FUNCIÓN CUADRATICA

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FUNCIÓN CUADRATICA 
:f → , ( )
2
xf ax bx c= − + , siendo a, b, c constantes reales y a≠ 0 , es una función cuadrática de los 
números reales en los números reales. Con esta definición la función no es inyectiva ni sobreyectiva. La 
representación gráfica de una función cuadrática de este tipo es una parábola vertical. Si el valor de a > 0 la 
parábola es cóncava (abre hacia arriba) si a < 0 la parábola es convexa (abre hacia abajo) 
 
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0 
 
 
La fila superior corresponde a las gráficas cuando a > 0 y la fila inferior del cuadro cuando a<0 
 b2-4ac es la discriminante de la ecuación de segundo grado y su valor indica el número de cortes con 
las abscisas (raíces) de la gráfica. Si b2-4ac > 0 la gráfica tiene dos raíces distintas, b2-4ac = 0 tiene una sola 
raíz doble (es el vértice de la parábola) y si b2-4ac < 0 la gráfica no tiene raíces reales. 
 Para graficar una parábola encontraremos una serie de puntos que permitan trazarla. 
Vértice (h,k) 
a
back
a
bh
4
4
2
2−
=
−
= 
Corte con las ordenadas (0,c) al ser el valor que toma la variable independiente cero, se anula el valor 
de los términos que la involucran, quedando “c” como valor de la variable dependiente. 
Prof. José Boada  Página 1 
Discriminante b2-4ac, permite determinar el número de cortes con las abscisas (raíces). 
 
Corte con las abscisas (Sólo se determina si el valor del discriminante es positivo) se hace la variable 
dependiente igual a cero y se resuelve la ecuación cuadrática resultante. 
Otros puntos permiten trazar con mayor precisión la parábola, le asignamos valores arbitrarios a la 
variable independiente (que no correspondan a los puntos que se encontraron anteriormente) y encontramos 
los valores correspondientes para la variable dependiente. 
Como ejemplo graficaremos la parábola y = x2 – 2x -8 
a =1 b = -2 c = -8 
 Es una parábola cóncava por ser el valor de “a” positivo 
Vértice 
a
back
a
bh
4
4
2
2−
=
−
= , por tanto 
1*4
)2()8(*1*4
1*2
)2( 2−−−
=
−−
= kh , luego 
h=1 y k= -9 
 Vértice (1,-9) 
Corte ordenadas (0, -8) 
Discriminante b2-4ac= (-2)2-4*1*(-8), por tanto b2-4ac= 36, por ser positivo la gráfica tiene dos raíces. 
Corte abscisas (y = 0), entonces x2-2x-8=0, para resolverla se empleara la resolverte de la ecuación de 
segundo grado 
a
acbbx
2
42 −±−
= , por tanto 
1*2
36)2( ±−−
=x , los resultados son x = 4 y x = -2. Los 
puntos en consecuencia son (-2,0) y (4,0). 
Otros puntos le asignamos valores, x = -1, x = 5, x = -3, x = 2, x = 3 sustituyendo en y = x2 – 2x -8, 
obtenemos para cada valor 
 y = (-1)2-2(-1)-8, y = -5 (-1,-5) 
 y = (5)2-2(5)-8, y = 7 (5,7) 
 y = (-3)2-2(-3)-8, y = 7 (-3,7) 
 y = (2)2-2(2)-8, y = -8 (2,-8) 
 y = (3)2-2(3)-8, y = -5 (3,-5) 
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 Al representar los puntos obtenemos 
 
 La gráfica resulta al unir los puntos y prolongarla (puntas de flecha). La gráfica es simétrica respecto 
al eje que pasa por el vértice. 
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Toda función cuadrática ,:f → ( )
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xf ax bx c= − + , representa una parábola tal que: 
• Su forma depende exclusivamente del coeficiente “a”. 
• Si a > 0, las ramas van hacia arriba (cóncava) y si a < 0, hacia abajo (convexa). 
• Cuanto más grande sea el valor absoluto de “a”, más cerrada es la parábola. 
• Los coeficientes “b” y “c” trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo. 
• Existe un único punto de corte con el eje y, que es el (0,c) 
• Los cortes con el eje x se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo 
corte en dos puntos, en uno o en ninguno. 
• Si el discriminante de la ecuación de segundo grado es positivo tiene dos cortes, si es cero uno sólo, y 
si es negativo no tiene cortes. 
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