Matemática: Funciones y Gráficos

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Dada la función: 
Determinar Dominio y Conjunto de llegada (Codominio), para biyectividad 
Hallar la inversa de f
Gráficos de una función y su inversa
Dada las funciones: 
Hallar: 
Identificar zonas de crecimiento y decrecimiento en la función que se grafica
Función cuadrática f(x)= ax2 +bx +c 
Notar que el parámetro a no puede ser nulo 
Primer caso: a>0
Las ramas de la parábola se abren hacia arriba
Vértice: (-b/2a, (4ac-b2)/4a ) 
Creciente en [ -b/2a, +∞] 
Decreciente en ] -∞, -b/2a]
La función presenta un mínimo en x=-b/2a
Dominio: R 
Recorrido: [(4ac-b2)/4a ), +∞[ 
5
Función cuadrática f(x)= ax2 +bx +c 
Notar que el parámetro a no puede ser nulo 
Segundo caso: a<0
Las ramas de la parábola se abren hacia abajo
Vértice: (-b/2a, (4ac-b2)/4a ) 
Creciente en ] -∞, -b/2a]
Decreciente en [ -b/2a, +∞] 
Dominio: R 
Recorrido: [-∞, (4ac-b2)/4a )[ 
La función presenta un máximo en x=-b/2a
6
x4
x3
x2
x
Función y= xn
(1,1)
x4
x3
x2
x
(1,1)
Función y= xn
Creciente en [0, +∞ [ 
Puntos privilegiados: (0,0) y (1, 1)
(
X1/2
X1/3
8
Ejemplo de función cuadrática
25.000
Función módulo
Mediante el módulo de un número real expresamos la percepción intuitiva de tamaño o distancia al 0. 
Si x es un número real, denotaremos por IxI su módulo (o valor absoluto), el que definiremos por:
Notar que IxI NUNCA es negativo
Ejemplo 1: I3I = 3 I-3I = 3 I0I =0 
Ejemplo 2:
12
No Negatividad
Definición Positiva
Propiedad Multiplicativa
Desigualdad Triangular
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Propiedades
13
Otras Propiedades
Dos desigualdades importantes
Módulos, desigualdades e inecuaciones
Gráfico de módulo de x
Recordemos la definición: 
y =x
y =-x
Efecto del Módulo
Y= x2 -5x+6
Y= I x2 -5x+6 I
Función Raíz Cuadrada 
El argumento de esta función es un número real no negativo
17
Ejemplo
¿
 
Función Raíz Cúbica 
R
Función exponencial: y= ax
Condiciones para el parámetro a:
Lo anterior equivale a:
 a Є ] 0, 1[ U ] 1, + ∞ [ 
 a > 0 ^ a 1 
Caso 1 : a Є ] 1, + ∞ [ 
Dominio = R Recorrido ]0, +∞ [
 Función positiva y creciente
Punto privilegiado: (0,1)
Asíntota horizontal: y= 0
Ejemplo: y = 3x
20
Caso 2 : a Є ] 0, 1[
Dominio = R Recorrido ]0, +∞ [
 Función positiva y decreciente
Punto privilegiado: (0,1)
Asíntota horizontal: y= 0
Ejemplo: y = (0.4)x 
y= 4x
y= 3x
y= 2x
Tres ejemplos con a>1
Notar que:
Todas son crecientes
Todas pasan por (0,1)
Todas tienen asíntota y=0
Además:
x< 0 => 4x< 3x< 2x
x >0 => 2x< 3x< 4x
y= (0.25)x
y= (0.3)x
y= (0.5)x
Tres ejemplos con 0 <a <1
Notar que:
Todas son decrecientes
Todas pasan por (0,1)
Todas tienen asíntota y=0
Además:
x> 0 => (0.25)x < (0.3)x < (0.2)x
x <0 => (0.2)x < (0.3)x < (0.4) x
Función exponencial: y= ax
Creciente si a >1
Decreciente si o<a<1
Asíntota: y=0
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Dominio R , Recorrido R++
Función Creciente
Punto privilegiado (0,1)
Si x se hace muy negativo, y se acerca a cero
Dominio R , Recorrido R++
Función Decreciente
Punto privilegiado (0,1)
Si x se hace muy positivo, y se acerca a cero
Asíntotas
Consideremos una función real f
Llamaremos asíntota de f a una recta tal que el gráfico de f se acerca a dicha recta, indefinidamente
Esto significa que a medida que el módulo de x (o de y) crece, (se aleja del origen) el gráfico se acerca más a la asíntota, pero sin interceptarla. 
 
Existen asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Por ahora solo veremos las dos primeras
Ejemplo 1:
Notar que f(x) 1 para todo x 
Además:
Si x asume un valor muy grande, f(x) se acerca a 1- (por abajo) 
Si x asume un valor muy negativo, f(x) se acerca a 1+ (por arriba) 
Entonces, y=1 es una asíntota horizontal de f(x)
1- 
29
Continuación Ejemplo 1:
Notar que x -3 para todo y 
Además:
Si y asume un valor muy grande, x se acerca a -3- (por la izquierda) 
Si y asume un valor muy negativo, x se acerca a -3+ (por la derecha) 
Entonces, x=-3 es una asíntota vertical de f(x)
X=-3
3- 
30
Ejemplo 2:
)
31
Continuación Ejemplo 2
X=1
Y=2
X=-1
Continuación Ejemplo 2
33
Logaritmos
Definición: x =ay  y= loga x 
Ejemplos: 8 = 23  3= log2 8
	 0,1 = 10-1  -1 = log10 0,1 
Condiciones para el parámetro a: 
 a > 0 ^ a 1 
Propiedades
loga (xy) = logax + loga y 
loga (x/y) = logax - loga y 
loga xn = nlogax
 
loga logax
 
logaa=1 loga1=0
logbx = logax/ logab
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Función logaritmo: f(x) = logax
Caso 1: a> 1
Dominio: R+ Recorrido: R
 Función creciente
Punto privilegiado (1,0)
Asíntota: x=0
Asíntota
Función logaritmo: f(x) = logax
Caso 2 : 0<a< 1
Asíntota
Dominio: R+ Recorrido: R
 Función decreciente
Punto privilegiado (1,0)
Asíntota: x=0
Desplazamiento del gráfico de una función
Desplazamiento vertical: El gráfico de f(x) +a está desplazado del gráfico de f(x) en a unidades 
f(x)
f(x)-5
f(x)+3
3
5
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Desplazamiento del gráfico de una función
Desplazamiento horizontal: El gráfico de f(x+a) está desplazado del gráfico de f(x) en -a unidades 
f(x)
f(x-6)
f(x+4)
4
6
Ejemplo
Gráfico de f(x) = 2x-1 +5
y= 2x 
y= 2x-1+5 
5
Se obtiene trasladando el grafico de y =2x :
1 unidad hacia la derecha
5 unidades hacia arriba 
La asíntota de f(x) = 2x-1 +5 es y=5
3
1
)
(
+
+
=
x
x
x
f
3
2
1
3
2
3
3
1
)
(
+
-
=
+
-
+
=
+
+
=
x
x
x
x
x
x
f