores de P(x). 
No se consideran divisores de un polinomio los divisores que tienen el mismo grado que el 
polinomio ni los de grado 0, es decir, las constantes (números). 
 
Ejemplo : 2x2+4x= 2x·(x+2) y aquí, 2x y x+2 son divisores del polinomio porque tienen grado 
menor que dos, sin embargo, si lo factorizamos como 2x2+4x= 2·(x2+2x), no se considera que 2 
ni x2+2x lo sean. 
 
Si el polinomio no tiene divisores, decimos que es irreducible. 
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27 
 
Para determinar divisores de grado 1 de un polinomio cuyos coeficientes son números enteros 
utilizamos la Regla de Ruffini tomando como a los divisores del término independiente del 
polinomio. 
 Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Factorizar completamente un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios del 
menor grado posible. 
 
Para factorizar un polinomio utilizamos técnicas como: 
 Sacar factor común 
 Identidades notables 
 Regla de Ruffini 
 
 Ejemplo : 
 
 
28 
 
 
 
 Ejercicio 55: Calcula las raíces y factoriza los siguientes polinomios: 
a) 8x3-4x b) 18x3+14x2 c) 
9x2+12x 
d) x2+10x+25 e) x2+2x+1 f) 4x4-16x2+16 
g) x2-4 h) 4x2-16 i) x3-3x2+4 
j) -x3-x2+12x k) x2-2x+1 l) x3-3x2-25x+75 
 
 
 
Problemas 
 
1) Una empresa produce mesas fabricadas a mano. El propietario de la factoría ha observado que 
los costes de producción por unidad varían dependiendo de la cantidad de tablas fabricadas. 
 
Ha concluido que el coste total, en euros, de la producción de x mesas, desde que se fabrican 
10, está dado por la fórmula: 
 
a) ¿Cuánto cuesta producir 10 mesas? ¿Y 12? ¿Y 15? 
 
 
 
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b) Si se fabrican 40 mesas, ¿cuánto cuesta producir la cada mesa? 
Si se fabrican 20 mesas, ¿cuánto cuesta producir la cada mesa? 
 
 
 
c) Ha recibido un pedido de 18 mesas, y tienen dos opciones: 
 Vender las 18 mesas al precio de catálogo de 1700 € por mesa. 
 Ofrecer al cliente una oferta de 20 mesas, al precio de 1640 e cada una. 
¿Qué opción les reporta mayores beneficios? 
 
 
 
 
 
 
 
d) ¿Piensas que la fórmula que permite calcular el precio es apropiada para cualquier 
cantidad de mesas? 
 
 
2) EMBALAJES CARTILLA fabrica cajas de cartón para embalaje. 
Disponen de tres tipos diferentes de cajas y cada cliente puede decidir el 
formato y las dimensiones según sus necesidades. 
Todas las dimensiones están expresadas en centímetros, y por los 
requerimientos de resistencia y producción de cartón, las dimensiones tienen 
que estar comprendidas entre 10 cm y 50 cm. 
 
a) ¿Cuáles tienen que ser las dimensiones máximas y mínimas de una caja cúbica? ¿Y en un 
embalaje tradicional? 
 
 
 
Cúbico Alargado 
Tradicional 
30 
 
 
b) Escribe un polinomio que exprese el área de las caras de un caja cúbica y de un embalaje 
alargado. 
 
 
 
c) Escribe un polinomio que exprese la cantidad de cartón necesario para fabricar cada 
embalaje. Si el precio del cartón es de 0.02 € / m2, ¿cuál será el precio para fabricar 200 
embalajes tradicionales cuyas dimensiones son 30x60x60 cm3? 
 
 
 
 
 
d) ¿Qué tipo de embalaje es más barato para empaquetar 3 esferas idénticas?