Derivadas

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TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
Tasa de Variación Media
Sea la función y=f(x), y sean P1 y P2 dos puntos pertenecientes a la gráfica de f(x)
P1 = ( x1 ; f(x1) ) = ( x1 ; y1 ) 
P2 = ( x2 ; f(x2) ) = ( x2 ; y2 ) 
Se define: Tasa de Variación Media = Δ y
Δ x
=
y2− y1
x2− x1
Interpretación 
geométrica: la tasa de 
variación media es la 
pendiente de la recta 
que pasa por los puntos
P1 y P2 → a esta recta 
se la llama Recta 
Secante entre P1 y P2
Tasa de Variación Instantánea
Sea la función y=f(x), y sean P1 y P2 dos puntos pertenecientes a la gráfica de f(x)
P1 = ( x1 ; f(x1) ) = ( x1 ; y1 ) 
P2 = ( x2 ; f(x2) ) = ( x2 ; y2 ) 
Se define: Tasa de Variación Instantánea = lim
Δ x→0
Δ y
Δ x
Siendo Δ x=x2−x1 y Δ y=f (x2)−f (x1)= y2− y1
Derivadas Laterales
Dada una función f(x) y sea x1 un punto de su dominio.
La derivada de f en x=x1 existe si y sólo si existen las derivadas laterales y son iguales
f '+ .(x1)= lim
Δx →0+ .
f (x1+Δ x )−f (x1)
Δ x
 derivada lateral por derecha
deben ser iguales
f '−.(x1)= lim
Δ x→0−.
f (x1+Δ x )−f (x1)
Δ x
 derivada lateral por izquierda 
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DERIVADA
Sea la función y=f(x), y sea x1 perteneciente al Dominio de f → y1 = f(x1)
Voy a tomar un pequeño incremento Δ x a partir de x1: 
obtengo que x2=x1+Δ x → Δ x=x2−x1
Evalúo la función: y2= f (x2)= f (x1+Δ x ) ; luego Δ y= y2− y1= f (x1+Δ x)− f (x1)
Se define la derivada de la función f(x) en el punto x1 mediante la siguiente expresión:
df
dx
(x1)= lim
Δ x→0
Δ y
Δ x
 o sea: df
dx
(x1)= lim
Δ x→0
f (x1+Δ x)−f (x1)
Δ x
Se lee “Derivada de f respecto a x en el punto x1”. 
Otra forma equivalente de calcular este límite es: df
dx
(x1)=lim
x →x1
f (x)−f (x1)
x−x1
Ahora quiero hallar una expresión que me permita conocer el valor de la derivada para cualquier x
del dominio. En este caso al aplicar el “operador derivada” voy a obtener una nueva función, a esta
función la voy a llamar f’(x) ( f prima de x).
f ' (x)= df
dx
(x)= lim
Δx →0
f ( x+Δ x)− f (x )
Δ x
 en este caso x es la variable y no un valor definido 
“ d
dx
” es el OPERADOR DERIVADA
Reglas de Derivación 
Sean f ' (x) y g '(x ) las derivadas de las funciones f (x) y g(x) respectivamente, y sea
k∈ℝ una constante. Entonces se verifican las siguientes propiedades:
Función Derivada
k⋅f (x ) k⋅f ' (x )
f (x)+g(x ) f ' (x)+g ' (x )
f (x)⋅g(x ) f ' (x)⋅g(x )+f (x)⋅g ' (x ) Regla del Producto
f (x)
g (x)
f '(x )⋅g(x)−f (x)⋅g '(x )
g2(x )
Regla del Cociente
(f ∘g)(x)=f (g (x)) f ' (g (x))⋅g '(x ) Regla de la Cadena
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TABLA DE DERIVADAS
Derivada de Potencias de x : d
dx
xt = t⋅xt−1 , t∈ℝ
Usando esta regla (que surge de la definición de derivada) se demuestran las siguientes:
Función Derivada
1 0
x 1 
 1
x
−1
x2
 
√x
1
2⋅√x
 
1
√x
−1
2⋅√x3
 
1
xn
−n
xn+1
 
 m√x
1
m⋅m√xm−1
 
Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Función Derivada
ax ax⋅ln(a) , a∈ℝ>0 y a≠1
ex ex
logb(x )
 1
x⋅ln (b)
ó , b∈ℝ>0 y b≠1
 1
x
⋅logb(e)
ln (x )
1
x
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Derivadas de Funciones Trigonométricas
Función Derivada
sen (x) cos (x)
cos (x) −sen (x)
tg(x) sec2(x ) = 
1
cos2(x)
 Se obtiene con regla del cociente
Funciones Trigonométricas Inversas: estas derivadas se obtienen usando la derivación inversa o la
derivación implícita.
Función Derivada Función Derivada
arcsen(x ) 
1
√1−x2 arccotg (x)
−1
1+x2
arccos(x )
−1
√1−x2 arcsec (x)
1
|x|⋅√x2−1
arctg (x)
1
1+x2
arccosec (x)
−1
|x|⋅√x2−1
REGLA DE LA CADENA
Derivada de la función compuesta
Si la función g es derivable en x=x0 y la función f es derivable en g(x0) entonces la función
compuesta f ∘g es derivable en x=x0 siendo: (f ∘g)' (x0)=f ' (g (x0))⋅g '(x0) 
La expresión de la derivada de la función compuesta es: (f ∘g)' (x)=f '(g (x))⋅g '(x )
Ejemplo: f (x)= log(x) y g(x)=x ²+5 → (f ∘g)(x)=log(x ²+5)
Entonces (f ∘g)'= df
dg
⋅dg
dx
 → (f ∘g)' (x)= 1
g(x )⋅ln (10)
⋅[g( x)] ' → 
(f ∘g)' (x)= 1
(x ²+5)⋅ln(10)
⋅[ x ²+5] ' → (f ∘g)' (x)= 1
(x ²+5)⋅ln (10)
⋅2x
Entonces la derivada de la función compuesta es:
 (f ∘g)' (x)= 2 x
(x ²+5)⋅ln(10)
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OTROS MÉTODOS DE DERIVACIÓN
La función inversa y la derivada
Sea una función continua y=f (x) y sea su función inversa dada en la forma x=g(y)
Se verifica que dg
dy
=1÷ df
dx
 es decir, la derivada de la función g respecto de y es igual al
recíproco de la derivada de f respecto de x →Si ahora escribo a la función g intercambiando x por y,
o sea y=g(x) obtengo que g '(x )= 1
f '(x )
Ejemplo: usamos este método para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas,
ya que en forma directa sólo puedo conocer la derivada de las funciones trigonométricas.
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA:
Si sen (α)=t entonces arcsen(t )=α (el arcoseno es la operación inversa del seno)
Entonces, quiero hallar la derivada de la función : f (x)=arcsen(x) ¿cómo hago? 
1. Hallo la inversa de f(x): y=arcsen(x) → x=sen( y ) obtuve una función x=g( y )
2. Derivo g(y) respecto de “y”: x '=dg
dy
=[sen( y)] '=cos( y)
3. Hago 1÷g ' ( y) ya que el método dice que dfdx
=1÷dg
dy
: → 1
dg
dy
= 1
cos( y)
El problema con esta expresión es que está en función de “y”, y yo preciso la derivada escrita en
función de “x”. Yo sé que la relación entre “x” e “y” es x=sen( y ) , entonces debo hallar una
expresión que relacione el sen(y) con el cos(y): 
4. Uso la identidad pitagórica: sen ²( y )+cos ²( y)=1 → cos ( y)=√1−sen ²( y )
Luego: 1
dg
dy
= 1
√1−sen ²( y )
 y ahora, como: sen ( y )=x y f ' (x)= df
dx
=1÷dg
dy
 me queda
que: f ' (x)= 1
√1−x ²
Derivación Implícita
Se trata de hallar la derivada de una función y=f(x) cuando ocurre que la variable “y” no puede ser
despejada de una expresión matemática con la variable “x”. Es decir asumimos que existe tal f(x)
aunque no podamos despejarla de la expresión E(x,y). Para proceder se deriva a E(x,y) respecto a
“x” sabiendo que y=y(x) y usando la regla de la cadena.
Con este método también podemos hallar las derivadas de las trigonométricas inversas, y es muy
útil también para resolver las llamadas “derivadas logarítmicas”.
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Ejemplo: quiero hallar la derivada de la función f (x)=x x
esta función es complicada, porque la variable x es a la vez base y exponente de una expresión
exponencial. Recordemos que dependiendo de si la variable es base o exponente obtenemos dos
funciones bien diferentes, y sus derivadas son diferentes también:
función algebraica: la variable x es base y el exponente t es constante f (x)=xt
en este caso la derivada es f ' (x)=t⋅x t−1
función exponencial: la variable x es exponente y la base a es constante f (x)=ax
en este caso la derivada es f ' (x)=ax⋅ln (a)
¿Entonces cómo es la derivada de f (x)=x x ?
1. Como y=f (x) escribimos y=x x
2. Aplicamos logaritmo natural a ambos lados del igual: ln( y)=ln(xx )
3. Usamos propiedades de los logaritmos: ln( y)=x⋅ln(x)
4. Derivamos respecto a x a ambos lados del igual, teniendo en cuenta que como y=f (x) debo
usar regla de la cadena para derivar la función compuesta ln( y)=ln( f (x)) . Del otro lado uso
regla del producto:
d (ln ( y ))
dx
=d (x⋅ln (x))
dx
 → 1
y
⋅dy
dx
=1⋅ln(x)+x⋅1x
 → 1
y
⋅y '=ln (x )+1
5. Paso a y multiplicando para despejar y’: y '= y⋅( ln(x)+1)
6. Y ahora, como y=f (x)=xx e y '=f '(x ) me queda: f ' (x)=x x⋅( ln (x)+1)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Recta Tangente
Dada una función y=f(x) y dado P un punto que pertenece su gráfica dado por el valor del Dominio
x0: P = ( x0 ; y0 ) = ( x0 ; f(x0) )
La recta tangente a la gráfica de f(x) en x0 es una recta que pasa por el punto P y tiene como
pendiente el valor de la derivada de f en x0.
La ecuación de la recta es r: y=m⋅x+b , donde m es la pendiente y b la ordenada al origen
Queremos hallar la recta cuya pendiente es m= f ' (x0) y pasa por el punto ( x0 ; f(x0) )
Armamos la ecuación:
r: y− y0=m⋅(x−x0) → y− f (x0)=f ' (x0)⋅(x−x0) → r (x )=f ' (x0)⋅(x−x0)+ f (x0)
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Puedo seguir operando para que quede
expresada de la forma mx+b:
r (x )=f ' (x0)⋅x− f ' (x0)⋅x0+ y0 →
r (x )=f ' (x0)⋅x+( y0−x0⋅f ' (x0))
la ordenada al origen queda:
 b= y0−x0⋅f ' (x0)
Polinomio de Taylor
Sea y=f(x) una función continua con n derivadas continuas cerca de x=x0 perteneciente al Dominio
de f. Entonces, el polinomio de Taylor de grado n que aproxima a f(x) cerca de x0 es: 
P(x)=f (x0)+f ' (x0)⋅(x−x0)+ f ' '(x0)⋅
(x−x0) ²
2 !
+ f ' ' ' (x0)⋅
(x−x0) ³
3 !
+...+ f n(x0)⋅
( x−x0)
n
n!
o también : P(x)=∑
i=0
n
f (i)(x0)⋅
(x−x0)
i
i !
Si el valor en torno al cual se hace la aproximación es x0=0 entonces el polinomio se llama de
Taylor-McLaurin. 
Regla de L’Hopital
Esta es una aplicación de las derivadas que sirve para resolver de forma más sencilla los límites que
tienen indeterminadas cero sobre cero o infinito sobre infinito. 
La regla se llama así en honor a Guillaume de L’Hopital (1661-1707) quien escribió el primer libro
de texto de Cálculo, publicado en 1696.
Teorema de la Regla de L’Hopital: sean f y g dos funciones derivables en un intervalo, excepto,
posiblemente, en x=a. 
Se tiene que lim
x→ a
f (x )=0 y lim
x→ a
g( x)=0 , o sea lim
x→ a
f (x )
g(x )
 presenta indeterminada 0
0
El teorema dice que: si lim
x→ a
f ' (x )
g ' (x )
=L ⇒ lim
x→ a
f (x )
g(x )
=L
• Notar que deben existir las derivadas f ' (x) y g '(x ) , y además g '(x )≠0
• También se puede aplicar si: lim
x→a
f (x )=∞ y lim
x→a
g( x)=∞ , o sea lim
x→ a
f (x )
g(x )
presenta indeterminada ∞∞ .
• Si el límite del cociente de las derivadas vuelve a dar indeterminado, entonces se puede
volver a aplicar la regla derivando las funciones otra vez (si existen las derivadas segundas).
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EXTREMOS DE FUNCIONES
Continuaremos el análisis de las funciones, ahora utilizando la herramienta derivada. En la unidad
anterior aprendimos a determinar: Dominio, Imagen, Ceros, Ordenada al Origen, Conjuntos de
Positividad y Negatividad, Asíntotas y clasificamos posibles discontinuidades. En este capítulo
completaremos el análisis de la función reconociendo los intervalos donde la función crece o
decrece, los máximos y mínimos de la función, los intervalos donde la función es cóncava hacia
abajo o hacia arriba y los puntos de inflexión.
Teorema: Sea f una función continua en el intervalo [a;b] y derivable en (a;b):
(i) si f’(x) > 0 para todo x en (a;b), entonces f es creciente en [a;b];
(ii) si f’(x) < 0 para todo x en (a;b), entonces f es decreciente en [a;b].
EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN: MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Criterio de la primera derivada para extremos relativos
Teorema: Sea f una función continua en el intervalo (a;b) que contiene al número c, y suponga que
f’ existe en todos los puntos de (a;b) y se cumple que f’(c)=0 entonces:
(i) si f(x) es creciente para x menor que c, y si f(x) es decreciente para x mayor que c, entonces f
tiene un valor máximo relativo en c. Si además f(c) es mayor que todo el resto de los valores de
la función, entonces el máximo es absoluto. 
(ii) si f(x) es decreciente para x menor que c, y si f(x) es creciente para x mayor que c, entonces f
tiene un valor mínimo relativo en c. Si además f(c) es menor que todo el resto de los valores de la
función, entonces el mínimo es absoluto. 
Definición de PUNTO CRÍTICO de una función
Sea f una función continua en el intervalo (a;b) que contiene al número c. Si:
1) f’(c) = 0 ó 2) ∄ f’(c) entonces, el valor x=c es punto crítico de la función f.
3) Si la función f está definida en un intervalo [a;b] (o unión de intervalos) del conjunto de los reales,
entonces las fronteras del intervalo x=a y x=b también son puntos críticos.
Hallar extremos: Para determinar analíticamente los extremos relativos de f:
1. Calcule f’(x)
2. Determine los puntos críticos de f, igualando a 0 la derivada y despejando x.
3. Aplique el criterio de la primera derivada
INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Teorema: Sea f una función derivable en el intervalo (a;b). Entonces: 
(i) si f’’(x) > 0 , para todo x en (a;b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba allí;
(ii) si f’’(x) < 0 , para todo x en (a;b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo allí.
Definición de PUNTO DE INFLEXIÓN de una función
El valor x=d es un punto de inflexión de la gráfica de la función f si: 
(i) existe la recta tangente a f(x) en el punto ( d , f(d) ) ; y
(ii) A) f’’(x) < 0 si x < d y f’’(x) > 0 si x > d 
B) f’’(x) > 0 si x < d y f’’(x) < 0 si x > d 
Hallar punto de inflexión:
Para determinar analíticamente los puntos de inflexión de la gráfica de f:
1. Calcule f’’(x) (se deriva dos veces a la función f)
2. Iguale a 0 la derivada segunda y despeje x.