FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

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FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 
 
Es una función definida de los números reales hacia los reales no negativos, y se define como el 
módulo de dicho número (el módulo es la distancia no dirigida) y por tanto siempre es un valor no 
negativo. Por tanto, el valor absoluto de un número real a corresponde a la distancia a lo largo de la 
recta numérica real desde a hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos 
números reales es la distancia entre ellos. La definición de la función valor absoluto se presenta a 
continuación: 
 [ ): 0,f → ∞ , ( )xf x= y se redefine por 



≥
<−
=
0
0
)( xsix
xsix
f x 
La función módulo no es inyectiva las imágenes de elementos opuestos, son iguales. Es 
estrictamente decreciente en el intervalo ( ),0−∞ y estrictamente creciente en ( )0,∞ 
La función módulo es par porque los elementos opuestos tienen sus imágenes iguales (la gráfica es 
simétrica respecto del eje de ordenadas). 
Propiedades del valor absoluto 
1. : 0x x∀ ∈ ≥ 
2. Si 0 0x x x∈ ∧ = → = 
3. , : * *x y x y x y∀ ∈ ∀ ∈ =  
4. :x x x∀ ∈ − = 
5. *, :
xxx y
y y
∀ ∈ ∀ ∈ =  
6. 2 2:x x x∀ ∈ = 
7. , :x k x k x k x k+∀ ∈ ∀ ∈ = ↔ = ∨ = −  
8. , :x k x k k x k+∀ ∈ ∀ ∈ < ↔ − < <  
9. , :x k x k x k x k+∀ ∈ ∀ ∈ > ↔ < − ∨ >  
10. , :x k x k k x k+∀ ∈ ∀ ∈ ≤ ↔ − ≤ ≤  
11. , :x k x k x k x k+∀ ∈ ∀ ∈ ≥ ↔ ≤ − ∨ ≥  
12. :x R x x x∀ ∈ − ≤ ≤ 
13. , :x y x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + ≤ +  
14. 2:x x x∀ ∈ = 
 
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Para graficar la función módulo la redefinimos haciendo al argumento mayor o igual a cero y luego 
representamos la función por intervalos que nos queda. 
 
Estudie y grafique la siguiente función módulo 
y = 3x - 42 −x 
a) Hacemos el argumento mayor o igual a cero 
2x - 4 ≥ 0 y resolvemos x ≥ 2, por tanto el argumento será positivo para los valores de x mayores que dos 
y negativo para los menores a dos. 
 
b) Redefinimos la función 
]



≥−−
<−−−
=
2)42(3
2)42([3
xsixx
xsixx
y 
El signo negativo delante del paréntesis y = ])42([3 −−− xx corresponde por ser negativo el argumento 
en ese intervalo. 
 
c) Simplificamos la expresión y graficamos la función por intervalos 



≥+
<−
=
24
245
xsix
xsix
y 
 
 
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y = 2-x 
 
 
y = 4 - 3x-9 
 
 
 
 
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y = x2-4 
 
 
 
y = 3x + 1-2x