Conceptos Básicos - Conjuntos

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GUÍA Nº9: CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE CONJUNTOS
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz.
 CONJUNTO:
Se llama conjunto a toda reunión o colección de elementos que tienen
características en común.
Ejemplos:
A = {azul, verde, amarillo}
B = {Mercurio, Venus, Júpiter}
C = {a, e, i, o, u}
Nota: Como pueden observar los conjuntos se denotan con una letra
mayúscula y sus elementos se encierran entre llaves.
 FORMASDE ESCRIBIR UN CONJUNTO:
Un conjunto se puede escribir de dos formas:
1. Conjunto por Extensión: Son aquellos en los que se enumeran
detalladamente los elementos que lo conforman.
Ejemplos:
Si podemos notar, los ejemplos de la definición están escritos por extensión, ya
que en cada uno se detallan los elementos que los conforman.
A = {azul, verde, amarillo}
B = {Mercurio, Venus, Júpiter}
C = {a, e, i, o, u}
D = {1, 2, 3, 4, 5}
2. Conjunto por Comprensión: Son aquellos en los que se enumeran
enuncia la (s) característica(s) de los elementos que lo conforman.
Ejemplos:
Si podemos tomamos los ejemplos anteriores, éstos quedarán escritos por
comprensión de esta manera:
A = {x/x son colores}
B = {x/x son planetas del sistema solar}
C = {x/x son vocales}
D = {x/x son números del 1 al 5} ó también: D = { 51/  xNxx }
NOTA: Como pueden ver en el último ejemplo, el conjunto “D” tiene otra
forma de escribirse. Esto es importante saberlo porque de esta forma
escribiremos este tipo de conjuntos más adelante. No importa si en este
punto no lo entiendes, más adelante se te darán las herramientas para que
puedas escribirlos y reconocerlos.
 CONJUNTOS ESPECIALES:
Existen tres (3) conjuntos especiales:
1. Conjunto Universal (U): Es un conjunto de referencia que contiene a
TODOS los elementos que poseen características en común.
Ejemplos:
A = {x/x son plantas}
B = {x/x son personas en el planeta tierra}
C = {x/x son estrellas}
D = {x/x son números reales}
2. Conjunto Vacío ( ): Es aquel que no posee elementos.
Ejemplos:
A = {x/x es un número par y x=3}
B = {x/x es positivo y x<0}
3. Conjunto Unitario: Es aquel que posee un solo elemento.
A = {5}
B = { 4/  xNxx }
C = { 72/  xRxx }
 CONJUNTO FINITO:
Es aquel que posee una cantidad determinada de elementos.
Ejemplos:
A = {-1, 3, 5, 8, 9}
B = { )961(/  xxRxx }
 CONJUNTO INFINITO:
Es aquel que posee una cantidad indeterminada de elementos.
Ejemplos:
A = {x/x son las estrellas del universo}
B = {x/x son números reales}
 SUBCONJUNTO:
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, la condición para que un conjunto “A” sea
subconjunto de otro “B” es que todo elemento perteneciente al conjunto “A”,
pertenezca además al conjunto “B”.
Esta relación se denota con la inclusión BA y se lee de las siguientes
maneras:
“A es subconjunto de B”
“A está incluido en B”
“A está contenido en B”
 CONJUNTOS IGUALES:
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, la condición para que un conjunto “A” sea
igual a otro “B” es que todo elemento perteneciente al conjunto “A”, pertenezca
además al conjunto “B” y recíprocamente.
Esta relación se denota simbólicamente con la doble inclusión:
)( ABBABA 
Y se lee de las siguiente manera: “A será igual a B si y solo si, A está contenido en
B y a su vez, B está contenido en A).
 CONJUNTOS NUMÉRICOS:
1. Números Naturales (N): Son aquellos números positivos, que se cuentan
de 1 en 1 y comienzan en la unidad. Formalmente se representan de la
siguiente manera:
N= {1, 2, 3, 4, 5… n+1, n+2…}
También existe un conjunto llamado “Naturales Extendidos” (que incluyen al
cero) y se denota de la siguiente manera:
N*= {0, 1, 2, 3, 4, 5… n+1, n+2…}
2. Números Enteros (Z): Son una extensión de conjunto natural que incluye
a números positivos, números negativos y el cero; contados de 1 en 1.
Formalmente se representan de la siguiente manera:
Z= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}
También existe un conjunto llamado “Enteros Reducidos” (que no incluyen al
cero) y se denota de la siguiente manera:
Z*= {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5…}
3. Números Racionales (Q): Son aquellos que se pueden expresar como el
cociente de dos números enteros (fracciones). Dicho cociente genera un
decimal periódico. Formalmente se representan de la siguiente manera:
0;  conb
b
a
Q
Ejemplos de decimales periódicos:
...562562562,0
...3333333,0
3
1

4. Números Irracionales (I): Son aquellos que no se pueden expresar como
el cociente de dos números enteros. Entre estos se encuentran: Los
decimales no periódicos, las raíces inexactas y los números trascendentes.
Ejemplos de números irracionales:
a. Decimales No Periódicos: ...28354845387464980,0
b. Raíces Inexactas: 25;74;3
c. Números Trascendentes: ...71,2....;14,3  e
5. Números Reales (R): Son aquellos conformados por la reunión de todos
los conjuntos numéricos anteriores. Formalmente se denotan de la
siguiente manera:
IQZNR 